книги / Техническая термодинамика и теплопередача

В рассматриваемом случае характерным масштабом дли­ ны будет L, а скорости — U. Инерционные члены будут иметь

порядок

С другой стороны, продольная скорость Vxменяется от нуля на пластине до значения U на внешней границе пограничного

слоя. Если обозначить через 5 толщину пограничного слоя, то можно записать оценку:

Таким образом, качественные рассуждения дали неочевид­ ный результат. А именно, что толщина пограничного слоя за­ висит от числа Re потока. Чем больше это число, тем меньше оказывается пограничный слой, причем при Re » 1 ,8 « L .

дХ ду

Представим их в безразмерном виде:

x = xL; у = у 5; VX = V XU\ Уу = У у У\ р = р р 0 ,

где черточками отмечены безразмерные величины, a L, 5, U, V, р0 —характерные масштабы длины, скорости и давления.

Подставляя эти величины в систему уравнений, получим:

При стремлении числа Re -> оо уравнение примет вид

dy

Граничные условия на стенке характеризуются прилипани­ ем жидкости и условием непротекания, т.е. при у = О, Vx= Уу= 0.

Другое условие, характерное для пограничного слоя конечной толщины, и = U(x) при у = б.

Для вывода уравнения теплового пограничного слоя вос­

Введем безразмерные величины х, у, Г и т.п., получим:

х = хЦ у = уд\ VX=VXU; VY= Vy I/; a = aa„; T = TT0.

Тогда уравнение в безразмерном виде запишется следую­ щим образом:

Преобразуем коэффициенты при слагаемых в правой части:

пограничного слоя. Интегральные уравнения Теодора фон Кармана

Знать назубок еще не значит знать.

Монтень

Интегрирование уравнений пограничного слоя для конк­ ретных задач связано с достаточно большими математически­ ми трудностями в силу их нелинейности. Это обстоятельство заставило вводить приближенные методы решения уравнений пограничного слоя.

Основная группа этих приближенных методов связана с ис­ пользованием интегральных соотношений пограничного слоя.

Выведем интегральные соотношения, выражающие собой закон количества движения. При этом примем следующие до­ пущения:

1)должны выполняться граничные и контурные связи на стенке и при переходе к внешнему сечению;

2)должно выполняться только суммарное соотношение, по­ лучаемое из дифференциальных уравнений как некоторое сред­ нее по толщине слоя.

Рассмотрим уравнение количества движения:

дх ду

Выразим поперечную составляющую скорости

и подставим в уравнение (5.5):

Проинтегрируем второе слагаемое по толщине, получим:

Выразим второе слагаемое и подставим в подынтегральное выражение:

Сгруппируем подобные слагаемые:

Введем понятия толщины вытеснения и толщины потери импульса:

Sj — толщина вытеснения:

51U=f(U-l/x)dy,

О

52 — толщина потери импульса:

О

Рассмотрим физический смысл толщины вытеснения. На рис. 22 показаны профили продольной составляющей ско­ рости при обтекании пластины.

Из рисунка следует, что

РUdy - расход через начальное сечение пластины dy. рUdy - рVxdy — расход в произвольном сечении.

На рис. 23 показано распределение удельного расхода потолщине пограничного слоя.