книги / Упругопластические решения и предельное состояние

СОДЕРЖАНИЕ

1.3.Расчет несущей способности элементов конструкции. Кинематический метод определения предельного состояния

ПРЕДИСЛОВИЕ

Необходимость создания высокоэффективных конструкций всегда диктуется потребностями развития промышленности. Один из путей решения этой проблемы связан с созданием новых ма­ териалов и более точным анализом поведения конструкции в ус­ ловиях эксплуатации. По этой причине к инженерам-конструк- торам, -расчетчикам, -технологам предъявляются все более вы­ сокие требования по знаниям и навыкам.

Учебное пособие «Прочность, жесткость, устойчивость эле­ ментов конструкций. Теория и практикум» представляет серию книг. Первые выпуски серии представлены тремя книгами: «Ре­ шение задач механики методом конечных элементов», «Строи­ тельная механика и расчеты композитных конструкций на проч­ ность», «Упругопластические решения и предельные состояния». Дальнейшие выпуски серии развивают данные темы. Авторы ста­ рались представить изложение материала достаточно математи­ чески корректно, но, в первую очередь, доступно для широкого круга читателей.

Учебное пособие подготовлено на основе дисциплин «Со­ противление материалов», «Прочность элементов конструкций», «Строительная механика», но не дублирует их, а дополняет но­ выми разделами, тематика которых представляется актуальной. Перечисленные дисциплины соответствуют Государственному об­ разовательному стандарту высшего профессионального образо­ вания по направлениям машиностроения и смежных специаль­ ностей.

Книга «Решение задач механики методом конечных элемен­ тов» содержит описание общих процедур формирования и ре­ шения уравнений МКЭ. Приводятся многочисленные примеры решения с помощью МКЭ простых дискретных механических систем (пружинные системы, демпферы, точечные массы, теп­ ловые потоки через стенки, течение вязкой жидкости через сеть трубопроводов, поворотные пружины, крепежные элементы и др.). На достаточно простых примерах решения одномерных и дву­ мерных краевых задач поясняются математические основы и ал­ горитмы МКЭ. В последующем выпуске серии в простом изло­

6 Предисловие

жении, с примерами расчетов приведены: формулировки более сложных задач механики, приемы интерполяции решений на раз­ личных конечных элементах, формулы численного интегрирова­ ния, алгоритмы решения задач на собственные значения, реше­ ния нестационарных задач.

В книгах по тематике «Строительная механика и расчеты ком­ позитных конструкций на прочность» изложены расчетные схе­ мы для различных случаев нагружения многослойных тонкостен­ ных конструкций из волокнистых композитных материалов (КМ). Здесь рассматриваются свойства КМ, критерии прочности, ра­ циональные схемы укладки слоев, приведенные жесткостные ха­ рактеристики многослойных структур, формулировки и решения задач статики, устойчивости и колебаний конструкций из КМ. Широкий спектр примеров аналитического и численного (МКЭ) расчета пластин, оболочек, стержневых конструкций будет поле­ зен в практическом проектировании.

Книга «Упругопластические решения и предельные состоя­ ния» содержит решения практических задач в упругой и упруго­ пластической постановках для различных элементов конструк­ ций: балок и рам, пластинок и оболочек, вращающихся дисков. Расчетные схемы сопровождаются информацией о прочности и технологических свойствах конструкционных сталей и сплавов, а также композитных материалов. Это позволяет при выполне­ нии расчетно-графических работ, курсовых и дипломных проек­ тов получить решение задач в законченном виде.

Авторы надеются, что читатель, познакомившись с решения­ ми задач, изложенных в книгах данной серии, сможет более глу­ боко понять другие задачи механики и, главное, скорее научится правильно ставить и решать новые задачи.

Доктор техн. наук

Б. Г. Попов

ОТ АВТОРОВ

Ввыпуске «Упругопластические решения и предельное со­ стояние» описываются реализации различных расчетных случаев для упругого, упругопластического, малоциклового и теплового нагружений. Рассмотрены элементы аппаратов низкого и высо­ кого давления, вращающиеся диски при инерционных нагруз­ ках. Проведен анализ напряженно-деформированного состояния

вдиапазоне от упругого воздействия до достижения предельных нагрузок. Сведения о прочностных свойствах композиционных материалов позволяют в учебном процессе обратиться к опти­ мальному проектированию, а информация о свойствах конструк­ ционных сталей и легких сплавов при повышенных температу­ рах — к различным аппроксимациям диаграмм деформирования.

При изложении материала использовано преобразование Остроградского—Гаусса для различных ситуаций решения за­ дач механики деформируемого твердого тела. В одной ситуации (см. выпуск «Решение задач механики методом конечных эле­ ментов») это позовляет понизить порядок производной основ­ ной функции (перемещений) и перейти к конечным разностям.

Вданном выпуске решения в замкнутом виде для упругоплас­ тического и предельного состояний получены с единых позиций, используя параметры диаграмм деформирования конструкцион­ ного материала.

Особенностью этого выпуска является рассмотрение 37 приме­ ров па основе использования современных методов расчета на проч­ ность.

АНАЛИЗ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ПРИ ПРОСТОМ ИЗГИБЕ

Рассмотрим упругопластический изгиб балки. Это позволит перейти затем к

изгибу пластин и оболочек.

1 .1 . РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗОН В СЕЧЕНИИ ПРИ ЧИСТОМ ИЗГИБЕ

Исследуем чистый изгиб при условии, что поперечное сече­ ние имеет ось симметрии у, которая лежит в плоскости изгибаю­ щего момента (рис. 1.1, в).

Используем модель идеального упругопластичного мате­ риала, одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию (рис. 1.2, б), при этом как в упругой, так и в упругопласти­ ческой стадии нагружения справедлива гипотеза плоских се­ чений (рис. 1.2, а).

Введем обозначения:

•М — изгибающий момент;

•h — высота поперечного сечения;

•b — ширина поперечного сечения на расстоянии у от нейт­ рального слоя, Ь = Ь(у).

На основании гипотезы плоских сечений деформация волок­ на тп (рис. 1.1, в, г), расположенного на расстоянии у от нейт­ рального слоя А:/, связана с радиусом кривизны р соотношением

е = у /р.

Остановимся сначала на случае изгиба «полоски» прямоуголь­ ного сечения (рис. 1.1, б), когда есть горизонтальная ось х сим-

Рис. 1.1. Геометрия бруса при изгибе:

а — симметричное сечение; б — прямоугольное сечение; в — ис­ ходное состояние; г — деформированное состояние

,8* У/Р

/ - ■ J ....

в( ег е2|

10 1. Анализ упругопластического состояния при простом изгибе

метрии сечения, а нейтральная линия проходит через центр се­ чения (точка Сна рис. 1.1, б).

Обозначим через гт2Х относительное удлинение в точках, наи­ более удаленных от нейтральной оси. В точке е (см. рис. 1.1, б) области растяжения е = етах, в точке / области сжатия е = —епш. Распределение деформаций при различных значениях smax при­ ведены на рис. 1.2, а. Напряжения, соответствующие деформа­ циям, могут быть определены на основе диаграммы а —е, приве­ денной на рис. 1.2, б.

На стадии упругого поведения материала (рис. 1.3, а)

М_

стшах ц г »

где W — момент сопротивления сечения при изгибе, и момент Мъ соответствующий достижению предела текучести в точках е и /(рис. 1.3, б), равен

Проследим процесс постепенного увеличения кривизны (1/р). Выражение для изгибающего момента имеет вид

М = \oydF .

F

Элементарную площадку dF в данном случае удобно принять в виде полоски, параллельной нейтральной линии (см. рис. 1.1, а),

Рис. 1.3. Изменение эпюры напряжений:

а — упругое нагружение; б — достижение предела текучести

вкрайних волокнах; в — образование пластических областей;

г— распространение пластических областей