книги / Упругопластические решения и предельное состояние
..pdf3.1. Основные соотношения |
51 |
Кроме того, выражение (3.2) может быть записано как
(3.2.1)
dr
или
а -+ а' = 1г 7 У а' \ |
(3'22) |
На ось z (см. рис. 3.2) проектируются лишь напряжение а. и внешнее усилие 7V, которое зависит от условий нагружения. Ог раничимся рассмотрением цилиндрического сосуда с днишами, которые воспринимают действие давления в осевом направле нии и передают это усилие на цилиндрическую часть. В этом случае
N |
= %{рх<г |
- р2Ьг); |
7пГЬ |
\ |
b |
\ a zdF = J J o.rdr L/cp = 2n ja zrdr = N\
F OU * J a
[ р ^ - р ф 1)
(3.3)
2
Уравнения равновесия и приведенные соотношения для де формаций справедливы как при упругом, так и пластическом состоянии материала.
Уравнения, связывающие деформации и напряжения. Для ци линдра имеем связь радиальных, окружных и осевых деформа ций и соответствующих напряжений:
£'= т \ |
[стг -ц*(ст,+аг)]; |
(3.4) |
|
|
|
||
• ' - |
F |
IЧ - м ‘ К -+ °г)]; |
(3.5) |
|
|||
8* - |
F |
I[аг - м 'К - +<*/)]• |
(3.6) |
|
|||
Из приведенных трех групп основных уравнений получим дополнительные соотношения, отражающие особенности напря женного и деформированного состояний.
52 3. Расчет цилиндров высокого давления
Осевая деформация цилиндра. Определим значение £. для слу чаев упругого и упругопластического состояний материала. Из уравнения (3.3) с учетом того, что о. = £*ег + р*(аг + а,) —• см.
(3.6), а (а, + аг) = |
— см. (3.2.2), получаем |
||
/* dr |
|
|
|
r c . . |
./ 2 |
\|* |
{ Р ^ - Р г ^ |
I е |
+ p r M |
L |
= '------ 2------- |
откуда |
|
|
|
а |
|
|
от> |
|
|
^ |
|
Д ля упругого материала £* = £, р* = р и имеем
(3.8)
а для упругопластического деформирования (£* = £ ' и р* = 1/2) из (3.7) получаем
ь
8J [ £ ' ('■)]«*• = 0 .
а
Поскольку
J O 'M ] " * - |
ф о, |
.a |
|
справедливо равенство |
|
£< = 0 |
(3.9) |
(имеет место ситуация плоских сечений, значит zz = 0).
Связь между напряжениями. Покажем, что напряжения свя
заны соотношением |
|
|
|
- |
(СТг + °,) |
(3.10) |
|
г |
2 |
||
|
|||
а интенсивность напряженного состояния |
|
||
«/ = |
|
(3.11) |
|
3.1. Основные соотношения |
53 |
Для упругопластического состояния материала из соотношения
аг = E * E Z + р* (аг + а,) при E Z = 0 и р* = 1/2 сразу следует, что справедливо
_ («<■+«/)
——
Для упругого состояния материала из соотношения
о г = £ е , + ц ( о г + о ,)
с учетом ег = const получаем
(ЗП1)
dr dr
В то же время, подставив значения ег и е, из выражений (3.4), (3.5) в уравнение совместности деформаций (3.1), с учетом урав нения равновесия (3.2) получаем
g |
l . l ' K |
+ Ч |
(3.11.2) |
dr |
р |
dr |
|
Из сопоставления выражений (3.11.1) и (3.11.2) для произ водных daz/dr следует, что а, = const. Значение аг определяем из уравнения равновесия (3.3):
N |
[Pia2-P ib2) |
n ( b 2 - a 2) |
(Ь2 ~ а 2) |
и тогда из соотношения az = Е е: + р(а,. + а,) с учетом значения
EZ = (1 -2 р )^ г — см. (3.8) получаем
K+ g > ) .
2 ’
(l - 2 р ф) (g f + G,)
(3.12)
* Г 2
Для упругого деформирования р* = р, Е* = Е получаем выра жение (3.8); упругопластическому деформированию (р* = 1/2) соответствует выражение (3.9).
54 |
3. Расчет цилиндров высокого давления |
|
|
Обобщенное напряжение |
независимо от состояния мате |
риала, равно |
|
|
Связь между деформациями. Покажем, что интенсивность де формированного состояния описывается выражением
С
Е/ = — >
Г
где С = const.
Из соотношений (3.4)—(3.6) для изменения объема получаем
, + в , + е г = ек |
( i - v ) , |
|
\ |
||||
= ' |
. |
|
; (о, |
+ q , + c j . |
|||
С учетом того, что а. = |
(аг + |
а,)/2, |
(1-2|д“) |
||||
а в. = |
-----;—- а г — см. |
||||||
(3.12), имеем |
|
|
|
|
|
|
Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ег + е,= 2ег. |
|
(3.13) |
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
в, = ^ ^ ^ - в |
, ) 2+ (е ,- в г)2+ (вг - е г)2 - ^ |
у ( е , - в,)- |
|||||
Условие (3.13) запишем в виде |
|
|
|
|
|||
du |
и |
, |
|
1 |
d (т) |
|
|
— + - = const, |
и л и ---- —- = С , |
|
|||||
аг |
г |
|
|
г |
аг |
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
Q r С2 |
|
|
. С |
|
||
« = ~ - + - г ; £/ |
|
= 2— |
|
||||
|
2 |
г |
|
|
|
г |
|
и получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* # - т - |
|
|
|
О -И) |
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
где постоянную интегрирования С определяют из граничных ус ловий.
3.2. Вывод разрешающего уравнения и его решение
55
Конкретизируем
С = С2л/з/(1 + ц*).
Для упругого материала
С = С2х/з/(1+ц); для упругопластического материала
С = C2V3/(3/2) = 2С,/л/3
и, кроме того, поскольку ег = 0, из выражения (3.13) ег = - е, получаем
Значение е, используют для вычисления радиального переме щения и = г -ег
3.2. ВЫВОД РАЗРЕШАЮЩЕГО УРАВНЕНИЯ
ИЕГО РЕШЕНИЕ
Вуравнении равновесия (3.2) dajdr = (а, - аг)/г преобразуем правую часть на основании соотношения (3.11) и получим разре шающее уравнение в виде
dar _ 2 а,
dr 7з /• '
Далее предложим и используем в примерах новый метод ин тегрирования плоской одномерной задачи теории пластичности, который позволяет в компактной форме дать вывод расчетных формул и учесть различные случаи аппроксимации реальных ди аграмм ст,—е,. Представляется возможность наиболее полно учесть при конструировании специфические особенности тех или дру гих материалов.
При интегрировании разрешающего уравнения его правую часть интегрируем по частям:
56 |
3. Расчет цилиндров высокого давления |
Затем интегрируем по частям еще раз
При рассмотрении производных переходим от переменной г к переменной е, — см. (3.14):
Для этого используем соотношения замены переменных в дифференциальных выражениях:
|
dCj __ d<js |
1 |
|
|
|
dr |
de,. |
dr/dZj ’ |
|
d 2Gj _ |
1 |
( dr |
d 2Cj |
d 2r da/ |
dr2 |
(dr/deif U £/‘ |
dz) |
dEi dz‘ J |
|
и соотношения производной обратной функции
d r /d t j |
_ ( й[бЛ2_ 4С 2. d 2r j d z 2 / _ |
|
_ -6С |
|
( d r / d e r f |
l d r ) |
г 6 ’ (d r / d Z f f |
d r l |
r * |
Основное уравнение получаем в виде
(3.15)
Выполненные преобразования позволили выделить функцию о,. Постоянные С и В находим из граничных условий, компоненты напряженно-деформированного состояния вычисляем на основе выражений:
3.3. Нагружение давлением. Частные случаи решения |
57 |
3.3. НАГРУЖЕНИЕ ДАВЛЕНИЕМ. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ РЕШЕНИЯ
3.3.1. Упругое нагружение материала цилиндра
В этом случае
а, = Ее{
</е,.
и из выражения (3.15) имеем
На основании граничных условий (аг)а= ~рь (а,)а= -р 2получаем
• - |
„ У '* -» |
й |
ЬЧа’ -Ь '/г 2. |
|
'г |
Р1Ьг/а2- 1 |
h |
Ь2/а2-1 |
’ |
|
+ 42/г 2 |
|
Ь2/а 2+Ь2/г 2 |
(3.17) |
|
|
|
||
г' |
/'11 - 62А 2 |
й |
А2/*2- ! |
' |
Эпюра напряжений для ситуации р2= 0 приведена на рис. 3.3. Для этого случая установим значение рТ— давление, при котором в наиболее нагруженном сечении цилиндра в материале достигнут предел текучести от. Как видно из эпюры, наиболее нагруженным является внутренний контур цилиндра (г = а). Указанный факт можно также установить из выражения для интенсивности де формированного состояния, которое при г ~ а принимает наи-
Рис. 3.3. Эпюра упругих напряжений
58 |
3. Расчет цилиндров высокого давления |
большее значение е, = С/а2. Подставляя в условие достижения предела текучести — см. (3.11)
= у ( а <- аг) = а т
значения а, и а„ приведенные в выражении (3.17), получаем
2 |
(Р2 - 1) |
(3.18) |
|
Рт ~ 7 з ° г |
2Р2 |
||
|
где Р = -а•
Если цилиндр нагружен как внутренним p lt так и внешним давлением р2) то выражение (3.18) относится к перепаду давле ния, при этом
Рт - Р\~ Pi'
3.3.2. Цилиндр из неупрочняющегося материала
Рассмотрим напряженное состояние цилиндра, нагруженно го внутренним давлением р> рт. При этом выделим две области цилиндра, разделяемые радиусом гт\ в области а < г< гтматериал находится в пластическом состоянии, а в области rT< r< b мате риал работает упруго. Радиальное напряжение в их общем сече нии обозначим «—q», тогда
Юг .* =-?■
Впластической области для цилиндра из неупрочняющегося материала
dai |
Л |
|
- = 0. |
0 ;= с т'> T "L = °; |
Л? |
||
d£/ |
|
|
|
Из выражения (3.15) следует |
|
|
|
|
Inr + B. |
||
На основании граничного условия (аг) |
= —р х получаем |
||
3.3. Нагружение давлением. Частные случаи решения |
59 |
и при г = /у имеем |
|
? = - ( a r)r=rr = Л - ^ ° г |п7 ' |
(3.19) |
В упругой области цилиндра справедливы соотношения (3.17), если заменить р { на q и а на /у, а на внутреннем контуре упругой области, где достигнут предел текучести,
9~ Pi = Р т $,) = |
2_ |
(3.20) |
где = Ь/гт.
Приравнивая выражения (3.19) и (3.20), получаем уравнение
для определения /у |
|
InP. ^ i = ln ^ |
-1 |
|
7з
Сначала по известным значениям р, /?,, р2 и <тг вычисляем
Ф (р,) = 1пр-(Л - Л ) ^ - ,
затем устанавливаем соответствующее значение ру и вычисляем
гт= Ь/Р,.
Предельное состояние в цилиндре определяем из условия, что пластическая область охватывает всю толщину цилиндра, тогда /у = Ь, а значение перепада давления р при этом находим из граничного условия
/ \ |
2 , Ь |
= -А . |
(°Л .=4= - Л + ^ ° г 1п- |
||
откуда |
|
|
|
P=Pi ~Р2 = |
(3.21) |
Эпюра напряжений для случая р2 = 0 приведена на рис. 3.4, при этом
2 |
г |
аЛ г) - ~Р + ш^ |
а тl*1” ’ |
, . 2 |
Ог+°/ |
<*<('•) = 4 з ат+<3,; |
z = ~ ~ 2 ~ ' |
60 |
3. Расчет цилиндров высокого давления |
г
Рис. 3.4. Эпюра предельного состояния
Если конструкционный материал цилиндра обладает свойства ми упругопластического тела без упрочнения, то после достиже ния предельного давления р деформации трубы могут достигать значительных величин.
3.3.3.Цилиндр из упругопластического материала
слинейным упрочнением
В пластической области для цилиндра из упругопластическо го материала с линейным упрочнением
о , = Tia7 + kZj = о* + к-т-\ r z
Из выражения (3.15) имеем
(3.22)
Последовательность решения задачи о размерах упругой и пластической областей в этом случае аналогична последователь ности решения задачи для материала без упрочнения.
Предельное состояние рассматриваемого цилиндра соответ ствует распространению пластической области на всю толщину цилиндра, поскольку угол наклона диаграммы е,—а,- на участке пластического деформирования гораздо меньше угла наклона на начальном упругом участке диаграммы. Это условие, записанное через интенсивность деформации, имеет вид