книги / Несущая способность конструкций при повторных нагружениях

G,j— напряжения на поверхности текучести, а при ползучести *— это напряжения на потенциальной поверхности для скоростей деформаций ползучести [29].

Напомним, что рассматриваются циклически стабильные со­ стояния материалов. На основании постулата Друккера для ука­ занных условий Фредерик и Армстронг [80] доказали две теоремы, устанавливающие существование и единственность стабилизиро­ ванного цикла напряжений.

1. При циклическом нагружении конструкции напряжения и скорости деформаций постепенно стабилизируются и в конце кон­ цов в каждом последующем цикле становятся такими же, как

впредыдущем.

2.Распределение напряжений в стабилизированном цикле не

зависит от начального (до первого цикла) состояния конструкции и является единственным в тех ее областях, где скорости кратко­ временной пластической деформации или деформации ползучести в стабилизированном цикле принимают отличные от нуля зна­ чения.

Доказательства этих теорем здесь не приводятся. Отметим

Это естественно, поскольку приспособляемость идеально упруго­ пластических конструкций является частным случаем стабилиза­ ции, таким, при котором скорости неупругой деформации в ста­ билизированном цикле равны нулю.

Теорема о существовании стабилизированных циклов остав­ ляет открытыми вопросы о скорости процесса стабилизации (т. е. о числе циклов до достижения состояния, которое с определенной степенью точности может рассматриваться как стабильное) и о ве­ личине деформации, накапливаемой за этот период. В работе [80] было показано, что процесс стабилизации описывается законом экспоненциального типа. Однако численные параметры этого за­ кона не поддаются, по-видимому, общему определению. Они могут быть найдены пока только для конкретных задач. В даль­ нейшем было показано [22], что для стержневой системы процесс стабилизации действительно является экспоненциальным, однако характеристики экспоненты могут изменяться по мере увеличения числа циклов в связи с изменением границ области конструкции, охваченной неупругой деформацией. Отсюда, в частности, следует, что прогнозирование стабильного состояния по результатам рас­ чета ограниченного числа циклов пока затруднено. Последнее обстоятельство делает практически целесообразным сочетание последовательного расчета кинетики деформирования для пер­ вых циклов нагружения с прямым анализом стабилизированного состояния конструкции.

Рассмотрим основные соотношения, необходимые для непосред­ ственного (без последовательного анализа истории деформирова-

ния) определения напряжений и скоростей деформаций в стабили­ зированном цикле при заданных внешних воздействиях. Пред­

ставим скорости деформации в любой момент времени гц в виде суммы упругих 8ty, пластических в*,-, тепловых etyсоставляющих и скоростей деформаций ползучести в ^ :

Напряжения в стабилизированном цикле представим в виде

суммы напряжений

т

+ Р?/ 4" J

0

где Jт pt/- — приращение остаточных напряжений за время т

о

(началу цикла отвечает т = 0); р?у- — неизвестные остаточные напряжения в момент т = 0, удовлетворяющие условиям равно­ весия в объеме тела V и на поверхности S p:

При этом в любой момент времени действительного процесса де­ формирования скорости остаточных напряжений должны удовлет­ ворять условиям равновесия в объеме тела V и на поверхности S p

Предположим, что скорости деформаций ползучести параметри­

о

При описании кратковременного пластического деформиро­ вания ограничимся здесь, как и в предыдущих главах, идеально­ упругопластическими материалами (хотя приведенные ниже по­ становки задач и методы их решения могут быть распространены на более общие описания характеристик циклически стабильных материалов). Предполагается, что при достижении напряжениями поверхности текучести (отвечающей данной температуре) скорость

234

Решение системы (10.2)—(10.10) с учетом пластических де­ формаций осложняется наличием нестрогих неравенств в усло­ виях (10.6) и (10.9). При использовании инкрементальных методов расчета кинетики деформирования [54], не включающих условия (10.10), указанные неравенства на каждом малом шаге по вре­ мени или исключаются или заменяются равенствами. Расчет ведется методом последовательных приближений для малого «шага» по времени с использованием на каждом шаге результа­ тов, полученных на предшествующем этапе.

Возможен, однако, и другой подход, при котором неравенства остаются в явном виде в системе ограничений, а проблема расчета кинетики сводится к неклассической вариационной задаче. Пере­ ход к такой формулировке связан с заменой каких-либо условий из системы (10.2)—(10.10) требованием максимизации (или миними­ зации) специально подобранного функционала при сохранении в ней остальных ограничений. В частности, исключая из системы ограничений равенство (10.7) -(т. е. допуская, что скорости пла­ стических деформаций могут быть отличны от нуля при любых значениях напряжений), задачу расчета кинетики можно сформу­ лировать в виде двух утверждений.

1. Для того чтобы скорости деформаций ej/o, е $ , при которых выполняются условия (10.2)—(10.5), (10.9) и (10.11), могли быть реализованы в действительном стабилизированном цикле, необ­ ходимо, чтобы они доставляли абсолютный минимум неотрицатель­ ному функционалу

связанные со скоростями деформаций е^о соотношением (10.6); o*ij — напряжения на поверхности ползучести, связанные со

скоростями деформаций ползучести 8 $ соотношением (10.5). 2. Указанное выше необходимое условие становится достаточ­ ным, если кроме перечисленных в нем ограничений выполняется

равенство (10.8).

Функционал (10.12) записан для случая, когда поле скоростей перемещений непрерывно в объеме тела. При наличии разрывов

236

Можно показать, что при отсутствии пластических деформаций

(е/уо = 0) функционал (10.12) обращается в нуль и задача сво­ дится к решению уравнений типа системы, рассмотренной в ра­ ботах 1051— 167]. С другой стороны, при отсутствии ползучести

(&5уо ^ О) этот функционал совпадает с левой частью основного неравенства теоремы Койтера (1.34), а расчет стабилизированного цикла по методам решения и трудоемкости приближается к рас­ чету условий приспособляемости с использованием соотношений указанной теоремы в их исходной (непреобразоваииой) форме

(S 3).

Для доказательства первого утверждения предложенной выше формулировки заметим, что с помощью уравнения виртуальных работ (1.18) с учетом условий (10.2)—(10.4) и (10.10) можно полу­ чить равенство

(10.14)

С учетом этого равенства функционал (10.12) принимает вид

(10.15)

Отметим, что в такой форме (не включающей скоростей ползу­ чести в явном виде) этот функционал мог бы быть использован непосредственно в формулировке утверждения 1. Однако форма (10.12) представляется более наглядной и удобной для решения примеров, приведенных в § 44. Выражение в круглых скобках в (10.15) в соответствии с условием (10.9) является разностью на­ пряжений на поверхности текучести и допустимых напряжений, следовательно, согласно постулату Друккера (1.9) подынтеграль­ ное выражение в (10.15) неотрицательно и обращается в нуль только при выполнении условия (10.7). Таким образом, минималь­

тела во все моменты времени, что и требовалось доказать. Справедливость второго нз сформулированных выше утвер­

ждений (достаточного условия) очевидна, поскольку в итоге вы­ полняются все условия системы (10.2)—(10.10). Отметим, что условие (10.8), определяющее мгновенные значения скоростей деформаций в момент начала разгрузки, существенно для теоре­ тического анализа, однако в инженерных задачах, связанных с оп­ ределением приращений (или размахов) деформаций за цикл, оно является слабым по сравнению с ограничениями (10.7), и его вы­ полнение может быть обеспечено путем малого изменения поверх­

237

Рассмотренная здесь формулировка расчета стабилизирован­ ного цикла, сводящая его к неклассической вариационной задаче, не является, конечно, единственно возможной. Заменяя какиелибо другие из условий системы (10.2)—(10.10) требованиями минимизации соответствующих функционалов, можно получить отличающиеся формулировки. Так, например, условие (10.10) можно заменить требованием минимизации приращения потен­ циальной энергии упругой деформации за цикл. Однако миними­

ности при использовании кусочно-линейных поверхностей теку­ чести. В этом случае функционал и все ограничения оказываются линейными относительно неизвестных, тогда как при других способах получения вариационной задачи добиться этого не уда­ ется. Кроме того, формулировка удобна для получения ряда интересных следствий, которые обсуждаются в § 42.

Заметим, что рассмотренная формулировка задачи может быть использована также при расчете нециклических процессов, если воспользоваться формой (10.15) минимизируемого функционала. При этом условие (10.10), естественно, не входит в систему ограни­ чений, а величина Т в выражении (10.12) определяет не период цикла, а общую длительность процесса. Применительно к конечно­ элементной модели тела и кусочно-линейной поверхности теку­ чести (ползучести) такая формулировка задачи рассматривалась

вработе [96].

§42. Основные соотношения для анализа стабилизированных циклов,- имеющих заданные признаки

Пусть требуется найти максимальные (или минимальные) зна­ чения параметров внешних воздействий, при которых стабилизиро­ ванный цикл изменения напряжений и'скоростей деформаций со­ храняет заранее заданные признаки. Наибольший интерес для конструктора представляют признаки кинематического характера, когда задаются перемещения (деформации), их размахи за цикл или скорости. В частности, задачи определения максимальных (минимальных) нагрузок, при которых скорости пластических деформаций в течение всего нагружения ограничены (или соответ­ ственно не ограничены в один из моментов времени), являются предметом теории предельного равновесия. Расчет минимальных (максимальных) параметров нагрузок и температур, при которых скорости пластических деформаций в стабилизированном цикле отличны от нуля (или соответственно равны нулю), представляет собой задачу теории упругой приспособляемости. Более сложными являются задачи определения параметров внешних воздействий, при которых приращения деформаций Де*/ в стабилизированном

238

Ащ (или деформаций) за один стабилизированный цикл в каких-то (указанных) точках конструкции (или во всей конструкции) не превосходят заранее заданных величин:

В соответствии с общей вариационной формулировкой задачи, рассмотренной выше, для выполнения неравенств (10.18) в дей­ ствительном стабилизированном цикле необходимо (и практи­

чески достаточно), чтобы существовали поля скоростей е^о»

е*/о и напряжений р?/, обеспечивающие выполнение условий (10.2)—(10.6), (10.9), (10.11), (10.18) и доставляющие функцио­ налу (10.12) минимальное (равное нулю) значение:

Jd x | [(ст,-/ — tioty — -|- (o'J* — по]? — о?? ) е $ ] dv -•= 0.

(10.19)

Здесь о\е/ — «упругие» напряжения от внешних воздействий,

не зависящие от параметра п; — распределение «упругих» напряжений от внешних воздействий, изменявшихся пропорцио­ нально параметру /г, определенное при / 1 = 1 . Таким образом, формулировка рассматриваемой задачи включает целевую функ­ цию (10.17) и систему ограничений (10.2)—(10.6), (10.9), (10.11), (10.18) и (10.19).

Аналогично можно определять предельные параметры внеш­ них воздействий «сверху», отыскивая минимум п при указанных выше ограничениях. При этом знак неравенства (10.18) должен быть заменен противоположным.

Частным случаем этой задачи является определение условий начала прогрессирующего формоизменения при развитом знако­ переменном. течении. Здесь ограничение типа (10.18) принимает

причем оно должно выполняться во всех точках тела. Очевидно, что условие (10.11) обращается при этом в тождество. Задача включает целевую функцию (10.17) и ограничения (10.2)—(10.6), (10.9), (10.19) и (10.20).

Рассмотрим более подробно случай, когда ползучесть не учи­ тывается, а неотрицательный множитель п характеризует не за­ висящие от времени нагрузки. Равенство (10.19) с учетом условий (10.20) принимает тогда вид

240

(напомним, что сг^ — «упругие» напряжения от переменных внеш­ них воздействий). Допустим теперь, что при отсутствии постоян­ ных внешних воздействий (т. е. при п — 0) найдены напряжения оцх (включающие упругие и остаточные составляющие) и ско­

рости пластических деформаций (обозначим их &ljX) в условиях знакопеременного течения. В соответствии с утверждением 1, приведенным в § 41, указанные напряжения и скорости дефор­ мации удовлетворяют условиям типа (10.2)—(10.6), (10.20) и обеспечивают выполнение равенства (10.21). Воспользуемся этим для получения допустимого (т. е. удовлетворяющего всем огра­ ничениям, но не обязательно оптимального) решения задачи (10.17). С этой целью представим остаточные напряжения, имею­ щиеся в системе ограничений, в виде суммы напряжений р,/т, полученных из расчета кинетики деформирования при отсутствии

постоянных нагрузок и не зависящих от времени напряжений рп-. Нетрудно убедиться, что в этом случае для получения допустимых

решений задачи (10.17) достаточно, чтобы напряжения р/;* были самоуравиовешенными и выполнялось условие (10.9), принимаю­ щее вид

Таким образом, формулировка задачи об определении допустимых (по условию прогрессирующего разрушения) значений постоян­ ных нагрузок при^наличии знакопеременного течения совпадает с теоремой Мелана (§ 2), если заменить в последней «упругие»

напряжения от переменных воздействий напряжениями aiix, подсчитанными от тех же воздействий с учетом знакопеременной пластической деформации. Отсюда, в частности, следует, что в дан­ ной задаче могут быть использованы упрощающие преобразова­ ния и методы, рассмотренные в гл. 3.

Полученный класс допустимых решений, соответствующих различным распределениям напряжений р/;-, включает и опти­

зированном цикле скорости пластических деформаций не зависят от постоянных составляющих внешних воздействий.

Последнее утверждение облегчает не только решение рас­ сматриваемых здесь задач предельного анализа, но и расчеты, необходимые для оценки долговечности конструкций (если заве­ домо известно, что^накопление односторонних деформаций от­ сутствует). Его доказательство проведем от противного. Пред­ положим, что скорости пластических деформаций в действитель­ ном стабилизированном цикле (и соответствующие скорости оста­ точных напряжений) различны при отличных от нуля и нулевых постоянных нагрузках, хотя переменные воздействия одинаковы

241