книги / Нерегулярные граничные задачи на плоскости

называется потенциалом простого слоя с зарядом Ф. Пусть и (Р) — регуляр­ ная гармоническая функция о области Q, ограниченной поверхностью F. Рассмотрим последовательность областей Qm, ограниченных гладкими по­ верхностями Fm и сходящихся к £2, и предположим, что для любой бесконеч­ но дифференцируемой функции ф с компактным носителем в Е3 сущест­ вует предел

(2 2 . 1 1 )

не зависящий от выбора последовательности {Йт }, и что этот предел допус­ кает продолжение па пространство С (F) как ограниченный (непрерывный) функционал:

Возникающая таким образом счотно-аддптивная функция множеств 2+ называется внутренним краевым потоком гармонической функции и (ср. с определением Радона пз п. 22.1). Аналогично определяется внешний крае­ вой поток 2 - гармонической вE3\Si функции. Покажите (или см. [4, а)], тео­ рема 1), что каждый потепциал (22.10) имеет внутренний и внешний краевые

потоки 2 * , определяемые по формулам

где Т* — оператор, сопряженный к интегральному оператору Т из формул (17.7):

(ср. с формулой (18.16)).

Внутренняя и внешняя задачи Дирихле формулируются обычным об­ разом и при помощи формул (17.7) сводятся к интегральным уравнениям

где IP* — заданные на границе F непрерывные функции. Внутренняя (внеш­ няя) задача Неймана состоит в том, чтобы определить гармоническую внутри

£2 (соответственно впутри Е3 \ Я) функцию, внутренний (внешний) краевой поток которой на F существует и совпадает с заданной счетно-аддптпвной функцией 2+ (2 -) множеств на F. Разыскивая решения задач Неймана в ви­ де потенциала (22.10), для определения заряда Ф получаем уравнения

Предположим теперь, что радиус Фредгольма оператора Г, определенный по формуле (17.8), больше единицы, т. е. граница Р кроме (22.9) удовлетворя­ ет еще п условию

В этом случае ко всем уравнениям (22.15), (22.16) примспимы три теоремы Фредгольма. Докажите аналог теоремы Радона, отмеченной в п. 22.2: если Ф удовлетворяет однородному уравнепшо (22.16), то соответствующий потен­ циал простого слоя (22.10) есть непрерывная функция во всем трехмерном

однозначно определяющие целые числа HI (0), Ха (0). В формулах же (19.60),

как легко убедиться, первые два соотношения в силу условия а * > 0, не­ возможны, а последнее выполняется всегда. Таким образом, соответствующие

(р)(р)

числа хз (0), Х4 (0) равны нулю. Наконец, равно нулю и число, определяемое по формуле вида (19.50), поскольку для рассматриваемой функции й (а) име­ ем й (0 + 0) — Q (2я — 0) = 0. Согласно формуле (19.68) индекс краевой задачи (22.21) (п = 1, G = 1) вычисляется по формуле

где xi (0) определено соотношениями (22.24). В условиях утверждения (И) теоремы 19.2 второе из соотношений (22.24) становится невозможным; ины­

ми словами, если р ф со"/я для всех г, то для рассматриваемого случая зада­

чи (22.21) имеет место утверждение (ii) теоремы 19.2. Воспользуемся теперь формулой (19.72). В ней нужно положить к = 0, поскольку решепия задачи (22.21) должны быть только ограниченными в бесконечно удаленной точке. Обозначим через ар число линейно-независимых (над полем комплексных чи­ сел) решении однородной задачи (22.21) в классе ограниченных па бесконеч­

ности функций из Пр (б*). Умножая функцию (19.61) на подходящим обра­ зом подобранную постоянную, можно построить такое каноническое реше-

нпе задачи (22.21), которое удовлетворяет условию Z \"lj- y = £ X ^ (£)• При­

меняя затем рассуждения, изложенные в книге [29], § 41, нетрудно устано­ вить, что ар одновременно дает количество решений однородной задачи (22.18) (при л = 1 , G= i) аг Ер (G+), линейно-независимых над полем в е щ е с т - ве н н ы х чисел. Тогда из (9.72) и (22.25) получаем формулу

(Р)

где xi (0) определено с помощью формул (22.24). Таким образом, число ре­ шений однородной задачи (22.18) (при n = 1) для G (t) = 1 зависит только

от тех угловых точек на С, в которых внутренние углы больше я. При отсут-

(р)

ствин таких точек xi (0) = 0, и задача имеет только тривиальное решение 1с, с — вещественная постоянная. Нулевой индекс имеет место и при р ^ . 2,

поскольку из-за отсутствия точек заострения на С всегда имеем со" < 2я.

Предположим, что в некоторой точке ewr обе функции 0 [s (а)] — а, arg G [со (егв)] имеют скачки.] Обозначая их соответственно через hr (0 — а), hT(arg G), для скачка hT(£1) функции (22.23) получим

Рт

Для кривых Ляпунова первое слагаемое справа обращается в нуль. Если же С — кривая Радона и в начальной точке г (0) е С существует касательная, то это слагаемое отлично от нуля в каждой угловой точке на С. В том случае, когда G (^непрерывна, всегда arg G можно так определить, чтобы единствен­ ной точкой, в которой второе слагаемое справа в (22.27) может быть отлич­ ным от нуля, была точка z (0). Таким образом, если С — кривая Радона без

точек заострения и р ф со~/я для всех внутренних углов со" >■ я, то индекс краевого условия (22.18) с непрерывной функцией G (г) подсчитывается по

случае, когда arg G является функцией ограниченной вариации, индекс гра­ ничного условия в классе Ер (<?+) вычисляется с помощью формул (22.27), (19.59) и (19.60). Он будет зависеть от множества точек разрыва обеих функций 0 и arg G и величин их скачков в этих точках.

н ы й вектор-столбец. В томи в другом случае вектор Р (£) содержит п (хх + + 1) независимых вещественных параметров. В общем случае аналогичные

рассуждения нужно применить последовательно к диагональным блокам JI-,

начиная с того ив них, который отвечает последнему неотрицательному частному индексу хт . Приходим к выводу, что вектор-столбец Р (£) содер­

жит все то же число ар = m + независимых в е щ е с т в е н н ы х

j= i

параметров, следовательно, однородные задачи (22.19), (22.18) в соответ­ ствующих классах Ир, Ер имеют ар решений, линейно-независимых над полем вещественных чисел.

частных индексов равны (— 1). Рассуждая, как в п. 20.16, найдем, что необхо­

что решения рассматриваемой задачи являются только ограниченными на бесконечности и не обязапы там исчезать, как в п. 20.16. Общее число этих

сти пуль второго порядка. Рассмотрим повую кусочно-голоморфную вектор-

в классе ограпичеппых на бесконечности функций из Hq. Обсуждаемые ус­ ловия разрешимости в силу второй из формул (22.22) могут быть представле­ ны D виде

ном случае, а так как Qj (5), как нетрудно убедиться, линейно-независимы и над полем комплексных чисел, то общее решение задачи (22.30) имеет вид

рт>

н вспомним первую пз формул (22.22). Тогда из (22.30) получим, что ifij (5),

полную систему, линейпо-пезавнсимую над полем вещественных чисел. Усло­

Задачу (22.33) в классе Е„ (G+) естественно назвать сопряженной к задаче

(22.18) в классе Ер ((?+), 1/р + 1/g = 1.

Основные результаты можно теперь сформулировать в виде следующих теорем. Пусть G+ — произвольная (односвязпая) область, ограпичепиая кривой С Ляпунова или Радона. Предположим, что матрица D (£), пост­ роенная по первой из формул (22.22), удовлетворяет условиям первого ут­

(1над полем вещественных чисел) на правую часть условия (22.18), необходимых и достаточных для разрешимости задачи (22.18) в"*классе Ер (G+), и имеет место формула индекса (22.29), в которой Хр — суммарный индекс матрицы (22.22). 3) Задача (22.18) является нормально разрешимой: для того чтобы она имела решение в Ер (G+) при заданной /, необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялись условия (22.34) для всех решений сопряженной задачи (22.33) из класса Eq (G+), q = р / (р — 1). 4) Если матрица (22.22) удовлетворяет предположениям второго утверждения теоремы 20.3, то ее суммарный индекс подсчитывается по формуле вида (20.89); в частности, если С — кривая Ля­

Предположим теперь, что С — кривая Радона без точек заострения, и профакторизуем последний множитель первой формулы (22.22) в соответствии со сказанным выше. Предполагая затем, что G (t) непрерывна и не вырождена на С, и применяя к первым двум множителям первой из формул (22.22) фор­ мулу вида (20.65), немедленно получаем факторизацию матрицы D в классах

Вклассических предположениях на С и G задача (22.18) впервые рассмотрена

Н.П. Векуа (см. [6, б)], а также [6, в)), гл. 3). Здесь подсчитано число сер через частные индексы и указаны необходимые и достаточные условия для разрешимости; неоднородной задачи. Понятие сопряженной гадачи в тех же предположениях дано Б. В. Боярским (си. [2, к)]). Ии доказана, и притом для

В самом общем случае такие характеристики задачи (22.18), как индекс, частные индексы, а следовательно и числа ар, рр, существенно зависят от взаимной игры «псрегулярпостей» граничной кривой С и матрицы краевого условия в . Краткое изложение результатов настоящего пункта опублико­

имеют слабые особенности. В частных случаях (22.36) порождает граничные условия задач Дирихле, Римана — Гильберта, Неймана, с наклонной произ­ водной и классической задачи Пуанкаре. В предположениях, что С удовлет­ воряет условию Ляпунова, а все заданные и искомые функции удовлетворяют условию Гёльдсра вдоль С, И. Н. Векуа с помощью своего оригинального представления аналитических фуикцпй интегралами типа Коши с веществсипой плотпостыо редуцировал задачу (22.36) к эквивалентному еппгулярпому уравнению вдоль С. Это дало ему возможность сформулировать усло­ вие нстеровости задачи (опо состоит в том, что коэффициент ат (t) при стар­ шей иропаводпои пе обращается па С в пуль), получить формулу для индекса

библиография имеются в книге [29], гл. III, часть III.

Задача (22.36) со многими неизвестными (п > 1) рассмотрена Б. В. Хведедпдзе (см. [40, г)]). Обобщения теории на случай кусочно-разрывных функ­ ции вдоль кривых Ляпунова С даны в работах Н. П. Векуа (си., например, [6, в)], гл. 3, часть II). Дальнейшее ослабление ограничений на коэффициен­ ты граничного условия аадачн Пуанкаре даны И. Б. Симоненко (см. [38, г)], § 7). Пользуясь указанной выше методикой И. Н. Векуа и результатами пре­ дыдущего параграфа о сингулярных интегральных уравнениях, можно по­ строить теорию краевых задач вида (22.36) со многими неизвестными в тех же предположениях, что и в § 20.

Отметим еще один подход к задаче вида (22.36), основанный на предва­ рительной ее редукции к эквивалентной задаче с удвоенным числом неизве­ стных, граничное условие которой не содержит производпых (см. [17, б), г), ж)], а также [17, и)], гл. III).

22.9. Почти всо приведенные в настоящей книге результаты сформули­ рованы ради простоты для одпосвязных областей. Основное внимание уде­ лялось выяснению тех особенностей, которые проистекают от нерегулярно­ сти границы, величин, определяющих граничные условия, а также искомых функций. Формулировка большинства утверждений в многосвязном случае

не представляет затруднений. Граница С мпогосвягной области G удовлет­ воряет условиям Ляпунова или Радона, если каждый граничный континуум С0, Си . . . , Ст удовлетворяет втим условиям. Возможны также случаи, когда часть континуумов Cj удовлетворяет условиям Ляпунова, а осталь­ ные — условиям Радона. Основной смысл определения классов Ер состоит

в том, чтобы очертить совокупность аналитических внутри <7^ функций с

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. V

вполне определенным характером нерегулярностей, распределенных вдоль границы, следовательно, все выводы пз § 11 имеют место и в мпогосвязных областях с соответствующими изменениями формулировок. Переносятся на ипогосвязпые случаи и результаты §§ 12,14, 15, 16, поскольку главную труд­ ность прп изучении интегрального оператора, распространенного но системе непересекающихся кривых, представляют его «диагональные» компоненты, отвечающие тому случаю, когда обе точки соответствующих ядер пробе­ гают одну и ту же кривую Cj. В равной мере для областей, ограниченных несколькими кривыми Радона, остаются справедливыми все утверждения из § 18, посвящецпого задачам Дирихле и Неймана, а также те дополнения к не­ му, которые приведены выше в настоящем параграфе.

Общий анализ краевых задач, приведенный в §§ 19, 20, сохраняет свою силу и для многосвязных областей. Это относится нс только к окончательным выводам, но и к тем аналитическим средствам, которые там применялись. В частности, при вычислении индекса в § 19 существенную роль играла ори­ ентация кривой С относительно областп G+ (мы считали, как обычно, что при

тацией границы С. Как следствие, отсюда получим теорию сингулярных уравнений, изложенную в § 21, и для системы контуров С0, С17. . ., Ст.

22.10. Краевые задачи рассматривались выше как индивидуальные объ­ екты исследования. Между тем, при попытке получить решение методами приближенного анализа возникает необходимость рассмотрения целой «ок­ рестности» близких задач. Аналогичная проблема возникает в связи с при­ ближенными методами решения сингулярных интегральных уравнений и их систем. Возникает необходимость изучения целых совокупностей рассмат­ риваемых задач или уравнений. Качественный анализ конкретных ситуаций, изучение свойств индекса (суммарного и частных) в зависимости от исходных данных, исследование вопросов «устойчивости» и другие имеют также не­ сомненный теоретический интерес. Б. В. Боярский первый обратил винмаппе на важность этого круга вопросов в теории рассматриваемых граничных задач и получил наиболее существенные результаты (см. [2, г), д.), с), з)]). Иссле­ дования проводились в классических предположениях на коэффициенты гра­ ничного условия н характер гладкости граничных контуров и в связном с идейной точки зрения виде представлены в обзорном докладе [2, л)]. Полное изложение теории содержится в [2, к)]. В настоящем пункте мЫ приведем важ­ нейшие нз этих результатов, обобщенные па случай задачи (20.17) в рассмат­ риваемых памп предположениях.

Обозначим через ар = ctp (D) число линейно-независимых (над полем комплексных чисел) решений однородной задачи в классе исчезающих па бес­

конечности функций из Ер (ff^). Тогда в условиях теоремы 19.2 из формул

Это же соотношение имеет место и в предположеппях теоремы 19.3. Рассмот­ рим также сопряженную однородную задачу (см. условие (20.73) при п = 1) и обозначим через (D) число ее линейно-независимых (над тем же полем)

решений из класса функций Е„ (G± ), q = р/ (р — 1), исчезающих на беско­ нечности. Тогда из формул § 19 легко следует, что