книги / Нерегулярные граничные задачи на плоскости

где Cj, / = 0,1,2,. . . , 7/1, имеют положительную относительно G+ ориента­ цию. Опираясь теперь на известные результаты (см. [2, л)], часть 2, и. 1), получаем утверждения: 1) в каждом классе гомотопии множества 12 сущест­ вует диагональная матрица А, у которой первый диагональный элемент имеет

ственной гомотопической характеристикой граничного условия. Полиая систе­ ма инвариантов класса гомотопии, в соответствии с утверждением 2, состо­ ит из системы целых чисел (22.40). Этот класс будем обозначать й )о> Xj..... х .

Рассмотрим множество матриц Y± (z), которые одновременно с их обрат­

ными [У^(г)Гх определены, голоморфны и ограничены соответственно в областях G+, G~ (включая бесконечно удаленную точку). Граничные значения

элементов этих матриц принадлежат М (С). Пусть D е й и D = Y+D{Y~)~1 почти всюду па С. Краевые задачи вида (20.17) для матриц D аЪ эк­ вивалентны и редуцируются одна к другой линейной подстановкой вида Y ± _ у±ф-Ь. Присоединим к й всевозможные матрицы вида D, а получив­

шееся множество обозначим Й. Две матрицы D и ^ из Й будем называть эк­ вивалентными относительно задачи (20.17) (носящей, как известно, имя Гиль­

берта) н записывать D ~D , если они связаны соотношением указанного выше вида. Поскольку «Г» обладает свойствами симметричности, транзитивности

ирефлексивности, оно разбивает й па классы эквивалентности. Из теоремы

20.1вытекает утверждение: 3) каждая матрица из Й допускает представле­ ние вида (20.65) с прежними свойствами крайних множителей. В силу пер­

вого утверждения теоремы 20.3 имеем также: 4) две матрицы D и D из Й эквивалентны относительно «Г» тогда и только тогда, когда у них одна и та же система частных индексов {упорядоченных согласно неравенствам x i> x a> . . .^ х * ). Это дает основание класс эквивалентности относительно «Г»

обозначать через 1?Х| .......... .

приращение Xj (У+) аргумента функции det У+ (z) не зависит от индивидуаль­

где Xj (В) определены по формуле вида (22.40), a Xj (У+) — по формуле (22.41).

свойствами, что и У+ (г), но ес числа вида (22.41) равны нулю. Каждая невы­ рожденная матрица У+ имеет логарифм (см., например, [9], гл. VIII, § 8). Можно показать, что этот логарифм будет одпозначпой в G+ голоморфной матрицей тогда и только тогда, когда система чисел (22.41) состоит из одних

пулей. Таким образом, матрицы У+ (z), Y~- (z), j = 0,1,. . ., m, обладают од­

нозначными голоморфными логарифмами в соответствующих областях. От­ сюда следует, что опи гомотоппы единичной матрице па рассматриваемой со­

вокупности голоморфпых матриц. Для У ь (z), папрлмер, требуемую гомото-

ментами и даже диагональной матрице описанного в утверждении 1) вида. Используя теперь результаты, доказанные в классических предположениях гладкости (см. [2, л)], часть 2, п. 2), приходим к выводу: 6) в случае односвяз­

ной области]G+ осе классы QXi ^ являются связными, вмногосвязном же слу­ чае этим свойством обладают пересечения QKj ^ (") “ х* х„ .... хт пРи УСЛОвии

2 h ~ 2 Ki- j=0 i= l

Рассмотрим вопрос об устойчивости частных индексов при изменении элементов D в метрике пространства М (С). Пусть D = Y+ D1DiD3{Y~‘)~1 —

в метрике пространства М (С) достаточно мала. Иными словами, Й — откры­ тое множество.

же в равномерной метрике). Отсюда вытекает следующее утверждение (см. [2, и)]): 0) пусть С является кривой Ляпунова, а элементы матрицы D удов­

внутренней точки. Для того случая, когда С — веществепная ось, а эле­ менты непрерывной матрицы D суть преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций, утверждение 9) независимо доказано в работе [14, в)].

Рассмотрим теперь матрицу D из Q и в соответствии с утверждением 3) представим со но формуле вида (20.65)

D = X+U (Х~)г\

Если элементы матриц Х+, (X - )-1 в существенном ограничены, то неустой­

чивость (в метрике М (С)) частных индексов матрицы D при — хп > 2 до­ казывается с помощью предыдущих рассуждений. В общем случае, как от­ мечено выше, включения (20.68) имеют место для всех р из некоторой окре­ стности рассматриваемого значения, следовательно, какова бы ни была мат­

рицы. ua ft с другой системой частных индексов; если элементы матриц Х+, (Х~) 1 в существенном ограничены, то тот же вывод имеет место и в метрике

пространства М (С). (Для полноты отметим, что под Й в нервом утверждении понимается множество в с е в о з м о ж н ы х матриц вида (20.65) с требуе­ мыми свойствами крайних множителей, а не только тех из них, у которых

элементы принадлежат М (С).)

В заключение приведем утверждение, легко вытекающее из предыдуще­

го: 11) пусть D = X +U (X - )-1 €Е”й и элементы матриц Х+, (X -)-1 в суще­ ственном ограничены; число а р (D) устойчиво относительно D в метрике

пространства "М (С) тогда и только тогда, когда имеет место формула вида

(22.37). В условиях утверждения 9) эта теорема имеет место для любой не­ вырожденной матрицы и допускает уточнение: множество тех матриц, для которых формула (22.37) не справедлива, не содержит ни одной внутренней точки (см. [2, л)]).

Разложение вида (20.65) играет решающую роль в полпом анализе зада­ чи (20.17), п построения из нп. 20.5—20.15 в принципе содержат все операции и алгоритмы, приводящие в конечном итого к требуемому разложению. Наи­ более существенную и трудную часть этих построений составляет решение систем интегральных уравнений вида (20.26). Попск более эффективного пу­ ти для получения отдельных множителей формулы (20.65), в частности системы частных ипдексов, значительно осложняется отмеченными выше случаями «неустойчивости». Даже в «устойчивом» случае, когда можно привлекать «близкие» задачи с более доступными матрицами, иапример, с рациональными элементами, для этого требуется предварительное знание системы частных индексов. Поэтому прп изучении задачи (20.17), в частности, при попытке разыскать ее частные индексы или построить приближенное решение, не следует упускать ив вида ев «индивидуальный* характер.

286 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 1ГЛ. V

При некоторых дополнительных ограничениях на D удается более полно изучить систему частных индексов. В этом направлении отметим работу [41, в)], где разобраны некоторые случаи матриц второго порядка; статью [43, б)],

(22.18) характеризуется большей сложностью и к настоящему времени изу­ чен менее полно. В классических предположениях на границу С и матрицу G отметим кратко наиболее важные результаты. В случае (т + 1)-связной об­ ласти G+ при п = 1 даже в классе обобщенных аналитических фупкций для индекса задачи имеем формулу И. Н. Векуа (см. [5, в)], а также [5, г)], гл. 4.

(22.43)

Каждоо ненулевое решение однородной задачи (22.18) (при п = 1) имеет только конечное число NG+ внутренних пулей и копечное число Nc нулей па

границе С (с учетом их кратностей), причем (см. там же)

На общие эллиптические системы дифференциальпых уравнений первого по­ рядка в случае многих неизвестных функций (n > 1) формула (22.43) обобще­ на в [2, ж)] (вид формулы указан в п. 22.7), в односвязном случае (т = 0) она установлена несколько ранее в работе [8]. Соотношения вида (22.43) —

(22.45) перенесены также на одностороннюю задачу вида Ф+ + (7Ф+ = / (см. [2, г)].) Для областей с кусочно-гладкой границей аналоги формулы ипдекса (22.43) и соотношения вида (22.45), а также ряд вытекающих из них следствий установлены для пространственных осесимметрическнх граничных

[5, г)] и Б. В. Боярским [2, г)], [2, з)]. Чтобы сформулировать некоторые от­ носящиеся сюда результаты, приведем несколько определений. Будем гово­ рить, что две невырожденные на С матрицы Glt Gz эквивалентны относитель­

но задачи Римана — Гильберта (22.18) (в обозначениях Gx ~ G2), если Gr (i) =

ма инвариантов соотношения «Р» состоит из целого числа ч и системы классов

на эквивалентные классы, множество которых взаимно однозначно н непре­

(22.45); R есть множество уровня нуль некоторой аналитической (в действи­ тельном смысле) функции на Тт, не равной тождественно нулю, в частности,

гических характеристик задачи играют роль еще и копформпые и метричес­ кие ее свойства. Аналогичные результаты получены для задачи с граппчным

условием Ф+ 4 СФ+ = 0 (см. [2, л)], часть 1, п. 2).

В работе 12, а)] для задачи (22.3С) при т = 1 и для эадачп (22.37) в клас­ се обобщенных аналитических функции впервые введены соответствующие сопряженные задачи и показано, что в первом случае формула индекса имеет тот же вид (22.43), а во втором — заменяется следующей: а — Р = — 2х —

— 3 (т — 1) (см. также конец и. 22.8). И хотя в рассматриваемых задачах

отсутствуют соотношения вида (22.44), все же справедливо утверждение (см. [2, л)], часть 1, п. 3): 2) число а линейно-независимых (над полем вещественных чисел) решений однородной задачи устойчиво (при изменении коэффициентов а0, а1 и ядра Кй по равномерной гёлъдеровской норме) тогда и только тогда, когда в первом случае имеет место первая формула (22.45), а во втором — формула а = max (0, — 2х — 3т + 3).

Перейдем теперь, следуя [2, и)] (см. также [2, к)], гл. II, § 2), к описанию в случае п > 1 полной системы инвариантов класса эквивалентности отно­ сительно соотношения «Р». Элементарной клеткой называется матрица вто­ рого порядка вида

обозначаемая также символом (tfe+1, tk) пли (k -f- 1, к); число к называется индексом клетки. Обозначим через Л множество кваэндиагоналышх мат­

риц Я, ф вида (<?!, <?21. . ., Qs), где Qi = tH плн Qi = (**i+1, t'). Целые числа х[ называются свободными частными индексами матрицы X (t), а целые

ствующих свободным частным индексам, матрицу X (t) будем называть нор­ мированной. Имеет место утверждение (см. [2, u)J): 3) пусть граничный кон­ тинуум С — Сй удовлетворяет условию Ляпунова; тогда каждая невырожден­ ная матрица G (/) с непрерывными в смысле Гёльдера элементами допускает представление G (t) = S (*) X (t) У+ (t), где S и Y+ описаны в определении со­ отношения «Р», а X Л; если при этом X нормирована, то она определена однозначно; сумма всех частных индексов матрицы G равна ее суммарному индексу, определяемому второй формулой (22.35). Таким образом, полная система инвариантов класса эквивалентности относительно «Р» в односвяз­ ном случае состоит из последовательности х2 . . . , х„ целых чисел xj, с ука­ занием на то, какие пары из них отвечают элементарным клеткам; это по­ следнее обстоятельство будем обозначать круглой скобкой, объединяющей два

мых (над полем вещественных чисел) решений задачи (22.18) равно

где первая сумма распространена на все неположительные свободные частные

топологии) матриц б (2) указанное в утверждении 3) нормированное раалозкение содержит одну и ту же матрицу Я, (2) £ Л. Легко убедиться, что опре­ деленный класс эквивалентности или устойчив во всех свопх точках, плн ни

чи (22.18) в многосвязпом случае проведено с меньшей полнотой (см. [2, к) гл. II, § 2). Для числа (22.46) доказано утверзкдепне: 6) число а (G) не ме­ няется при малых {всмысле гёлъдеровской нормы) изменениях матрицы G тогда и только тогда, когда а (G) = шах (0, —2х — п ( т — 1)) Иными словами, число а (б) только в устойчивых случаях определяется топологическими це­ лочисленными характеристиками х, т н и, в остальпых зке случаях опо за­ висит еще п от «метрических» свойств задачи.

В рассматриваемых предположениях иа С и б частными индексами зада­ чи (22.18) можно также назвать (как это было сделано в предположениях

утверждении 3) представления является диагональной тогда и только тогда, когда все частные индексы матрицы D четны.

ЛИТЕРАТУРА

б) Некоторые краевые задачи для уравнений эллиптического типа па

411.

д) Классы гомотопии матричных функций, Сообщения АН Груз. ССР

1960.

л) Анализ разрешимости граничных задач теории функций, Сб. «Иссле­ дования по современным проблемам теории функций комплексного переменпого», Фнзматгиз, 1961, 57.

м) Прямой подход к теории систем сингулярных интегральных уравне­ ний, Добавление VI к книге Н. И. Мусхелпшвпли «Сингулярные интег­ ральные уравнения», «Наука», 1968, 478.

3. Б у р а г о 10. Д ., М а з ь я В. Г., Некоторые вопросы теории потен­ циала и теории функций для областей с нерегулярными границами, Тр. ЛОМИ, 1967.

4.Б у р а г о 10. Д ., М а з ь я В. Г., С а и о ж п и к о в а В. Д., а) О по­ тенциале двойного слоя для нерегулярных областей, ДАН 147, № 3

1948.

в) Системы дифференциальных уравнений первого порядка эллипти­ ческого типа и граничные задачи с применением к теории оболочек. Матем. сб. 31, № 2 (1952) 217.

г) Обобщенные аналитические функции, Физматгнз, 1959.

6.В е к у а Н. П., а) Краевые задачи Гильберта с рациональными коэф­ фициентами для нескольких неизвестных функций. Сообщения АН Груз.

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. V

в) О краевой задаче Римана для системы п пар функций с разрывными коэффициентами, ДАН 23, № 2 (1950), 261.

г) Особые случаи краевой задачи Римана для системы п пар функций,

12.Г о л у з и н Г. М., Геометрическая теория функций комплексного пере­ менного, «Наука», 1966.

13.Г о х б е р г И. Ц., а) Об одном применении теории нормированных ко­ лец к сингулярным интегральным уравнениям, УМН 7, вып. 2 (48) (1952), 149.

17.Д а н и л ю к И. И., а) О задаче с косой производной для эллиптиче­ ских систем первого порядка, ДАН 122, № 1 (1958), 9.

б) Исследование одной задачи с косой производной при помощи системы уравнений Фредгольма, ДАН 122, № 2 (1958), 175.

в) Некоторые свойства решений эллиптических систем первого порядка

л краевые задачи, канд. диссертация, МИАН, 1958.

г) О задаче с косой производной для общей квазилинейной эллиптической

вой симметрией, ДАН 146, Я» 3 (1962), 523.

и) Исследования по теории краевых задач для эллиптических уравне­ ний, докт. диссертация, СО АН СССР, 1962.

к) Исследование пространственных осеспмметрических краевых задач, Сиб. матем. ж. VI, № 1 (1963), 1271.

л) Лекции по краевым задачам для аналитических функций и сингуляр­ ным интегральным уравнениям, Изд-во Новосиб. ун-та, 1964.

м) Про оомежешеть у зважених просторах Lp потенщалу подвшного шару вздовж лшш з обмежепим обертанням, ДАН УРСР, сер. А, 9 (1968), 787.J

н) Про задачу Неймана в областях, границя яких мае обмежене обертання, ДАН УРСР, сер. А, 9 (1969), 969 -9 7 3 .