книги / Нерегулярные граничные задачи на плоскости

и построим соответствующие матрицы вида (20.20). Если обозна­

следовательно, справедливы и неравенства вида (20.24). Из (20.83) вытекает, что если матрица Dz удовлетворяет одному из условий

значить числа вида (20.21) для матрицы [D2 (t, т)]'"1, то, согласно оценкам вида (20.39), (20.40), получим

*,(т)>Мт)/Л,(т), А„(*)<1/$ (1),

Таким образом, если матрица D2(t) удовлетворяет одному из усло­ вий (20.42), (20.57), то матрица (20.82) удовлетворяет условиям (20.41), (20.56) соответственно равномерно на замкнутом интерва­ ле 0 х 1.

Рассмотрим теперь задачу (20.17) с заменой D (t) на матрицу

D (t, х) = Di (t)D2(t, х) Dз (г) и предположим, что Dx (t), Dz (t)

суть непрерывно обратимые' на С матрицы с непрерывными ко­ эффициентами, D2(t, т) имеет вид (20.82), a Dz (t) удовлетворяет условиям (20.22) и (20.42) в случае кривой Ляпунова и условию (20.57) — в случав кривой Радона без точек заострения. Из ска­ занного выше вытекает, что матрица D2(t, т) удовлетворяет в

252 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ГГл. V

первом случае условиям (20.84), (20.42), а также, очевидно, усло­ виям (20.28), (20.41), а во втором случае — условиям (20.30),

в пространстве Lpl) (С). В условиях теоремы 20.2 стоящий в левой части оператор над ф является оператором Нетера в смысле оп­

ределения, данного в и. 5.1. В самом деле, он непрерывен в (С) и имеет конечное число ар (D) линейно-независимых решений соответствующего однородного уравнения. Неоднородное уравне­ ние (20.86) разрешимо тогда и только тогда, когда свободный

член g (t) удовлетворяет условиям (20.78), где ф* (z) — общее решение сопряженной задачи (20.73) в классе исчезающих на бес­

конечности функций из Е^, q = pi (р — 1). Вспоминая рассуж­ дения, приведенные в начале и. 20.10, убеждаемся, что функции ф (г) = —ф+ (t) удовлетворяют однородному союзному к (20.86) уравнению

Следовательно, уравнение (20.86) нормально разрешимо, и по­ скольку уравнение (20.87) в указанном пространстве имеет рр (D) линейно-невависимых решений, формула (20.81) дает ин­ декс уравнения (20.86).

Все сказанное имеет место, очевидно, и в том случае, если в уравнения (20.86), (20.87) вместо D (t) подставить матрицу D (t,'x) в указанных ранее предположениях на D2(t). В левой части (20.86) получаем семейство операторов Нётера, отвечающее зна­

матрица (20.82) сводится к единичной, и получаем индекс матрицы DxDa. Предположим на время, что элементы матриц Dx, Ds суть рациональные функции.- Согласно результатам пп. 20.14, 20.15, произведение Dx {t)Dz (t) можно представить в виде (20.64), где

U — матрица вида (20.63), a Х * (t) — матрицы с рациональными элементами, невырожденные в замкнутых областях + С

(включая бесконечно удаленную точку) соответственно. Из этого соотношения имеем det {DXD3) = det U-deb Xj-det (X ;)-1 на C. Логарифмируя это равенство и беря приращение от обеих сторон при обходе С один раз в положительном относительно G+ направ­ лении, получаем

■k f c s M W W D* № = S 4 P(DM = (DiDs)- (20.88) i=l

Нетрудно убедиться, что эта формула имеет место в общем случае, когда элементы не вырождающихся на С матриц DXD3 удовлетворяют только условию непрерывности. В самом деле, как отмечалось в начале п. 20.12, в принятых предположениях на D2крайние множители в формуле (20.19) всегда можно считать матрицами с рациональными элементами. В противном случае этого можно добиться, приближая непрерывные функции — эле­ менты матриц Dlt Dg рациональными функциями с достаточной степенью точности. Видоизмененный средний множитель в (20.19) будет при этом удовлетворять прежним условиям, а при помощи гомотопии (20.82) его можно будет перевести в единичную матри­ цу. Переход от матриц с непрерывными элементами к матрицам с рациональными элементами можно осуществить таким образом, чтобы не изменились крайние числа в равенствах (20.88). Как отмечалось выше, Хт, (DxDa) = хр (D), поэтому из] сопоставлений равенств (20.81), (20.88) получаем

хр(D) = [arg det (DxDa)\c. (20.89)

ТакшиГобразом, имеет место Т е о р ' е м а 20.3. а) В условиях теоремы 20.1 частные индексы

матрицы D не зависят от способа приведения ее к каноническому виду (20.65).

б) Пусть граница С удовлетворяет условиям Ляпунова, а за­ данная на С матрица D (t) имеет вид (20.19), где Dx (t), D9(t) — произвольные не вырожденные на С матрицы с непрерывными ко­ эффициентами, а Z)a (£) — матрица, удовлетворяющая условиям (20.22) и (20.42). Тогда индекс задачи (20.17) в классе исчезающих

<«)

на бесконечности функций из E f определяется по формуле (20.89). При р = 2 эта формула справедлива при одном только предпо­ ложении (20.22).

в) Пусть С — кривая Радона без точек заострения, матрицы Dx (t), Da (t) удовлетворяют прежнимусловиям, аматрицаD9(t)— условию (20.57). Тогда имеет место утверждение б).

20.18. Наиболее существенным результатом настоящего па­ раграфа является изложение теоретико-функционального метода

И. Б. Симоненко и его применение к теории задачи (20.17) со многими неизвестными. В классических предположениях на границу области и коэффициенты граничного условия полная тео­ рия этих задач изложена в монографиях [29] и (6, в)] (где приве­ дена также полная библиография). В этих предположениях фор­ мула (20.89) впервые получена Н. И. Мусхелишвили и носит его имя.

В более общих предположениях задача (20.17) изучалась в ра­ боте [38, г)]; именно, здесь предполагалось, что С удовлетворяет условиям Ляпунова; матрица D имеет вид (20.19), где Dlt D3и им обратные матрицы непрерывны, a D3удовлетворяет условию

(20.22); свободный член принадлежит Lin) (С), а решения ищутся

(П)

в классах Е3. Обобщения на произвольные р, 1 < р <Г со, а так­ же на тот случай, когда граница С является кривой Радона без точек заострения, даны в [17, о), л)].

§ 21. Сингулярные интегральные уравнения

21.1.Рассмотрим интегральные уравнения следующего вида:

х Ф( ( ) + г > (() = /(() . (21.1)

Как и ранее, через С обозначается заданная плоская спрямляемая кривая без точек самопересечения. Заданные величины а (£), Ъ(<) являются, в общем случае, квадратными матрицами размера п х п с комплекснозначными, вообще говоря, коэффициентами, определенными вдоль кривой С. Соответственно этому заданная величина / (t) и искомая величина <p (t) являются вектор-функция­ ми с п компонентами / = (/х, / 2, . . ., / п), <р = (<рх, <р2, . . ., <рп), определенными в точках кривой С. Всегда будем предполагать, что Т — вполне непрерывный оператор в том функциональном про­ странстве, где разыскиваются решения ф (t). Входящий в уравне­ ние (21.1) интеграл имеет смысл главного значения по Коши, бла­ годаря чему уравнение называется сингулярным.

Сформулируем основные предположения, при которых будет вестись исследование уравнения (21.1):

1. Правая часть / (t) уравнения (21.1) принадлежит функцио­ нальному пространству Цр (С) для некоторого фиксированного р,

| 21] СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 255

Чтобы и сингулярный интегральный оператор, входящий в уравнение (21.1), непрерывно действовал в том же пространстве

ЬрП) (С), кривую С необходимо подчинить дополнительным огра­

Как следует из неравенств (21.3), (21.4), элементы Z)i;- (t) матрицы (21.6) в существенном ограничены. Имея в виду использовать результаты анализа задачи (21.5) для исследования п уравнений вида (21.1), предположим, что

7. Матрица D (t), построенная по формуле (21.6), удовлетво­ ряет либо условиям теорем из § 19 (при тг = 1), либо условиям теорем из § 20 (при п > 1).

В соответствии с терминологией книги [29] операторы К вида (21.1), удовлетворяющие перечисленным условиям, естественно

назвать операторами нормального типа. В сделанных предполо­ жениях некоторая вектор-функция ф (t) представляет решение уравнения (21.1), если она является элементом пространства

сопряженным оператору (21.1) в индефинитном внутреннем про­

в левой части которого стоит оператор, союзный к характеристи­ ческой части (21.2) оператора (21.1). В предположениях 1—5 из п. 21.1 оператор из уравнения (21.14) определен и непрерывен в

Свойства этой функции в условиях 4, 5 из п. 21.1 аналогичны свойствам функции (21.8), в частности, она принадлежит классам

Ер* (G*), какова бы ни была ф (t) е= L(p* (С), и имеют место фор­ мулы Сохоцкого — Племеля

(21.16)

Отсюда следует, что уравнение (21.14) эквивалентно задаче: опре­

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ [ГЛ, V

следовательно, столько же решений 1|);- и у однородного уравнения (21.7). Тогда последовательно получаем

1 8' (0 Tj; (t) dt = /' (t) [a’ (0 + У (0J"1 (0 dt =

c (o)

-\ f (0 % (0 dt = o. / = 1 , 2 , ----- pp (D). (21.20)

Таковы необходимые и достаточные условия разрешимости урав­ нения (21.7); Согласно определению из п. 5.1, это означает, что

оператор (21.2) является нормально разрешимым в Lpl) (С). Обозначим через ар (К) максимальное число линейпо-пеза- виепмых (над полем комплексных чисел) решений однородного

уравнения (21.1) (при/(0 = 0) из пространства Lpl)(C), 1

Через Рр(7£) обозначим максимальное число линейно-незави­ симых (над тем же полем) решений союзного однородного урав­

мы 20.2 числа ар (К°), рр (К°) конечны. Общий оператор (21.1) отличается от оператора (21.2) на аддитивное слагаемое Т, которое

вусловии 3 из п. 21.1 является вполне непрерывным оператором

вL f (С). Из сказанного выше и из теоремы-5.4 вытекает, что в условиях теоремы 20.2 числа а р (К), рр (К) конечны, а общий опе­ ратор (21.1) является нормально разрешимым. Это последнее утверждение означает, что необходимые и достаточные условия раз­ решимости неоднородного уравнения (21.1) имеют вид

|/'(0%(0<i« = 0, / = 1,2,...,М Х ), (21-21)

где {i|);} — полная система решений союзного однородного урав­

нения из пространства Lqn) (С). Сформулируем полученные резуль­ таты.

Т е о р е м а 21.1. Пусть выполнены условия 1—6 из п. 21.1, а матрица D (t), построенная по формуле (21.6), удовлетворяет всем условиям теоремы 20.2. Тогда общий сингулярный интеграль­ ный оператор (21.1) является обоби(енным оператором Нетера. Иными словами, справедливы утверждения:

а) числа ар (К), рр (К) конечны, а их разность зависит только