книги / Упругопластические решения и предельное состояние

Пример 6.1

►Анализ переменной оптимальной (по прочности материа­ ла) концентрации компонентов.

Решают задачу поиска оптимального соотношения концент­ раций пластификатора и отвердителя в некотором композици­ онном материале. Числовое значение предельной концентрации пластификатора xl opt (рис. 6.11) увеличивается по мере снижения дозировки отвердителя х^. В общем виде для моделей второго порядка закономерности изменения переменного оптимального

из решения дифференциального уравнения дWJdx,■= 0, получен­ ного из квазиоднофакторной модели, определим значение пре­ делов прочности

Рис. 6.11. Однофакторные зависимости предела прочности Wот количества пластификатора х, и отвердителя х2при ква-

зиоднофакторных моделях:

а — пластификатор; б— отвердитель

1226. Прочностные и технологические показатели

Впредставленной модели целевой функцией является W((раз­ мерность пространства п = 2), а в качестве управляемых пере­

менных выбраны концентрации пластификатора х х и отвердителя х2. У этой модели нет свободного члена, поэтому она отра­ жается семейством кривых, проходящих через начало координат ( 0 и Х( = 0). При этом граничные кривые семейства соответ­

ствуют такому набору х,-, при котором слагаемое b;jJ ху достига- j

ет максимума по абсолютному значению.

Из модели прочности композита следуют две квазиоднофакторные модели:

Wx = (-0,48-0,18х2)х, -0,38х?;

Щ =(0,19-0,18*,)*, -1,22*1,

для которых семейства парабол построены на рис. 6.11. Соответствующие (6.20) оптимальные переменные концентра­

ции пластификатора xLopl и отвердителя х2 , описывают прямые:

показанные на рис. 6.12. Из (6.21) и (6.22) следует, что для сохра­ нения оптимальной дозировки любого из двух компонентов при увеличении одной из них другая должна уменьшаться.

При подстановке, в частности, (6.22) в модель можно полу­ чить закономерности изменения прочности под влиянием индиви­ дуального фактора х,, но при условии, что другой фактор Xi будет поддерживаться на переменном оптимальном уровне (например, с помощью автоматического регулятора с прямой связью между х, и х2):

Вместо прямой подстановки те же модели можно получить, используя общие формулы прироста эффектов за счет перевода х,- на оптимальный переменный уровень xLcxt (6.20):

Д*0 = -0,25bf/blt; Abj = -0,5bfyj/b,,, 1

(6.24)

АЬЛ = -0,25bfj/Ьц; Ab„ = -O .S b ^ /b ,,.

123

тора JC, ор, и отвердителя х2ор, при различи стабилизации второго фактора:

а — пластификатор; б — отвердитель

Для х 1ор1 расчет приростов следующий:

Д40 = -0,25 х (-0,48)7(-0, 38) = 0,152;

ДЬ2 = -0,5 х (-0,48) (-0,18)/(—0,38) = 0,114;

Д42, = -0,25 х (-0,18)2/(—0,38) = 0,021,

и позволяет перевести модель прочности композита в параболу

Доверительные интервалы показаны на рис. 6.12. Обращает на себя внимание сравнительно широкий доверипшъный интер­ вал для оптимальной дозировки пластификатора opt. Это объяс­ няется тем, что парабола (6.25) более «островершинная, чем (6.23), так как \Ь22\ > |6П|. Анализ рис. 6.12 позволяет принять более про­ стую, чем (6.21), гипотезу xl opt = const, поскольку проведенная через хх= -0,632 параллельная оси х2прямая полностью уклады­ вается в доверительный интервал в пределах |дг2| < 1. Таким обра­ зом, с вероятностью а = 0,2 на основе статистических критериев отклоняется гипотеза о влиянии расхода отвердителя на опти-

мальную дозировку пластификатора, но может быть сохранена гипотеза (6.22) о линейном снижении оптимальной добавки отвердителя с ростом дозировки пластификатора.

С инженерной точки зрения целесообразно оценить потери L (от английского lost) критерия качества при замене линейных регулировочных функций (6.21) и (6.22) на константы, равные свободным членам в этих функциях, т. е. средним xi opl в диапа­ зоне \xj\ < 1, что равносильно назначению в (6.20) всех Ьи = 0.

Последнее приводит к тому, что в двухфакторной модели прочность композита определяется лишь приростом АЬи (6.24):

L R {*,} = Д{х„ор,} - R { x , m } =

= 0,25(4$ /Ьи)х) +0 ,5 £ (А А /М * А -

Результаты расчета по LR{xj} = 0,021х| и LR{х2} = 0,007х2 показывают, что потери при отказе от оптимальных переменных уров­

ней невелики, следовательно, могут быть приняты х/ ор1

как оптимальные постоянные дозировки обоих компонентов. Развитие современных систем автоматизированного проек­

тирования (САПР) идет по пути создания многоуровневых, ин­ тегрированных САПР, охватывающих в едином цикле все этапы внешнего и внутреннего проектирования. Несмотря на возраста­ ющую сложность САПР, они базируются на типичной схеме про­ цесса проектирования.

Постановки математических задач, возникающих при реали­ зации перечисленных процедур в САПР, так или иначе связаны с оптимизацией. Типичной схеме процесса проектирования со­ ответствуют три уровня оптимизации. Первый уровень состоит в выборе наилучшей технической идеи или принципа действия объекта проектирования (ОП); второй есть поиск оптимальной структуры или схемы с учетом выбранного принципа действия; третий — определение наилучших значений параметров ОП для выбранной структуры.

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРОЧНОСТНЫЕ И ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ КОНСТРУКЦИОННЫХ СТАЛЕЙ И СПЛАВОВ

Приложение содержит сведения по конструкционным сталям, жаропрочным, алюминиевым, титановым и высокожаропрочным сплавам. В качестве исходных материалов были использованы ГОСТ, ТУ, АМТУ, информационные материалы ВИАМ и др.

Ссылки на нормативные документы здесь опушены, доста­ точно полные сведения о них, а также сортамент содержатся в энциклопедическом издании: Тимонин А.С. Основы конструи­ рования и расчета технологического и природоохранного обору­ дования. Справочник. — Т. 1. — Калуга: Издательство Н. Бочка­ ревой. — 2001. — 756 с.

Приведены краткая характеристика полуфабриката, прочность и пластичность при различных температурах, обрабатываемость, свариваемость, коррозионная стойкость и другие качества полу­ фабрикатов в виде листов, прутков, профилей, поковок, штам­ повок и др.

Представлены конструкционные стали, современные жаро­ прочные сплавы, титановые сплавы, сплавы на основе редкозе­ мельных металлов, которые в настоящее время находят все боль­ шее применение в химическом, реакторном и криогенном ма­ шиностроении, в авиа- и ракетостроении.

Это приложение практикума предназначено для обеспечения учебного процесса (при выполнении расчетно-графических ра­ бот, курсовых и дипломных проектов, студенческих научно-ис­ следовательских работ), а также при выполнении научно-иссле­ довательских, проектных и конструкторских работ в машиностро­ ении.

Представленные сведения позволяют выполнить расчеты с учетом упрочнения, автофретирования и целевого снижения ос­

Прочностные и технологические показатели конструкционных сталей 129

Окончание табл.2