книги / Упругопластические решения и предельное состояние

4.2. Расчет угловой скорости и предельного значения угловой скорости 81

чение отличается мало (С = 1,79). Поскольку значение coj-вы­ числено также в соответствии с теорией наибольших касатель­ ных напряжений, можно сравнить значения Sj и Шу для сплош­ ного диска:

щ /а>Т = д/Зау/рЬ2 : ^8оу/(3 +р)р/»2 = 1,11.

После того как появились первые пластические деформации, достаточно небольшого увеличения скорости вращения (около 11 %), чтобы пластическое состояние охватило весь диск.

Оценим предельную ситуацию для диска произвольного про­ филя. Поскольку окружные напряжения наибольшие, в предель­ ном состоянии для идеально пластичного материала по всему диаметральному сечению CTJ —<х3 = а, = аТ. Эксперименты также выявили разрушения дисков по диаметральным сечениям.

Рассмотрим равновесие половины равномерно нагретого дис­ ка переменной толщины h(г) без внешних нагрузок на контуре (рис. 4.4).

Инерционные нагрузки дают проекцию отрывающей силы на вертикаль (V — объем полудиска)

N= J p co V co scp ^=/Kpm2J /z (r 2)rcosydqdr =

vv

Обозначим F - J h(r)dr, / = J r2h{r)dr — соответственно пло-

ьb

щадь и момент инерции (относительно оси вращения) радиаль­ ного сечения диска.

I I 1M 1JJ-K

Рис. 4.4. Предельное равновесие диска:

а — окружное напряжение; б — сечение диска; в — диаграмма Прандтля

82 4. Расчет вращающегося диска

Отрывающее усилие уравновешивается внутренними усилия­ ми (напряжениями) в диаметральном сечении, которые действу­

Wj = yjaTF /pJ.

Из этой формулы следует, что для повышения прочности диска надо увеличивать толщину в области ступицы диска, так как при этом момент инерции сечения возрастает медленнее, чем его площадь, и значение возрастает.

Нагрузки на внешнем контуре, площадь поверхности которо­ го S, пропорциональны рсо2, а именно рь = Ярсо2, где X — коэффи­ циент пропорциональности (м2). В этом случае уравнение равно­ весия содержит еще одну составляющую в проекции сил на вер­ тикаль:

Ф

J pbcos ф ds = pb J hbcos ф d(p = 2 pbhhb.

Напряжениями на внутреннем контуре (/* = а) можно пренеб­ речь, так как давление от напрессовки на вал, которое имеет ме­ сто в условиях эксплуатации, к моменту достижения предельно­ го состояния исчезнет из-за радиальных перемещений на внут­ реннем контуре диска.

Действительно, если, например, диск постоянного сечения при внешнем радиусе b насажен с натягом на жесткий вал радиу­ са а так, что нормальное давление между валом и диском равно р, то угловая скорость со0, при которой диск свободно перемещает­

Это решение приведено на основании (4.4)—(4.7). Для упру­ гого нагружения справедливо р < ати р = 0,3; поэтому можно установить, что для Ь/а> 3 имеет место со0 < со,.

Обозначив hbb = Fb и учитывая, что при неравномерном на­ греве диска ат= a r(r), получаем (см. (4.12)):

ь

j а т(r)h(r)dr = pm\J + pbF„ = pmf ( / + XF„),

При постоянных значениях аТи h и X = 0 получаем приведен­ ное ранее значение (4.11) предельной угловой скорости для дис­ ка постоянной толщины.

4.3. РАСЧЕТ ДИСКА НА ЧАСТИЧНОЕ ИСЧЕРПАНИЕ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ

Рассмотренная предельная ситуация для диска не является един­ ственной возможной. Имеют место случаи, когда деформации на­ чинают неограниченно расти не во всем диске, а только в его периферийной части, примыкающей к наружному контуру. В этом случае периферийная часть отрывается по окружному сечению и разделяется на отдельные части, а центральная остается целой. Условно такое достижение предельного состояния называют ча­ стичным, или местным разрушением, в отличие от рассмотрен­ ного ранее полного (диаметрального) разрушения диска. Осо­ бенно важно рассмотрение такой ситуации для неравномерно нагретых дисков.

Причину частичного исчерпания несущей способности пояс­ ним на примере нагружения ступенчатого диска (рис. 4.5), со-

При частичном исчерпании несущей способности конструктив­ ный элемент уже не используется, а именно если со2 < “ и то происходит отрыв тонкой части диска. Чтобы достичь полного исчерпания несущей способности, следует при проектировании ступенчатого диска предусмотреть

_ йз -</3 т < —— -----т-------,

b(b2 - d 2) - d 3

тогда ш* = ©! < со2.

При оценке местной прочности следует также учесть влия­ ние отверстий, расположенных на полотне диска, на его несу­ щую способность. Именно эксцентрично расположенные отвер­ стия (рис. 4.8) вызывают в некоторых случаях частичное разру­ шение диска.

Выпишем на основании (4.13) и (4.14) значения coj и 632 для диска постоянной толщины h при наличии п отверстий диамет­ ром d, расположенных по окружности радиуса г = с:

Ситуация частичного разрушения станет реальной, если ш2 < Sj, т. е.

b - d ^ b - d - d (я/п- 1)/2

Ь-3 " А3 - с3

Рис. 4.8. Расчетные схемы полного и местного исчерпания несушей способности диска с отверстиями:

а — разрушение по диаметру; б — местное разрушение

Так, например, при с = 0,5Ь и d = 0,\Ь получаем п > 10. Это означает, что увеличение числа отверстий до десяти не приводит к ослаблению диска; лишь при большем числе отверстий пре­ дельная скорость уменьшается в связи с переходом к местному механизму исчерпания несущей способности.

4.4. ЗАПАС ПРОЧНОСТИ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ ДИСКОВ

Напряжения во вращающемся диске пропорциональны квад­ рату угловой скорости вращения и плотности материала (см. (4.2)). Удельный вес стали примерно в три раза превышает удельный вес дюралюминия. Поэтому при равных условиях нагружения напряжения во втором случае будут примерно в три раза мень­ ше, чем для стального диска. В то же время предел прочности стального образца примерно в три раза выше предела прочности дюралюминиевого; в аналогичном соотношении находятся пре­ делы текучести материала. Значит, степень нагруженности мате­ риала в обоих случаях одинакова. Здесь существенна удельная прочность материала [а]/у, а из приведенного анализа следует, что во вращающихся дисках выгодно применять легкие сплавы. Они равнопрочны со стальными, но имеют преимущество в весе. Сделанный вывод справедлив лишь в случае, когда не рассмат­ ривается работа диска при повышенных температурах. При на­ греве до одинаковой температуры дисков, выполненных из раз­ личных материалов, их равнопрочность не сохраняется. Это про­ исходит вследствие различного изменения прочностных свойств конструкционных материалов при нагреве.

Приближенная оценка прочности диска во времени проводится с использованием характеристик длительной прочности матери­ ала. Для этого в расчетных формулах при отыскании предельно­ го числа оборотов со* необходимо заменять предел текучести аТ пределом длительной прочности аг1 при заданном ресурсе рабо­ ты, который для материала является известной функцией от тем­ пературы.

напряжениями:

а— сечение равнопрочного диска; б— напряжения

Ь

Вес такого диска может быть подсчитан по формуле

Ранее было указано, что для сплошного диска со, = = const. Если же используют диск с отверстием, то на контуре отверстия практически не может быть приложено растягивающее радиаль­ ное напряжение и такой диск можно лишь приблизить к равно­ прочному за счет расширения ступичной части.

В центробежных нагнетателях лопатки расположены на боко­ вых сторонах диска (рис. 4.10). Обычно при расчете жесткость лопаток на растяжение не учитывают и лопатки рассматривают как присоединенные массы, а диск рассчитывают с учетом при­ веденной плотности материала

1+ k z - F (r )

РР 2nrh(r)

где к — коэффициент, зависящий от расположения лопаток (при одностороннем расположении к = 1,0, при двустороннем к = 2,0); Z_ число лопаток; F(r) — площадь поперечного сечения лопатки.

■ _ Л М

b

Г

Рис. 4.10. Диск центробежного нагнетателя