книги / Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений

для вычисления давления, задаются выражениями

в результате подстановки выражения (9.7.9) в граничное условие (9.7.7), может быть решена как методом Эвварда (см. § 7.3), так и путем наложения конических течений. Выкладки, ведущие к цели, несколько длинны, но окон­ чательный результат, т. е. интеграл от потенциала по размаху и его первая производная по времени (см. Лагерстром [^^°]), имеют вид

Очевидно, что решение этой задачи может быть получено из результатов § 9.3 простой заменой параметра X на —is

Коэф4)ициенты Л м о ж н о разложить в степеппой ряд

что ряд сходится в радиусе, близком к 4. Искомые разложе­ ния, полученные с помощью соотношений (2.151), (2.21),

по крайней мере один полюс, так что интеграл %* имеет их бесчисленное множество. Но приведенные выше разложе­ ния (9.7.20—23) служат лишь для определения с приемлемой точностью наименьшего из этих полюсов, а именно

где черточкой сверху обозначена комплексная сопряженная величина. Выделяя из выражения для %*(5) сингулярные части (особенности), связанные с этими полюсами, и, пре­ небрегая особенностями более высокого порядка, мы можем разложить выражение (9.7.18) в ряд по возрастающим сте­ пеням параметра s. Этот ряд имеет вид

Обратное преобразование выражения (9.7.26) дает асимпто­

ния (9.7.28), следует отметить, что они могут влиять на эти разложения, если функция v* содержит члены типа 5 '“,

и т. д. (соответствующие членам тип? t, t- и т. д. в выра­ жении для функции о). Отметим также, что хотя, в принципе,

1) При вычислении а.] учитывались член

МЫ никак не обосновали здесь сохранение экспонен­ циальных членов и в то же время пренебрежение членами порядка t " “ ln*t, но расчеты показывают, что экспоненциаль­ ные члены доминируют в асимптотических приближениях на большей части диапазона, где эти приближения приме­ няются.

Результаты численных расчетов по формулам (9.7.10, 11,28) приведены на рис. 9.6. Мы видим, что приближение

Рис. 9.6. Интеграл от потенциала по размаху для единично­ го скачка скоса потока в момент времени т = 0.

(9.7.28) в пределах точности графического изображения

сравнивалось с вышеприведенными результатами, и была показана его непригодность за исключением очень малых

§9.8. Крылья квазималого удлинения и метод исследования низкочастотных колебаний

при околозвуковых скоростях

Результат теории крыла малого удлинения (§ 9.2) может рассматриваться как первый член разложения решения граничной задачи о крыле в ряд по степеням удлинения (см, примечание на странице 156),

Адамс и Сирс (*], (Ч получили следующий член этого

водную по д: в дифференциальном уравнении в частных производных, вместо (|, Ti) следует воспользоваться коорди­ натами {у, г). Будем исходить из дифференциального урав­ нения (3.3.4), предполагая гармоническую зависимость от времени (3.10.2).

Тогда =)

Уравнение (9.8.2) формально идентично уравнению (9.1.9), если в последнем Я предполагать мнимым, а переменные (|, г|) заменить на (у, г). Тогда, по аналогии C (9.4.1), решение уравнения (9.8.2), обращающееся в ф* (s, у)

комплексные амплитуды ф п v, поскольку множитель, свидетель­ ствующий о гармоническом характере зависимости от времени, можно либо сохранить, либо опустить.

где теперь уже

и интегрирование по "п проводится в интервале (— оо, + оо). Последнее обстоятельство обусловлено тем, что потенциал Фо (s. "П) зависит, в общем случае, от фо (^, л) при всех зна­ чениях (Пределы интегрирования в выражении (9.8.4) могут быть заменены на ± бтах, однако пределы ± со не менее удобны.) Если выражение (9.8.4) продифференциро­

то получится интегральное уравнение, аналогичное урав­ нению (9.4.5).

Однако, как и в уравнении (9.4.7), целесообразно сначала выделить сингулярную часть ядра, и тогда, опуская

и соответствующим образом видоизмененный применительно к рассматриваемой задаче:

где <p‘“’ — решение, полученное по теории крыла малого удлинения ILcp" = v\. Первая итерация (9.8.9) дает решение с точностью до членов порядка о\х-Ь^), если только функция g* аппроксимирована первым членом разло­ жения в ряд выражения (9.8.7), т. е. имеет вид (ср. 9.4.25)

Подставляя это выражение в формулу (9.8.9) и ввделяя член C InX, после перемены порядка операций интегриро­

вания пот] и преобразования Лапласа получим ^)

-Ах)

Пользуясь результатами § 9.2, можно показать, что инте­ грал от по хорде стремится к нулю, при х - ^ 0 , как Ь\х), а следовательно, по условию (9.1.1), как х®. Обратное преобразование первого члена (9.8.11), таким образом, будет иметь вид

Нх)

-Ь(*)

Ь(х)

= ^ I [ - Т + 1 п (у | у - 1 1 | )]ф "’Ч ^ Ч )‘'Л- (9.8-12)

-Н х )_______

Заметим, что при получении решения в ряде случаев бывает целесообразно сохранить функцию в форме (9.8.11) и выполнить операции преобразования Лапласа после проведения необходимых интегрирований по хорде крыла с помощ,ью преобразования Лапласа.