книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Оптика. Квантовая физика

Таким образом, с учетом (6) интеграл (4) примет вид

Данное равенство выполняется при любом виде функции плотности состояний g (E). Подставляя сюда выражение (2) для газа свободных электронов, после интегрирования приходим к соотношению

И так как второе слагаемое в квадратных скобках гораздо меньше единицы, то приближенно

Таким образом, при низких температурах зависимость EF (T ) имеет вид

EF (T ) ≈ EF (0)(1−αT 2 ).

Величина αT 2 при достаточно низких температурах много меньше единицы, поэтому часто полагают EF ≈ EF (0), т.е. уровень

Ферми практически не зависит от температуры. Но иногда эта зависимость имеет принципиальное значение, например, при анализе явлений, происходящих при контакте различных металлов или полупроводников.

251

4.4.2. Давление электронного газа. Найти давление электрон-

ного газа в металле при нулевой температуре при концентрации свободных электронов n = 2,51022 см−3 .

Выделим в электронном газе площадку и подсчитаем число электронов, движущихся в ее направлении. Если газ находится в равновесии, то его частицы движутся совершенно беспорядочно, хаотически. Все направления движения равновероятны, и ни одному из них не может быть отдано предпочтение. Часть электронов на

и не достигнет площадки. Однако соударения не нарушают хаотического характера движения электронов и выбытие их некоторого числа из группы, движущейся по направлению к площадке, сопровождается одновременным переходом такого же числа электронов из групп, не движущихся в направлении площадки. Поэтому при расчете давления столкновения электронов между собой можно не учитывать и считать, что все они движутся прямолинейно.

Обозначим число электронов в единичном объеме, скорости которых заключены в интервале от v до v +dv, как

dNv = n(v)dv ,

252

Из dNv электронов в направлении выделенной площадки движется только часть электронов:

dNv′,θ,ϕ = d4Ωπ vcosθdNv = 41π vcosθsin θdθn(v)dv.

Исходя из второго закона Ньютона, давление электронного газа можно найти как произведение импульса, передаваемого стенке при падении каждого электрона 2mvcos θ, на число падающих ежесекундно на единичную площадку электронов в интервале скоростей (v, v +dv) в пределах телесного угла dΩ

dPv,θ,ϕ = 2mvcosθ 41π vcos θsin θdθdϕn(v)dv,

что после интегрирования по углу θ от нуля до π/ 2 и углу ϕ от нуля до 2π составит

dPv = 13 mv2n(v)dv.

И чтобы найти полное давление, создаваемое электронами во всем диапазоне скоростей, необходимо проинтегрировать последнее выражение по всем скоростям с учетом функции n(v):

Воспользуемся теперь тем, что mv2 = 2E (E – энергия электрона), а произведение n(v)dv можно представить как n(E)dE – число электронов в единице объема в интервале энергии (E, E +dE):

253

(см. формулу (2) во введении к данному подразделу). Тогда для давления получаем

P = 15m2π2 (3π2n)5/ 3 ≈ 5109 Па.

Покажем, что это выражение составляет 2/3 от объемной плотности энергии электронного газа (точно так же, как и для классического идеального газа). Для этого найдем значение объемной плотности энергии W электронного газа (энергии единичного объема)

Из сравнения этого выражения с (2) сразу следует

P = 23W.

254

Найдем заодно и среднее значение энергии электронов:

4.4.3. Концентрация свободных электронов в металле. В не-

которых задачах поведения электронов в металле требуется знание концентрации электронов, скорости которых находятся в интервале

Введем для удобства пространство скоростей с осями vx , vy , vz (рис. 4.20). Число электронов, проекции скоростей которых находятся в интервале d3v = dvxdvydvz , пропорционально объему dvxdvydvz . В то же время число электронов, модули скорости которых лежат

Рис. 4.20

255

в интервале (v, v +dv), пропорционально объему сферического слоя

в этом же пространстве, т.е. величине 4πv2dv. Так как плотность заполнения точек в пространстве скоростей не зависит от углов, т.е.

одинакова как в объеме d3v = dvxdvydvz , так и в объеме тонкого шарового слоя 4πv2dv, то, очевидно, можно записать

Учтем теперь, что n(v)dv = n(E)dE (данное соотношение означает, что интервалы скоростей dv и энергии dE должны быть выбраны таким образом, чтобы в них находилось одинаковое число электронов). Тогда (1) переходит в выражение

(см. формулу (2) во введении к данному подразделу) получаем окончательно

4.4.4. Плотность тока термоэмиссии. Найти плотность тока термоэлектронной эмиссии из металла.

Чтобы при эмиссии электронов проводимости кристаллическая решетка не разрушалась, из металла должна выходить только небольшая часть электронов. Кроме того, для удаления электрона из

256

металла требуется совершить так называемую работу выхода A, так как для электронов металл представляет потенциальную яму глубиной U0 (рис. 4.21). Если

бы электроны имели одинаковую энергию на дне этой ямы, то работа выхода равнялась бы U0. Но даже при T = 0 значения энергии электронов заключены в интервале от нуля до EF (0). Тем более это каса-

ется ненулевой температуры. Поэтому условились считать, что работа выхода равна работе, которую должен совершить электрон, чтобы с уровня Ферми выйти наружу металла:

При повышении температуры металла увеличивается кинетическая энергия теплового движения электронов вблизи границы Ферми. Здесь она может стать настолько большой, что некоторые из электронов могут преодолеть задерживающий потенциал на границе металла и выйти наружу. Если в окружающем пространстве есть электрическое поле, направленное к поверхности металла, то оно будет увлекать вышедшие электроны и через вакуум потечет электрический ток – термоток. При некотором внешнем напряжении термоток достигает насыщения. Его плотность js определяется количест-

вом термоэлектронов, эмитирующих с единицы поверхности металла в единицу времени.

Для расчета этого числа электронов выберем ось х перпендикулярно границе металла. Тогда для электронов, покидающих металл, должен выполняться закон сохранения энергии

257

При этом сохраняются компоненты скорости, перпендикулярные поверхности металла:

v′y = vy , v′z = vz

(знаком штрих отмечены компоненты скорости электронов внутри металла).

цию электронов в заданном интервале скоростей

но покидающих единицу поверхности металла в интервале скоростей

258

Работа выхода обычно составляет несколько электрон-вольт, что существенно превышает величину kT. В этом случае можно пренебречь единицей по сравнению с экспонентой и тогда

рования dN по ϕ от нуля до 2π и по θ от нуля до π/ 2 получаем

Перепишем данное выражение через энергию вылетающих электронов

И чтобы получить плотность тока насыщения, осталось только домножить число электронов dN (E) на заряд электрона и проинтег-

рировать по энергии от нуля до некоторого предельного значения, которое можно положить равным ∞ (вклад от таких электронов ничтожно мал):

Последний интеграл относится к табличным и его значение составляет (kT )2 . Таким образом,

259

где постоянная b определяется выражением

b = 4πemk2 ≈120 A/ (см К)2 ,

(2π )3

т.е. одинакова для всех металлов. Такая одинаковость связана с использованием модели идеального электронного газа. Формула (3) называется формулой Ричардсона–Дешмана.

4.4.5. Контакт двух металлов. Доказать, что при контакте двух различных металлов в равновесии их уровни Ферми находятся на одной высоте.

Разные металлы отличаются различной глубиной потенциальной ямы, различной плотностью свободных электронов и соответственно различным значением уровня Ферми. Приведем в контакт два разных металла. Пусть, например, в первом металле глубина потенциальной ямы меньше, чем во втором (рис. 4.23). При возникновении контакта между металлами электроны станут переходить с самых высоких уровней энергии первого металла на свободные более низкие уровни второго металла. При этом концентрация электронов

Рис. 4.23

260