книги / Несущая способность конструкций в условиях теплосмен

m

Lm (xi ) = f

(xk )ϕk

(xi ) = f (xi ), i =

,

0,m

k =0

которое оказывается справедливым при выполнении условия

ϕ

k

(x ) =

0, i ≠ k,

i

1, i = k.

Это означает, что на отрезке интерполяции [a, b] каждая из

ϕk (x) =

(x − x0 )(x − x1 ) (x − xk −1 )(x − xk +1 ) (x − xm )

.

(xk − x0 )(xk − x1 ) (xk − xk −1 )(xk − xk +1 ) (xk − xm )

В итоге полином Лагранжа можно записать в общем виде

Lm (x)

= (x − x0 ) (x − xk −1 )(x − xk +1 ) (x − xm )

fk .

m

Пример. Построить интерполяционный полином Лагранжа

для функции sin х на отрезке [0, π/2].

Значения заданной функции для указанного отрезка приведе-

ны в табл. 11.7. Для каждой заданной точки xk формируются функ-

ции ϕk (x ):

ϕ

(x)

=

(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 )

= −

(x − π 6)(x − π 3)(x − π 2)

;

0

(x0

− x1 )(x0 − x2 )(x0 − x3 )

π3

36

ϕ

(x)

=

(x − x0 )(x − x2 )(x − x3 )

= x (x − π 3)(x − π 2)

;

1

(x1 − x0 )(x1 − x2 )(x1 − x3 )

π 3 108

ϕ

(x) =

(x − x0 )(x − x1 )(x − x3 )

= −

x

(x − π 6)(x − π 2)

;

2

(x2 − x0 )(x2 − x1 )(x2

− x3 )

π3

108

ϕ

(x)

=

(x − x0 )(x − x1 )(x − x2 )

=

x (x − π 6)(x − π 3)

.

3

(x3 − x0 )(x3 − x1 )(x3 − x2 )

π3

36

Окончательно полином Лагранжа принимает вид

L

(x) = − (x − π 6)(x − π 3)(x − π 2) 0,0 + x (x − π 3)(x − π 2)

0,5 −

m

π3 36

π 3

108

− x (x − π 6)(x − π 2) 0,866 025 + x(x − π 6)(x − π 3)1,0 =

π3 108

π3 36

= 1,74158x (x − π 3)(x − π 2) − 3,016 51x ×

× (x − π 6)(x − π 2) + 1,161 06x (x − π 6)(x − π 3) =

= 1,020 43x − 0,065 470 3x2 − 0,113872x3.

Для аргумента x = π 4 построенный полином принимает зна-

чение, равное 0,705 889. Точное значение этой функции в точке

x = π 4

равно

0,707107. Относительная погрешность аппроксима-

ции функции

sin х с помощью интерполяционного полинома Ла-

гранжа составляет 0,172 %.

152

r (x) = f (x) − Pm (x),

x [a,b].

Очевидно,

что в

узлах

интерполяции xk , k =

, погреш-

0, m

ность r (xk ) = 0

в силу требования (4.1). Для оценки погрешности

в прочих точках отрезка

[a,b]

выбирается и фиксируется произ-

вольная точка x [a, b] ,

причем

x ≠ xk ,

k =

. Можно показать,

0, m

что погрешность

f (x) − Pm (x)

≤ M m+1

ω(x)

(m + 1)!

Здесь обозначено

M

m+1

= max

f (m+1) (x)

, f (m+1)

(x) – произ-

x [a,b]

водная порядка m + 1

функции f(x); функция ω(x)

записывается

в виде

номом степени m, Mm+1 = 0 и

f (x) ≡ Pm (x) , то есть функция f (x )

совпадает с полиномом Ньютона.

11.3.5. Сходимость процесса интерполяции полиномами

Множество точек a ≤ x0 < x1 < < xm ≤ b называется сеткой

на отрезке

[a,b] и обозначается Ωm . Рассматривается последова-

тельность

Ω0 ,Ω1,Ω2 , сеток, определенных на этом отрезке,

и строится

соответствующая

последовательность полиномов

Интерполяционный процесс сходится в точке

x* [a,b] , если

существует

предел

lim Pm (x* ) = f (x* )

(определение поточечной

m→∞

сходимости).

Интерполяционный процесс сходится равномерно на отрезке

[a,b] , если

f − P

= max f (x)

− P (x)

→0.

m

x [a,b]

m

m→∞

Теорема Фабера65. Какова бы ни была последовательность се-

ток Ωm , найдется непрерывная на [a,b] функция

f

(x ) такая, что

последовательность интерполяционных полиномов

Pm (x)

не схо-

дится к f (x ) равномерно на этом отрезке.

1,4

1,2

P8

1

|x|

0,8

0,6

0,4

P2

P4

P16

0,2

0

-

-

-

-

-

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

–11

–0,8

–0,6

–0,4

–0,2

на равномерных сетках

На

рис. 11.9

приведен пример аппроксимации функции

f (x) =

x

на отрезке

[−1, 1] с использованием последовательности

δ

1,E+11

1,E+07

1,E+03

Е–

1,E-01

2

4

8

16

32

64

Рис. 11.10. Зависимость погрешности δ от степени m

полинома Pm функции

f (x) = x

на равномерных сетках

1,4

1,2

1,0

0,8

0,6

P8

P4

P2

0,4

P16

0,2

|

x|

0,0

–1,0

–0,5

0,0

0,5

1,0

Рис. 11.11. Интерполяционные полиномы Pm для функции

f (x) = x

на неравномерных (чебышевских) сетках

δ

0,2

0,15

0,1

0,05

0

2

4

8

16

32

64

Рис. 11.12. Зависимость погрешности δ от степени m полинома Pm

функции

f (x) = x

на неравномерных (чебышевских) сетках