книги / Несущая способность конструкций в условиях теплосмен

где δ – удлинение стержня, L – его длина. Для удобства и упрощения дальнейших выкладок индексы «ξ» у компонент вектора перемещения, тензоров напряжения и деформации опускаются: u, σ и ε.

На рис. 12.1 представлена конструкция, сформированная из стержневых элементов, закрепленных между собой в узлахшарнирах.

Q Q Q Q

Рис. 12.1. Стержневая конструкция

Рассматривается произвольно расположенный элемент (рис. 12.2) стержневой конструкции, изображенной на рис. 12.1. Узлы выбранного стержня имеют номера i и j, координаты узлов –

{xi , yi } , {xj , yj } . Стержень растянут внешними усилиями Pi и Pj.

Из равновесия выделенного стержня следует, что модули усилий равны, то есть Pi = Pj = P .

Первоначально рассматривается геометрическое (кинематическое) состояние выделенного стержневого элемента. Его длина в первоначальном положении определяется координатами узлов:

В результате нагружения конструкции рассматриваемый стержень переместился в новое положение, определяемое индекса-

ми «i'» и «j'».

Координаты узлов в новом положении определяются выражениями

xi′ = xi + xi , x′j = x j + x j ;

αyi

i

Pxi

xi

Pi

x

Рис. 12.2. Расчетная схема метода стержневых элементов

Дифференциал выражения (12.2) записывается в видеуравнения

2LdL = 2(xj − xi )dxj − 2(xj − xi )dxi + 2(yj − yi )dyj − 2(yj − yi )dyi ,

предыдущее выражение можно представить в виде

dL = cosα dxj − cosα dxi + sin α dyj − sin α dyi .

В соответствии с геометрической схемой, приведенной на рис. 12.2, можно перейти от дифференциалов d к конечным прира-

uiv

{u} = ui – матрица-столбец узловых перемещений.

jvj

Далее рассматривается статическое равновесие выделенного стрежневого элемента. Проекции на координатные оси x и y усилий Pi и Pj, растягивающих стержневой элемент (см. рис. 12.2), определяются соотношениями

Pxi = − P cos α, Pyi = −Psin α ,

193

Pxj = P cosα, Pyj = Psin α,

которые удобно также представить в матричном виде:

матрица-столбец узловых нагрузок.

Растягивающее усилие P связано с напряжением σ, удлинением δ и деформацией ε стержня и зависит от модуля упругости E материала, площади F поперечного сечения и длины стержня:

Подстановка выражений (12.4) и (12.6) в формулу (12.5) приводит к соотношению

– квадратная матрица жесткости стержневого элемента. Согласно построению, матрица жесткости является симметричной, при этом суммы элементов в каждой строке и в каждом столбце матрицы равны нулю.

194

Теперь формула (12.7) может быть записана в виде

Система четырех линейных алгебраических уравнений (12.7), связывающая узловые перемещения ui, vi, uj, vj и узловые нагрузки Pxi, Pyi, Pxj, Pyj, построена для одного стержневого элемента. Если конструкция содержит N стержневых элементов, можно получить систему 4N аналогичных линейных алгебраических уравнений. Добавив к ней условия совместного деформирования стержней и закрепления конструкции, а также внешние нагрузки, можно решить задачу по определению узловых перемещений u1, v1, …, un, vn и узловых нагрузок Px1, Py1, …, Pxn, Pyn, где n – число узлов стержневой конструкции. Далее, используя выражение (12.3), можно определить удлинение δ каждого стержня, вычислить его деформацию ε по формуле (12.1) и напряжение σ согласно закону Гука (6.2).

Пример. На рис. 12.3 приведена конструкция, состоящая из двух балочных элементов и находящаяся в равновесии под действием силы Q, модуль которой равен 10 кН. Длины стержней известны: LAB = 3 м, LBC = 4 м. Площади поперечных сечений стержней заданы: FAB = FBC = 0,01 м2. Опоры А и С закреплены неподвижно. Требуется определить величины перемещений uВ и vВ узла В стержневой конструкции, значения удлинения стержней δАВ и δВС, деформации εAB и εBC тех же стержней, напряжения σAB и σBC в них, реакции связей RxA и RyA, PxB и PyB, RxC и RyC в узлах А, В и С. Модули упругости материала стержней одинаковы – E = 2 105 МПа.

195

1. Моделирование расчетной области.

Принимается, что балочные элементы конструкции моделируются прямолинейными однородными упругими стержневыми элементами АВ и ВС постоянного поперечного сечения (см. рис. 12.3), соединенными шарниром В и прикрепленными к неподвижному основанию шарнирами А и С. Угол αBC (см. рис. 12.3), отсчитываемый в направлении «против хода часовой стрелки», положителен. Поскольку треугольник ABC прямоугольный, можно определить величину угла и соответствующиезначения тригонометрических функций:

Рис. 12.3. Расчетная схема стержневой конструкции

Угол αBC отрицателен, поскольку отсчитывается в направлении «по ходу часовой стрелки»:

196

Это позволяет сформировать систему линейных алгебраических уравнений (12.7) для первого стержневого элемента:

198