книги / Нерегулярные граничные задачи на плоскости

однородное уравнение (18.20) (у = 0) при X = — 1 имеет не более одного линейно-независимого решения в каждом-из пространств

щения С. Предположим теперь, что граница С не имеет точек за­ острения. Тогда в пространстве непрерывных на С функций опе­ ратор Т имеет радиус Фредгольма не меньше числа я/0та1 > 1 (см. п. 17.2), следовательно, в силу теоремы 5.1 и определения ра­ диуса Фредгольма (п. 8.6) оператор I — Т нормально разрешим и имеет равный пулю индекс. Таким образом, сопряженное одно­ родное уравпоние (18.20) (у = 0) в сопряженном пространстве гса (С) при Х = \ тоже имеет только нулевое решение. Остсюда сле­ дует, что неоднороное уравнение (18.2) при X = 1 имеет, и притом единственное, решение в пространстве непрерывных на С функ­ ций, какова бы ни была функция <рг из этого же пространства.

Пусть теперь X = — 1. В силу только что изложенных сообра­

Разобранный выше случай X = 1 означает на самом деле, что внутренняя задача Дирихле в классе непрерывных на G+ + С функций всегда и оанозначно резрешима. Отображая G~ на конеч­ ную область, например при помощи инверсии, убеждаемся, что всегда и однозначно разрешима и внешняя задача Дирихле в клас­ се непрерывных на G~ + С функций; в частности, однозначно определяется через граничную функцию ф постоянная а (значе­ ние решения на бесконечности). Из сказанного легко вывести, что второй интеграл в (18.21) отличен от нуля, т. е. р0 (С) Ф 0, а само это равенство может служить для определения а.

Т е о р е м а 18.4 (И. Радон,] см. [36]). Пусть G+ — произ­ вольная односвязная конечная область с границей С, имеющей, огра­ ниченное врагцение и не имеющей точек заострения. Тогда

на С функций для любой ср, а решение задачи Дирихле выражается через^ при помощи потенциала (18.1).

(ii) Внешняя задача Дирихле в классе непрерывных па G~ -|- С функций имеет, и притом единственное, решение для любых непрерывных на С граничных значений (— <р). Это решение может быть представлено в виде суммы постоянной а, определяемой из равенства (18.21), и потенциала (18.1), плотность которого f есть

вG-.

18.8.Предположим теперь, что граничные значения ср при­ надлежат пространству (С). В таком пространстве оператор

Топределяется формулой вида (18.13). Как и в п. 17.2, предста­

вим Т в виде суммы V + Тх. Как уже отмечалось, оператор V при любом б > 0 вполне непрерывен в пространстве Ь„ (С), ибо, как легко проверить, исходя из формулы (14.12), он отображает ограниченное множество в множество функций, равномерно огра­ ниченных и удовлетворяющих условию Гёльдера с показателем а = 1 и одной и той же постоянной. Исходя из определения Тх как интеграла вида (18.13) по С (а, е), получаем

i n / l b c , < s u p . i $

С(о,е)

Рассуждая аатем, как в пп. 17.1,17.2, убеждаемся, что, как и в пространстве непрерывных функций, норма оператора Тг в оценивается числом (0тах + 6)/я, б > 0. Отсюда вытекает, что если С не имеет точек заострения, то радиус Фредгольма операто­ ра Т и в пространстве (С) больше единицы.

Т е о р е м а 18.5. Теорема 18.4 имеет место и в толь случае, когда граничные значения <р принадлежат пространству L » (С),

арешения разыскиваются в классе ограниченных функций.

Вклассе неограниченных функций и в областях с угловыми

граничными точками единственность задачи Дирихле может и не иметь места. Чтобы указать соответствующий пример, рас­ смотрим на разрезанной вдоль вещественной положительной полуоси ^-плоскости однозначную ветвь функции £* = = |£а|exp ia arg £. Для достаточно близких к 1 положительных чисел а < 1 лучи, определенные углами я/2а, Зя/2а, будут нахо­ диться в области однозначности функции £в, а ее вещественная часть Re £* = К I* cos a arg С будет равна нулю на них. При

S 18] ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА 183

помощи функции z = 2/(1 — £) часть ^-плоскости, заключенная между указанными лучами и принадлежащая области определе­

x * + y * - 2 *

регулярна и гармонична внутри G+ и отлична от тождественного нуля, хотя она исчезает на границе области G+всюду, кроме точ­ ки z = 0, а соответствующая ей функция Ф (z) = (1 — 2/z)±“, как нетрудно убедиться, принадлежит классу Ер (G+) при р > 1, pa 1. Отмеченное обстоятельство связано с тем, что однород­ ное уравнение (18.2) (фА= 0) в пространствах Lp (С) при 1 <

<р < оо может иметь нетривиальные решения [42, б)].

18.9.Из сказанного в начале п. 18.6 вытекает, что мера |х е е тса (С) совпадает с мерой Бореля — Стилтьеса jx е тса(С),

элементов [х SE rca {С), для которых р. (С) = 0, и совокупностью всех функций точки jx (s), определенных и непрерывных справа в каждой точке кривой С, имеющих там ограниченную вариацию и обращающихся в точке z (0) в нуль, существует взаимноодно­ значное соответствие. Естественно поэтому говорить, что некото­ рая регулярная внутри G+ гармоническая функция и имеет

внутренний краевой поток вдоль границы С области G+, равный

у S гса (С), у (С) = 0, если некоторая сопряженная гармони­ ческая функция v регулярна, однозначна, ограничена в G¥ и поч­

теперь задачу Неймана следующим образом: определить гармо­ ническую функцию в, которая была бы регулярной внутри обла­

мана определяется с точностью до аддитивной константы. В самом деле, если бы две гармонические регулярные внутри G+ функции их, в2 имели один и тот же внутренний краевой поток у, то гар­ моническая функция v, сопряженная их — «2, была бы ограничен­ ной в G+ и ее граничные значения v+ почти всюду на С равнялись

G+, следовательно, щ = щ + const.

Переходя к вопросу о разрешимости задачи Неймана, предпо­ ложим, что граница С имеет ограниченное вращение и не имеет точек заострения. Как отмечалось в п. 18.7, в этом случае оба уравнения (18.2), (18.20) нормально разрешимы, и так как одно­

«р 0 однородного уравнения и используя установленное в п. 18.7

Отсюда следует, что функция v (х, у), гармоническая и сопряжен­ ная интегралу (18.22), имеет вид суммы потенциала (18.1) с плот­ ностью /($) = р (а) и произвольной постоянной. Следовательно, эта функция однозначна, регулярна и ограничена, а в силу соот­ ношения (18.20") при Я = — 1 и подходящем выборе упомянутой постоянной предельные значения v+ почти всюду на границе С сов­ падают с функцией у (а). Таким образом, потенциал простого слоя

.(18.22) является решением сформулированной выше эадачи Ней­ мана.

... Чтобы избежать возможных недоразумений, сделаем одно замечание. Пусть С — достаточно гладкая кривая, и пусть тре­ буется отыскать регулярную внутри G+ гармоническую функцию л по условию duldn = / на С. Поскольку dv/ds = daldn = f,

.то эта задача эквивалентна задаче Дирихле для функции v с гра­ ничными значениями q> (а), равными интегралу от функции / в пре­ делах от 0 до а, 0 ^ а < S. Сформулированная выше постановка задачи Неймана восходит к Племелю и является обощением этой хорошо известной, классической редукции. В классе ограничен­ ных функций полученная задача Дирихле всегда имеет решение v, граничные значения которого v+ совпадают на С с функцией Ф (а) всюду, за исключением, возможно, точки z (0). Сопряженная гармоническая функция и может быть представлена в виде интег­

рала (18.22) и является, по определению, решением задачи Ней­ мана. Если функция (р (s) будет иметь в точке z ( 0 )e C разрыв первого рода, то решение и, как можно убедиться, будет иметь в этой же точке логарифмическую особенность. Отсюда вытекает, что условие разрешимости задачи Неймана в классической поста­ новке, состоящее, как известно, в том, чтобы функция ф (s) была непрерывной па С, т. е. чтобы ф (S) = 0, означает на самом деле условие непрерывности построенного выше решения (18.22)

взамкнутой области G+ + С.

Те о р е м а 18.6 ([17, н)]). Решение задачи Неймана единствен­ но с точностью до аддитивной постоянной. Если граница имеет

ограниченное вращение и не имеет точек заострения, то для любой

(0)

меры у ЕЕ тса (С) одно из решений зтой задачи имеет вид потен­ циала простогослоя (18.22), заряд которого р есть решение уравне­ ния (18.20) при X = — 1, обладающее свойством р (С) = 0.

18.10.Пусть z = © (£) — некоторое однолистное конформное

вая, что сопряженная функция v ограничена, и опираясь на ре­ зультаты § 12, приходим к заключению, что гармоническая функ­ ция и [со, (С)] принадлежит классу Нр при любом конечном р. Иными словами, потенциал простого слоя (18.22) обладает свойст­ вом:

точек заострения. Вспоминая определение классов Ер (см. п. 11.4), приходим к выводу, что наряду с (18.24) имеет также место нера­ венство

Из граничных же свойств функций класса Ер (см. теорему 11.4) и представления (18.23) следует, что потенциал (18.22) имеет почти всюду на С конечные некасательные предельные значения м±, принадлежащие, как можно показать, опираясь на результаты §§ 15, 16, пространствам Lp {С) при любом р < оо. Из формулы Ф+ [z (ст)] — Ф~ [z (а)1 = 2гр (а) и вещественности функции р сле­ дует также, что почти всюду на С имеем и+ [z (о)] = и~ [z (о)].

Несколько больше о свойствах потенциала (18.22) можно ска­ зать в том случае, когда мера р абсолютно непрерывна и ее про­ изводная g (s) = р' принадлежит пространству Lq (С), q > 1.

Снова опираясь на лемму 16.2, а затем на формулы вида (45.11), почти всюду па С получим

Обозначая через na внешнюю относительно области G+ нормаль

вточке г (о) гладкости границы С, почти всюду на С получим р- == ut cos (n, х) 4- uf cos (п, у) — — Re [(и£ — iiiy) iel0(o)J =

=±«W - 4S wW'’«)е W * =

= ± «(<=> - 4 | а£-1пW«) - * М I г (*) * • (18-27>

Таким образом, если (г абсолютно непрерывна и ее производная g(s) е Lq (С), g > 1, то первые производные их, иу потенциала (18.22) почти во всех точках границы С имеют конечные некаса­

тельные предельные значения и*, н*, а пределы ди±1дп его произ­

следовательно, ее первообразная, т. е. функция (18.23), непрерыв­

dO±[z (a)]ldaпринадлежат Lq (С), следовательно, Ф±[з (а)] удовлет­ воряют условию Гёльдера по крайней мере с показателем (g — 1)/д. Таким образом, в рассматриваемом случае потенциал (18.22), кроме отмеченных выше, имеет еще и следующие свойства: он

§19] ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ 187

му Лагранжа, легко установить, что почти во всех точках границы С потенциал (18.22) имеет обычные (односторонние) производные по нормали и эти производные совпадают с соответствующими выражениями (18.27).

Понятие внешнего краевого потока вдоль границы С определя­ ется аналогично понятию внутреннего краевого потока. Беря по

но установить, что в общем случае, когда р, <= rca (С), потенциал

(18.22) имеет вдоль С внутренний и внешний краевой потоки,

(0) равные соответственно мерам ± р — Т*р €= rca {С).

§19. Задача линейного сопряжения

19.1.Как и прежде, через G+ будем обозначать конечную об­ ласть на плоскости комплексного переменного z = х + iy, гра­ ница которой С состоит из конечного числа замкнутых простых

ине пересекающих друг друга жордановых кривых. Дополнение

G~ -f С области G+ до полной плоскости содержит бесконечно удаленную точку и состоит из конечного числа компонент. Функ­ цию Ф (z), как принято, будем называть кусочно-голоморфной, если она определена и голоморфна в каждой конечной точке гф С и имеет полюс конечного порядка в бесконечно удаленной точке. Символами Ф+ (£), Ф~ (f), t €ELC, как и раньше, будем обозначать предельные значения Ф (z), когда точка z стремится к граничной точке t С, оставаясь соответственно внутри G+ или G~.

Предположим, что вдоль границы С заданы две функции D (t), g (t), принимающие, в общем случае, комплексные значе­ ния. Основное внимание будет уделено изучению следующей общей задачи линейного сопряжения: определить кусочно-голо­ морфную функцию Ф (z), которая имеет в бесконечно удаленной точке заданный порядок и удовлетворяет на границе С предель­ ному условию

Дополнительные условия, которым должна удовлетворять функ­ ция Ф (z) вблизи С, и точный смысл граничного соотношения (19.1) будут точно сформулированы ниже.

Краевая задача (19.1) возникла еще в прошлом столетии в ра­ ботах Римана по теории дифференциальных уравнений с алгебраи­ ческими коэффициентами. Однако первые успехи в ее изучении относятся уже к нашему веку и связаны с именами Гильберта, Племеля, Карлемана. Исключительный интерес к этой задаче объясняется тем, что как она сама, так и многие родственные ей

задачи возникают во многих областях математической физики: тео­ рии упругости, гидро- и аэродинамике и др. Крупные результаты

вразвитии этой области математики принадлежат ученым пашей страны: И. И. Привалову, Н. И. Мусхелишвили, И. И. Векуа,

Ф.Д. Гахову и др. Благодаря их исследованиям и работам их последователей и учеников теория краевых задач и важные при­ менения приобрели, в известном смысле, законченный характер. С исчерпывающей полнотой изложение теории появилось в 1946 г.

в. монографии Н. И. Мусхелишвили «Сингулярные и интеграль­ ные уравнения». (Читатель найдет в этой книге полную библиогра­ фию, которая в последующих изданиях расширялась указаниями на работы самого последнего времени.)

Впоследующие годы исследования были сосредоточены в не­

скольких направлениях. Крупным достижением явились работы И. Н. Векуа, в которых построена теория краевых задач для об­ щих эллиптических систем уравнений с двумя аргументами й даны ее применения в геометрии и теории оболочек. Были полу­ чены результаты по анализу краевых задач, поставленных на римановых поверхностях, найдены применения теории и ее мето­ дов в теоретической физике, интенсивно велись обобщения на случай большого числа аргументов. И, наконец, не прекращались исследования в направлении максимального ослабления исходных предположений на коэффициенты граничных краевых условий и свойства граничных кривых. Основное содержапие настоящей главы посвящено именно этому последнему направлению.

Расширение предположений об исходных даппых задачи должно, естественно, сопровождаться соответствующим расши­ рением класса функций, в котором ищутся решения. Для тех пред­ положений, которые приняты ниже, естественными классами функ­ ций оказываются классы Харди Нр и их обобщения — классы Смирнова Ер. Аналитическим средством изучения краевых задач рассматриваемого вида служат интегралы Радона и Коши, основным свойствам которых посвящена гл. IV. В частности, ре­ зультаты пп. 15.5—15.8, особенно теорема И. И. Привалова 15.3, дают возможность отмечать связь между получаемыми результата­ ми и теми, которые входят в классический фонд теории. Эти ука­ зания, естественно, не дают возможности составить правильное и поЛпое представлепие об объеме имевшихся ранее результатов без ознакомления с указанной выше монографией Н. И. Мусхелишвили либо с монографией Ф. Д. Гахова «Краевые задачи».

19.2. Будем предполагать границу С спрямляемой, ' длину дуги на ней обозначим буквами s, о, и все величины, заданные вдоль С, будем рассматривать либо как функции точки t е С , либо как функции параметров s, а. Термин «почти всюду на С»

будет означать, как обычно, почти всюду относительно меры на С, порождаемой параметром s.

Будем для простоты рассматривать случай одыосвязной обла­ сти G+. Пусть S — длина контура С, и пусть D (s) = D [z (s)J, где z = z (a) — уравнение кривой С. Сформулируем сейчас основ-; ные предположения на коэффициенты D, g краевого услов'ия

(19.1):

I. Функция |D (а) |определена почти всюду на сегменте [0, 5], измерима и удовлетворяет условиям

системы координат, мы приходим к необходимости выделения однозначной ветви Q (а) многозначной функции Arg D (а). С этой целью зафиксируем в D-плоскости некоторое направление, напри­ мер положительную вещественную полуось, и проведем разрез, соединяющий точку D = О с бесконечно удаленной. Этот разрез I будем представлять себе непрерывной кривой, не имеющей'точек самопересечения и общих точек с полуосью 0 < D < оо и состоя­ щей из двух берегов. Теперь аргумент любой точки D ф I можно

Следовательно, для всех тех а е [0, 5], для которых D (а) не лежит на I, однозначно определен угол Q (а). С точки зрения предстояще­ го анализа задачи (19.1) значения функции D (а) на множестве меры нуль не играют никакой роли. Предполагая поэтому, что D (а) €Е I только на множестве меры пуль, можно-для таких а до­

например, положить й (а0) = Й (а0 + 0). В других точках функ­ ция й (а) может претерпевать разрыв потому, что в них не непре­

Й (s) в точках ее раврывов первого рода по абсолютному значе­ нию не превосходят 2л. Наконец, нетрудно видеть, что при всех s Е= [0, 5] можно предполагать выполненным условие |й (s) |^ < 2 я .

Меняя разрез Z, будем получать различные функции й (s). Мы предположил!, что хотя бы при одиом выборе разреза построен­

сегмента 10, £], йх (а) — функция ограниченной вариации на сег­

на ^-периодически на все вещественные s.

Предположим, в частности, что D (s) непрерывна на контуре С и отлична от нуля. Тогда выбранная выше ветвь й (s) имеет разрывы первого рода в точках s, соответствующих точкам пере­ сечения кривой D = D (s) с разревом Z, и скачки в этих точках равны ± 2л. В разложении (19.6) можно положить й 2 (s) = 0, а Й0 (s) может быть построена как однозначная и непрерывная ветвь функции Arg D (s), получающаяся непрерывным продолже­ нием некоторого значения Arg D (0) при изменении s от нуля