книги / Нерегулярные граничные задачи на плоскости

§9

ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

71

(ii)

Пусть

(г (s) абсолютно непрерывна и пусть /

(з) =

р' (з).

Тогда интеграл Пуассона — Лебега

U(p,

= ± j

/ w

р, ,

- „ ) &

о

О

(9.12)

круга гармопических функций, удовлетворяющих условию

2"

0 < р < 1 , р > 0 . (9.13)

jj |**(р. 5)|рЛ ?<Л /р(1г)< + оо,

о

Т е о р е м а 9.2 (А. И. Плеснер,

см. 115]). Функция и (р, а)

представить в виде интеграла

Пуассона — Стилтъеса (9.2).

F армоническая функция и (р, а)

неотрицательна тогда и толь­

2я

2л

4 " \ Iи(р> б) I * < w

I “ X(Р. б) da +

о

о

2л

+

^ Щ(р» a)da = Ui |р= 0 + Щ|р= о- (9.14)

о

Это означает, что и (р, а) (=

Очевидно также, что если р (з) не

убывает, то интеграл

(9.2)

является неотрицательной гармони­

72

ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

[ГЛ. III

Обратно, допустим, что функция и (р,

а) 6Е hx, и рассмотрим

семейство функций

|хр (s) =

j и(р, о) dp,

0 <

р < 1.

(9.15)

Из оценок

о

2я

1М «)| <

\ |w(p,<3)|(fc,

0 < р < 1 ,

0

(9.16)

п

п

**+1

3 I M * * ) - M W I = 3 I S *ф >« )< Н <

k=l

fc=1 sft

n

*fc+l

2-

< 3

S

|и(р, e)|(to= § |u(p, o)|(te,

0 =

s1< s a< . . . < s n+i = 2rt,

?c=i

о

вытекает,

что семейство

{pp (s)} равностепенно ограничено вме­

2«

2п

S

р (р, 5 -

а)Ф (5) = И т 4 г

S Р (Р. s - ° ) dPen(s) =

о

2л

п

о

§ 9]

ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

73

(ii)

Каждая функция

и (р, а) GE h,„

р > 1,

почти для всех

а €Е [0,

2я]

имеет конечные некасательные предельные значения

на окружности \z\ =

1, и оти предельные значения образуют сум­

мируемую функцию.

9.4.

Класс гармонических функций, допускающих представ­

ление (9.2), шире класса гармонических функций, представимых

интегралом

Пуассона — Лебега (9.12). Это почти очевидное

ут­

верждение иллюстрируется

функцией и = Р (р,

а)

(см.

(9.1)),

неотрицательной и потому,

согласно теореме 9.2,

представимой в

виде интеграла

Пуассона — Стплтьеса. Если бы она была пред­

ставимой но формуле (9.12) с некоторой функцией / (s), то, сог­

ласно следствию 9.1,

(ii),

и формуле (9.1), имели бы / (а) =

О,

а значит и Р (р, а ) =

0 при р <

1. В вопросе о представимости

функций и (р, а) интегралом (9.12) ограничимся следующим ут­

верждением (см. также п. 13.2):

Т е о р е м а

9.3. Функция и(р, о) входит в класс hp при р > 1

тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде интег­

рала Пуассона — Лебега (9.12), плотность которого /

(s) принад­

лежит пространству Ьр (0, 2я).

при

р < 1

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если функция и (р, о)

представима

по

формуле

(9.12) с

плотностью / е

Lp, р ^>1,

то

согласно неравенству Гёльдера (q =

pl(p — 1))

2я

2я

2я

\ |и(р; <з)Г<Ь <

J

^ 1/(5) I ^ ( Р ,

5 -

б) Рш (р, S -

о) ds}vdo <

О

2"

0

0

2п

2-

<

5 do J |/ (s) рР (р, s -

а) *

( $ Р (р, s -

о) *

)

-

'

^

0

0

О

2я

р_ р2*

2я

= 2яТ

J |/(e)|p& jj P (p,s-o)d a =

J |/(s)|pds.

0

0

о

Следовательно,

и (р,

а) е= hp. Обратно,

пусть имеет

место

это

включение. Согласпо

утверждению (ii)

следствия 9.2, функция

и (р, а) почти для всех а € Е

[0, 2я] имеет радиальные предельные

значения / (а) при р

1. Согласно лемме Фату (см.,

например,

[13], гл. VI, § 1),

2П

2П

\ | /(з ) \v d o =

\

lim | u (p ,a )| p < fo <

S

o’

2я

< l i m

'I |и(p, о) |pdp<

Mp(u) <

+

oo,

P-»I

0

74

ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

[ГЛ. III

следовательно, / е Lp (0, 2л). Фиксируя

точку z =

peia и число

г, р <

г < 1, применим в круге |z|<r

формулу

Пуассона к

функции и (р, а); получим

2я

“ <Р- «) — £ г \ “ С’

* ’

(9Л7)

О

(9.15)

равностепенно

абсолютно непрерывно. Действительно,

n

n

*Л

2

||*р Й

)

- И р Ы

1<

2

I И *

=

S

| и ( р , « ) | * <

k=1

*■***

*=y<vv

<

ф и ( Р. s ) !'* ) 1"

)‘' Ч

л м

« ) [ з (S; -

S»)i,;\

е

в

к=1

гДе

{(«л,,

«it)) — произвольная

совокупность

интервалов

на сег­

<

+

tx> удовлетворяет условию

2л

М

р.

Ф) = 1 *г $ 1 ® (р*,‘ ) 1!,* < л м ®).

о < р < 1 , р > о.

(10.1)

рый

обозначают

Нр.

Очевидно,

что и (р, а) == Re Ф

(ре*°),

»(р ,

с)

= Im Ф (pei0) входят в класс hp (см. § 9),

если Ф

(z) е

е Я р ,

поскольку

\и\^

|Ф|, |г| ^

|Ф|. Обратное

также

имеет

§ 10]

КЛАССЫ

ХАРДИ

Нр АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

75

место,

поскольку

|Ф|Р^2р (|в|р + |у|р).

Поэтому

целый ряд

свойств

функций

Ф (z)

из класса IIр, р >

1, немедленно следует

2я

ф » = 4 г I Р <Р’ «-• > < * * « .

<10-2)

о

плотностям

/ (s).

Возможность представления функций

Ф (z) ее

€Е Нр при

р >

1 интегралом (10.3) с очевидностью следует из

теоремы 9.3, но

чтобы доказать формулу (10.3) при

р — 1, а

могательного характера.

что внутри единичного круга |z| < 1

10.2.

Предположим,

задайЬ последовательность точек {£„}, п = 1, 2,. . . Всегда можно

считать ее занумерованной в порядке неубывания модулей, если

в каждом круге |z|

г, г <

1, лежит только конечное число точек

76

ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

[ГЛ. I ll

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для каждого конечного т построим

произведение

считая, что |£п|/Сп =

— 1

при £п = 0. Это произведение опреде­

лено во всем круге \z\^

1, аналитично там,

обращается в нуль

только в точках z =

£n, п =

1, 2,..., т, удовлетворяет неравен­

ству

|bm (z)| < 1 при

|z|<l

и на окружности \z\ = 1 имеет мо­

дуль,

равный единице.

последовательность

(10.5)

сходится в

Покажем сначала,

что

-яг 5 1К <«<•) - ьп (<*■)I» &

= - 4 - j ( I;!>„ !■ + 1Ъп f - 2Ве Ьфп)йв-

ибо на окружности |z| =

1 имеем Ът = 11Ьт. Полагая k — т +

1

’ l l 18»|]-

2л 5 | М « * ) - Ы « Ч Г * = 2 [ ‘ -

О

n=m-fx

» м = П

ICJ

(10.6)

£n

п=]

§ 10]

КЛАССЫ ХАРДИ Up АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

77

10.3.

Л е м м а

10.2.

Какова

бы пи

была регулярная в круге

|z| <

1 функция Ф (z),

величина

(р,

Ф), определенная формулой

(10.1),

при любом р >

0 представляет

возрастающую

(в широ­

ком смысле) функцию от р, 0

р < 1.

на

том, что

функция

Д о к а з а т е л ь с т в о

основано

Ф (z) = 2

I /г (z) |Р ПРИ любом р

0 не может достигать макси-

в

замкнутой

области аналитические функции / £ (z), если толь­

ко

ф (z) не

является тождественной постоянной. Рассуждая от

противного,

предположим, что во внутренней точке z„ функция

Ф (z) принимает максимальное зпачепие. Очевидно, что в точке

i = 1,

2 ,. . .,

m

гс, / £(z0)

=

0 ,

i — т +- 1, . . ., п. Всегда

су­

ществует круг

Kr:

|z — z0|<

г,

содержащий только внутренние

точки

и такой,

что

/ £ (z) Ф 0

для всех z е КТ, i = 1, 2,. . .,

m.

что в

некоторой точке

zlt \z0 — zx|= г,

имеем

ф (zx) <

ф (z0).

Рассмотрим

функцию

T|)(Z) =

S 6fc/P(z)»

г Де

— некоторые

числа,

по

модулю

к=1

такие,

что

я|>(z0) =

ф (z0),

равные 1

и

а /к (z) — произвольно

выбранные

ветви,

однозначные

в Кт.

Тогда внутри ЛГг имеем

Ж « ) К 2

|Л(«>1’’ <

2

1 Л(*>1’

— ч> <*) < «р (*•> =

■♦(*.) =

I ♦(».) I.

*=1

&=1

<pnW =4

' S i ® ( v ) r г = м <

1 ,

Н—1

где -rift, к — 1, 2, . . . .

п,— корни га-й степени

из 1. Очевидно,

интеграла в (10.1). При п

оо

функция фп (z) равномерно от­

носительно а е ГО,

2лI стремится к р.р (г; Ф). В силу доказанно­

го выше шах фп (z)

шах

фп

(z) при р < г, откуда вытекает

|*|<Р

|*1<г

78

ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

[ГЛ. III

Ив леммы 10.2 следует, в частности, что для функций Ф (z) €=

ЕЕ Я р среднее (хр (р;

Ф) ограничено и в качестве M v (Ф) можно

взять lim (Хр при р

1.

нулей функции Ф ( г ) е Я Р, р >

0, внутри круга |z| <

1, пов­

торяя каждый нуль столько

раз,

какова

его

кратность.

Пока­

жем, что последовательность

{£п} удовлетворяет условию

(10.4).

Соответствующее произведение

(10.6),

существующее

в силу

леммы 10.1,

называется функцией Бляшке,

соответствующей

функции Ф (z).

Л е м м а

10.3. Каждая функция Ф (z) из класса Я р, р > 0,

обладает функцией Бляшке.

r-»i—о

г—>1—о

Следовательно,

Ф /Ьте Я

р и в силу леммы 10.2 имеем

рр (г,

Ф/Ьт ) < Мр (Ф)

при всех

т = 1, 2, . . . , г <

1. Пусть

Ф (z)

имеет точку z =

0 своим нулем кратности к, 0 ^

к < оо. Тогда

1

[

п'

1*КМ ,(ф ),

2яг JLI **

п=1

| - 1 з г Ц > 0 -

Вместе с тем произведения Ь т = Д

|Сп| убывают при

m

оо,

ибо ICnl <С

П = 1

lim b'm, причем 0 <

V <

1.

поэтому существует Ь=

т-«о

Как уже отмечалось, сходимость произведения Д |£к| эквива-

к=1

лентна условию (10.4). Лемма 10.3 следует теперь из леммы 10.1.

10.5.

Л е м м а

10.4. Произведение Бляшке (10.6) почти во всех

точках окружности |z|

= 1

имеет конечные некасательные пре­

дельные значения b+ (ei4), по модулю равные единице.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Существование почти всюду конеч­

§ ю ]

КЛАССЫ ХАРДИ Яр АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

79

2л

lim pi (г; b) = lim

^ |Ь (reis) |ds = 1.

В силу леммы 10.2 имеем

мится к 1, когда

|z|

1. Отсюда следует, что

lim рх (г; Ь) =

lim рх (г; bmRn) = lim pi (г; Rm) >

П |U |,

^

T~l

n=m+i

Г—»1

Так как обратное неравенство очевидно, то на самом деле имеем

здесь равенство, что и доказывает лемму 10.4.

свойств

10.6.

Обратимся

теперь

к установлению основных

функции Ф (z) из класса Нр.

Каждая

функция

Т е о р е м а

10.1

(Ф. Рисе, см. [17]).

Ф (z) ф 0 из класса Я р, р >

0,

допускает представление

Ф (z) = Ъ(г)Ф0 (z), | z| < l,

(Ю.7)

где 6(z) — произведение Бляшке функции Ф (z), а функция Ф0 (z),

не имеющая

нулей

в

круге

|z| <* 1,

принадлежит

Нр

и

рр (г, Ф „ )< Л /Р (Ф).

Теорема

очевидна,

если

Ф(г)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

имеет конечное число нулей в круге |z| <

1. В общем случае су­

ществует ее функция Бляшке (лемма 10.3), после чего функция

Ф0 (z) определяется однозначно разложением (10.7). При

дока­

зательстве леммы 10.3

было

обнаружено, что рр (г; Ф1Ьт) ^

Мр (Ф),

р > 0,

и

поскольку в каждой

точке

z,

|z| <

1,

функция Ф/Ът при т

оо сходится к Ф0 (z), то, переходя к пре­

делу при

т -+■ оо

и фиксированном г <

1, получим оценку для

рр (г; Ф0) , доказывающую оставшиеся утверждения теоремы.