книги / Техническая термодинамика и теплопередача
..pdf3.2. Твердые тела с бесконечно большой теплопроводностью. Расчет нагрева и охлаждения термически тонких тел
Изучение естественных наук я считаю отличной школой для ума. Нет школы для ума лучше той, где дается понятие о чудном единстве и неуничтожаемости материи и сил природы.
Фарадей
Если тело имеет боль |
|
шую теплопроводность X и |
|
низкий коэффициент тепло |
|
обмена а, то тепловой поток |
|
к телу или от тела главным |
|
образом определяется кон |
|
вективным сопротивлением |
|
и в теле имеют место малые |
|
градиенты температур, либо |
|
они совсем отсутствуют, т.е. |
|
тело пространственно изо |
Рис. 13. Тело с большим |
термично: температура ме |
коэффициентом |
няется только со временем. |
теплопроводности |
Рассмотрим тело с боль |
|
шим коэффициентом теплопроводности X и температурой
7 = Тн (рис. 13). В некоторый момент времени его поместили в поток жидкости или газа с другой температурой Тг
Задача заключается в том, чтобы определить изменение температуры со временем как функцию характеристик системы.
Запишем уравнение теплового баланса для тела:
р с ^ = - а S (T -T ,). |
(3.10) |
При t = О, Т= Тн, Tf = const, где V—объем тела; S — огра
ничивающая поверхность.
Уравнение (3.10) можно записать для избыточной темпе ратуры е = Т -Т ( :
|
d(T-Tf) |
a S d t, |
cf0 |
_ |
aS |
^ |
|
Т -Т { " " |
pci/ ’ |
~ e ~ ~ ^ c V |
' |
||
при t = 0, 0 |
= 0 Н =TH-T r |
|
|
|
|
|
Решение этого уравнения имеет вид |
|
|
||||
0 |
f a S . |
=exp[ - |
^ p |
- |
| = exp(-BiFo), |
|
— = e x p ------- --1 |
||||||
0 , |
pci/ |
|
|
|
|
|
где 8 = —■— характерный линейный размер тела. |
||||||
Например, для шара 5 = — = |
4 nR2 |
- = - |
Я, для цилин- |
|||
|
d |
S |
3 |
|
||
дра {L » d ) |
L |
8 |
= |
Bi — критерий Био, |
||
8 = — , для куба 8 = —; — |
||||||
|
4 |
б |
Я. |
|
|
|
at2
—= Fo — критерий Фурье. Критерии — безразмерные вели
чины. Оба критерия являются критериями подобия нестацио нарной теплопроводности. Критерий Био можно представить следующим образом:
Qj - |
T f) |
_ ?внеш |
“ |
Ъ ) / ^ |
9внутр |
где qwm, qMm — тепловые потоки в системе при градиенте
T -T t . Критерий Био характеризует соотношение между вне-
8
шним тепловым потоком и потоком тепла внутри тела. Крите рий Фурье можно представить следующим образом:
б / а / б ’
где а/б - скорость распространения тепла. Критерий Фурье определяет отношение времени процесса к отрезку времени, за который температурный профиль распространяется по нему на расстояние 5.
Критерии Био и Фурье позволяют представить темпера турную зависимость решения (3.10) для всех тел с бесконечно большой теплопроводностью одним универсальным графиком (рис. 14).
Рис. 14. Зависимость избыточной относительной температуры при разных значениях числа Био от числа Фурье
Решение любой задачи теории теплопроводности следует начинать с анализа величины критерия б/. В зависимости от того, какое конкретное значение имеет критерий В/, в ре шении могут быть внесены те или иные упрощения. Различают три случая.
Рис. 15. Распределение температуры в плоской стенке при малом числе В/
Рис. 16. Распределение температуры в плоской стенке при числе В/»1
Рис. 17. Распределение температуры в плоской стенке при числе В/» 1
Первый случай (рис. 15). Малое В/ может быть получено вследствие малых значений а или больших значений Х/8.
В этом случае температурным перепадом внутри тела можно пренебречь по сравнению с температурным напором (Tf - TJ,
т.е. можно рассматривать температуру тела не зависимой от координат В / « 1 .
Второй случай (рис. 16). Критерий Bi имеет средние зна
чения В/» 1 . Этот случай представляет наибольшие трудности для теории и рассматривается в специальной литературе.
Третий случай (рис. 17). Bi» 1 . В этом случае температу
ру поверхности тела вследствие большой относительной ин тенсивности теплоотдачи можно считать равной температуре окружающей среды и рассматривать задачу как внутреннюю.
Случай Bi -> оо. При заданных X. и размере стенки L усло вие Bi -> оо эквивалентно X оо, а это означает, что тепловое
сопротивление переходу теплоты от стенки к жидкости 1 /а рав но нулю. Значит, температуры наружных поверхностей стенки и жидкости в течение всего процесса охлаждения остаются равными друг другу.
3.3. Интегральный метод теплового баланса
Разве ты не знаешь, что мудрость или знание и есть благополучие.
Сократ
Интегральный метод теплового баланса использует такую модель процесса теплопроводности, когда в рассмотрение вво дится величина 6(f), называемая толщиной термического про гретого слоя, и для всех значений х > 5(f) считается, что теп лота не распространяется за пределы х = 5(f) и температура тела равна начальной температуре. Такая модель основана на конечной скорости распространения тепла, если принимать во внимание только существенные значения температуры.
Потребуем, чтобы искомое решение (3.11) удовлетворяло не первоначальному уравнению теплопроводности, а осредненному. Для этого проинтегрируем уравнение теплопровод ности по всей толщине прогретого слоя. Получим:
оо
Соотношение (3.12) называется интегралом теплового ба ланса. К интегралу слева применим формулу Лейбница:
Р(0 Р(0
i J/ М |
* - Л |
- « . o f ■ |
а|Г) |
а(0 |
|
В нашем случае будем иметь: |
|
|
|
dt |
dt |
= ^ i e - T H8(t)],
8(M
где 0 = JV(x, t)dx.
ем |
/ |
^ |
d T {m ,t) |
dT{0,t) |
|
, ± |
E |
dx = a |
|
||
Jd X |
[d X |
dx |
dX |
|
|
Проинтегрировав (3.12), получаем: |
|
|
|||
± [@ - Т иЩ = а |
37(5, t) |
dT(0J)_ |
(3.13) |
||
dx 3X
Т.к. в рассмотрение введена величина 5(f), то необходимо к граничным условиям на поверхности добавить граничные ус ловия на х = 6(f):
Г( М = Г Н;
дт м = 0
Эх
Решение дифференциального уравнения (3.13) с соответ ствующими граничными условиями ищем в виде многочлена второй степени от х:
|
T(x,f) = a0(t) + a,(f)x + a2(t)xJ. |
(3.14) |
||||
Для нахождения неизвестных коэффициентов в выражении |
||||||
(3.14) используем граничные условия, получим: |
|
|||||
|
|
-Ха, = <j(f), |
|
|
||
|
|
= 3 Q 4- 3 ] 6 + 8 2 6 ^ , |
|
|||
|
|
а] + 2 8 2 6 = О, |
|
|
||
откуда |
ll = |
_ i , |
a2 = |
i |
= - L . I |
|
|
1 |
X |
2 |
26 |
2X6 |
|
a0 = TH- a 18 - a 262 = TH+^ |
- | ^ = TH + g . |
|
||||
Тогда решение примет следующий вид: |
|
|||||
|
T M = TH + * - 1 X + * L ~ |
|
||||
|
' |
н |
2Х |
X |
2X5 |
|
|
= Тн + 2X8 |
" 26Х + |
= Тн + 2 Х ? (5 " Х)2- |
(315) |
||
В уравнение (3.15) входит одна неизвестная величина 6(f), которую определим из интеграла теплового баланса (3.13). Най дем:
5(0 |
6(t) |
©= fr(x1f)dx = rH5 + ^ |
J(5-x)2dx= |
0 |
° 0 |
5(0
x)3l§ =
2X8
= TH5 + QS^_ 6X '
Учитывая граничные условия, интеграл теплового баланса запишем в виде
£ т н 5 + | - - Г н6 = а 1 | ,
d [ g s M a q dt ^ 6Х J X ’
если коэффициент теплопроводности X = const, то
Используя начальное условие 6(0) = 0, получим:
г
q82 = 6а |q(x)c/T.
о
Толщина термически прогретого слоя
1
|
1 |
5 = |
Jq(t)dx |
Часто важно знать только температуру поверхности. Подставляя полученное значение в выражение (3.15), при
х = 0 получим:
При g(t) = const имеем: T(Q,t) = TH +
Точное решение задачи при qs= const имеет вид
Сравнение точного и приближенного решения показывает, что ошибка составляет * 9 %. Результат вполне удовлетвори тельный в инженерных расчетах.
3.4. Метод Швеца
Несчастны те люди, которым все ясно.
Пастер
Основная идея метода Швеца заключается в применении метода последовательных приближений с использованием по нятия толщины термического слоя. Схему применения метода Швеца рассмотрим на следующем примере.
Распределение температуры в полуограниченном теле опи сывается уравнением теплопроводности: