книги / Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений

вниз по потоку от самой передней точки крыла в начальный момент времени, у положителен в сторону правого крыла,

©

(T)

Рис. 2 .1. Система координат, неподвижная в про­ странстве.

а положительным направлением оси z принято направле­ ние вверх. Соответствующее безразмерное время в этой системе обозначим через Т. Теперь, если безразмерны" потенциал скоростей ф таков, что вектор возмущенной скорости q задается соотношением

то волновое уравнение (1.1.10) приобретает вид

где оператор А ( = V^) записан в координатах X, у, z. Иначе уравнение (2.2.2) можно переписать в виде

Граничные условия иа крыле получим, приводя к безраз­ мерному виду выражение (1.2.35Ь)

где Vопределена как заданная величина скоса потока, отне­ сенная к и . (Следует помнить, что v не является компо­ нентой скорости потока.)

Поскольку нас интересует лишь давление на поверх­ ности крыла, введем безразмерную величину перепада дав­ лений (которая будет характеризовать местную (удельную)

§2.3. Преобразование Галилея

Всвязи C трудностями, возникающими при формулиро­ вании граничных условий на движущихся телах, представ­ ляется удобным ввести систему координат, движущуюся вместе с поверхностью 5 . Проще всего сделать это с помощью преобразования Галилея

(2.3.1а)

(2.3.1b)

для которого якобиан

I) Так как при безразмерном рассмотрении характерная длина никуда явно не входит, то смысл обозначения / всегда будет ясен из контекста.

Координата Jt измеряется теперь от самой передней точки по­ верхности S (рис. 2.2). (Преобразование записано в матрич­ ной форме, для того чтобы подчеркнуть свойства симмет­ рии и упростить сравнение с преобразованием Лоренца, рассмотренным в § 2.4.) Обычно в практических задачах величина v задана в функции х и t, а потому и окончатель­ ное решение для ф выразится через те же переменные.

Вводя преобразование (2.3.1) в уравнение (2.2.2), полу­ чим (ср. C (1.1.12)):

или, в более распространенной форме,

(1 - M"=) Ф*.., + ф„„ + ф „ - 2 M 4 i - М^Фп = 0. (2.3.4)

Соответствующее выражение для перепада давлений будет иметь вид (ср. C (1.1.13)):

Подчеркнем, что при переходе от (S, U^, R) к (5 ', W , R') происходит изменение масштаба, как это показано на рис. 2.3. Поэтому удлинение преобразованного крыла (часто именуемое эффективным удлинением) связано с удлинением исходного крыла следующим соотношением ^):

Преобразование Лоренца было введено в дозвуковую теорию крыла Кюсснером 1^^®]. Оно сводится к комбинации

(to

Р и с.-2 .3 . Система координат, связанная с крылом, после преобразования Лоренца.

преобразований Галилея и Прандтля — Глауэрта (послед­ нее — просто изменение масштаба) в установившемся тече­ нии.- Сравнивая преобразование Лоренца с преобразова­ нием Галилея, видим, чтр свойство инвариантности времени здесь сменилось инвариантностью волнового уравнения,

1) _3десь мы используем стандартное определение величины удли­

а это, в свою очередь, привело к тому, что t' уже не явл51ется истинным временем.

Между координатами (2.3.7) и (2.4.1) существует очевид­ ная связь

Р ) =

f ) =P"(-м м ) (Я

Что касается симметрии матрицы преобразования (2.4.Га)< заметим, что выбор в качестве характерной скорости вели­

чины «о Дзл бы нам вместо матрицы C .:) симметричную

Классический предельный случай течения несжимаемой жидкости получается, если положить ао стремящимся к бес­ конечности в линеаризованных соотношениях предыдущих

и получающаяся граничная задача отличается от сформу­ лированной в § 2.3 лишь тем, что уравнение (2.3.3.) сво­ дится к уравнению Лапласа:

обязательно предполагается течение несжимаемой жидкости. Возможной альтернативой является случай (У = 0, как- в акустике, но тогда уравнение (2.3.3), хотя и с очевидной неопределенностью (поскольку t отнесено к UU), сводится к обычному волновому, уравнению. Эти два предельных случая, AQ- > и I/—>0, хотя обычно и отличаются сущест­ венным образом физически, могут иногда совмещаться, как, например, в случае быстрого ускорения .тела в почти несжи­ маемой жидкости (см. Майлс Лонгхорн

возникающий при исследовании затухающего движения, когда невозможность введения начальных условий, соот­ ветствующих конечному движению, подразумевает наличие бесконечного источника энергии при i = — со. Тем не менее нами избрано преобразование Фурье благодаря его глубо­ кой связи C важнейшим частным случаем нестационарного движения — гармоническими колебаниями.

§ 2.7. Гармоническое движение

Мы рассмотрим здесь случай, когда движение колеблю» щегося крыла задается уравнением

V — комплексная амплитуда (не зависящая от /), k — при­ веденная частота и ы — истинная (а не безразмерная) угло­ вая частота. Потенциал записывается в форме

изадача приводится к определению ф в функции от о. Для того чтобы свести эту задачу к задаче, сформули­

рованной в предыдущем параграфе для преобразования Фурье, установим, исходя из (2.4.IOb), что

Отсюда, чтобы получить зависимость от времени ехр (tx/') в виде, представленном в уравнении (2.6. Ib), положим

и введем видоизмененную амплитуду колебаний

так, что величины Ф и V будут связаны решением задачи, сформулированной уравнениями (2.6.2 — 6). Таким образом,

зная 1», мы определим V из (2.7.6), решим задачу (2.6.2 — 6)

И найдем ф из соотношения

Подчеркнем, что видоизмененные амплитуды V и (D не являются преобразованиями Фурье функций о и ф в том смысле, в каком об этом говорилось в предыдущем разделе. Поэтому ф и Ф, определенные соотношениями (2.7.3) и (2.7.7), не удовлетворяют равенством (2.6.1).

Вбольшинстве случаев нас интересует не потенциал ф,

аперепад давлений /. Если мы запишем

и сравним это выражение с (2.6.3) и (2.7.7), то получим

Приведенные выше соотношения позволяют свести решение задачи о колеблющемся крыле в сжимаемой жид­ кости (М # 0) к решению аналогичной задачи в несжимаемой жидкости, если членами порядка (ЛМ/Р)“ можно пренебречь, и получить таким образом обобщение хорошо известного для стационарных задач правила Прандтля—Глауэрта на нестационарные течения (Майлс 1^®’^]).