книги / Несущая способность конструкций в условиях теплосмен

φ(х) = –5/16 + 5х/4

–0,2

–0,4

Рис. 11.14. Приближение функции f (x) = x2 , заданной таблично (см. табл. 11.9) линейной зависимостью ϕ (x) = − 516 + 5x4 , построенной методом наименьших квадратов

Решение этой системы линейных алгебраических уравнений следующее: a0 = − 516 и a1 = 54 . Аппроксимация зависимостью

ϕ(x) = = − 516 + 5x4 имеет наименьшее отклонение от табличных данных (рис. 11.14).

161

ностной сетки проще и удобнее строить квадратурную формулу и оценивать ее погрешность, которая определяется как разность между точным значением интеграла на рассматриваемом сегменте [xk −1 , xk ] и значением квадратурной суммы:

Cвойство аддитивности операции интегрирования позволяет представить выражение (11.5) в виде суммы интегралов по всем сегментам:

Погрешность квадратурной формулы на всем интервале [a,b]

m

Ψ = ψk .

k=1

11.4.1.Формула прямоугольников

Рассматривается случай, когда на произвольном сегменте [xk −1 , xk ] в разложении (11.6) имеется лишь одно слагаемое, содер-

жащее функцию ϕ0 = 1. В этом случае весовой коэффициент

xk−1

163

Это означает замену интеграла на указанном сегменте площадью прямоугольника с основанием h и высотой, равной значению функции в середине основания прямоугольника (рис. 11.15, б).

Рис. 11.15. Схема численного интегрирования методом прямоугольников с «левой» (а), «центральной» (б) и «правой» (в) точками

Приближение функции f(x) вблизи точки xk −1/2 описывается формулой Тейлора

f (x) = f (xk −1/2 ) + fx′(xk −1/2 )(x − xk −1/2 ) +

Погрешность вычисления значения определенного интеграла на сегменте [xk −1 , xk ] определяется выражением

164

зывает, что при ограниченности второй производной заданной функции f (x ) на рассматриваемом сегменте [xk −1 , xk ] погрешность

формулы прямоугольников имеет третий порядок относительно шага интегрирования h, или Ψk = O(h3 ). Для всего отрезка интегрирования [a,b] получается

погрешность рассмотренного способа интегрирования имеет второй порядок – Ψ = O(h2 ) .

Так же проверяется погрешность часто применяемых на практике квадратурных формул с использованием «левой» точки сегмен-

та [xk −1 , xk ] (рис. 11.15, а):

xk

f (x)dx ≈ f (xk −1 )h,

xk−1

165

Оценки погрешности интегрирования на этом сегменте в обоих этих случаях приводят к выражениям

k−1

показывающим, что при ограниченности второй производной заданной функции f (x ) на рассматриваемом сегменте [xk −1 , xk ] погреш-

ности обеих квадратурных формул имеют второй порядок относительно шага интегрирования h, или Ψk = O(h2 ) . Для всего отрезка [a,b] погрешность интегрирования имеет первый порядок относительно шага интегрирования h:

166

На рис. 11.16 показана сходимость процессов приближенного вычисления определенного интеграла с помощью формул метода прямоугольников с «центральной», «левой» и «правой» точками.

11.4.2. Формула трапеций

На сегменте [xk −1 , xk ] функция f(x) описывается линейной зависимостью (рис. 11.17)

f (x) ≈ (xk − x) f (xk −1 )h + (x − xk −1 ) f (xk )h.

Это означает, что в разложении (9.2) удерживаются две функции

ϕ0 (x) = (xk − x)h и ϕ1 (x) = (x − xk −1 )h .

Соответственно, весовые коэффициенты принимают значения

x

xk–1 xk

Рис. 11.17. Схема численного интегрирования методом трапеций

Отсюда получается квадратурная формула метода трапеций:

xk−1

167

10

Рис. 11.18. Зависимость от числа n сегментов значений интеграла e− xdx ,

0

вычисленных точно ( – – ) и по формуле метода трапеций (–ο– )

Оценка погрешности этой квадратурной формулы на сегменте [xk −1 , xk ] имеет вид

то есть при ограниченности второй производной заданной функции f (x ) на рассматриваемом сегменте [xk −1 , xk ] погрешность квадра-

турной формулы метода трапеций имеет третий порядок относительно шага интегрирования h, или Ψk = O(h2 ) . Для всего отрезка [a,b] погрешность интегрирования имеет второй порядок относительно шага интегрирования h: Ψ ≤ M 2 h2 (b − a )12 , или Ψ = O(h2 ) .

На рис. 11.18 показана сходимость к точному значению приближенного значения определенного интеграла, полученного с помощью квадратурной формулы метода трапеций.

11.4.3. Формула парабол (Симпсона68)

На сегменте [xk −1 , xk ] функция f(x) аппроксимируется полиномом второй степени (рис. 11.19). Для трех узлов xk −1 , xk −1 2 , xk полином Лагранжа второй степени имеет вид

68 Симпсон Томас (20.08.1710–14.05.1761) – английский математик, профессор Вулиджской военной академии, член Лондонского королевского общества.

168

=h22 (x − xk −1 2 )(x − xk ) f (xk −1 ) − 2(x − xk −1 )×

×(x − xk ) f (xk −12 )+ (x − xk −1 )(x − xk −12 ) f (xk ) .

Это означает, что вразложении (9.2) используются трифункции:

ϕ0 (x) = 2 (x − xk −1/ 2 )(x − xk )h2 ; ϕ1 (x) = −4 (x − xk −1 )(x − xk )h2 ;

ϕ2 (x ) = 2 (x − xk −1 )(x − xk −1/ 2 )h2 .

x

xk–1 xk–1/2 xk

Рис. 11.19. Схема численного интегрирования методом Симпсона

169

Подстановка найденных коэффициентов позволяет получить квадратурную формулу метода парабол (Симпсона):

xk−1

Оценка погрешности квадратурной формулы метода парабол на сегменте [xk −1 , xk ] имеет вид

то есть при ограниченности четвертой производной заданной функции f (x ) на рассматриваемом сегменте [xk −1 , xk ] погрешность

квадратурной формулы метода трапеций имеет пятый порядок относительно шага интегрирования h, или Ψk = O(h5 ) .

10

Рис. 11.20. Зависимость от числа n сегментов значений интеграла e− xdx ,

0

вычисленныхточно( – – ) ипоквадратурнойформулеметодапарабол( –ο– )

170