книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Оптика. Квантовая физика

В частности, при l = 0

т.е. оптическая сила сложной системы равна сумме оптических сил составляющих систем. Это имеет место не только для двух тонких

меняя формулу тонкой линзы в пренебрежении расстоянием между линзами, сразу приходим к соотношению (6). Если расстояние между линзами l равно сумме фокусных расстояний f1 и f2 , то согласно

соотношению (5) фокусное расстояние системы равно бесконечности. Такая система называется телескопической и осуществляется, например, в зрительной трубе.

И, наконец, рассчитанную нами «эквивалентную» тонкую линзу следует разместить, очевидно, в передней главной плоскости системы двух линз. Эта плоскость отстоит от первой линзы на расстояние L = xH − f1, так как координата передней главной плоскости систе-

мы, определяемая выражением (4), была отсчитана от переднего фо-

51

D = Dз +2Dл,

где Dз – оптическая сила зеркала, Dз =1/ fз; Dл – оптическая сила тонкой плоско-выпуклой водяной линзы Dл =1/ fл. С учетом того, что 1/ fл = (n −1)/ R, оптическая сила центральной части зеркала со-

ставит

D = R2 +2 nR−1 = 2Rn .

Осталось только написать известные уравнения, связывающие расстояния от предмета до зеркала и от зеркала до изображения с оптической силой разных участков зеркала

Из этих уравнений находим

R = 2(n −1)b1b2 = 72 см, b1 −b2

a = (n −1)b1b2 =108 см.

1.2.13. Глубина резкости. Изображение предметов, удаленных от фотоаппарата на расстояние от 2 до 4 м, получилось достаточно резким при диафрагме 4. Определить глубину резкости (границы резкости) при диафрагме 2 и 8.

Теоретически, если бы носитель информации, на который фиксируется изображение, созданное объективом фотоаппарата, был идеальным (т.е. одной точке пространства предметов соответствовала бы одна точка пространства изображений), то резкими (четкими) отображались только предметы, на которые был сфокусирован объектив. На практике же при фотографировании на пленке (или другом носителе информации) из-за конечной разрешающей способности получаются резко изображенными не только предметы, на которые

53

сфокусирован объектив фотоаппарата, но также и предметы, находящиеся несколько ближе и несколько дальше этого расстояния.

Глубина резко изображаемого пространства определяется минимальным размером δ так называемого пятна резкости, т.е. той области пространства изображений (пленки), при попадании в которую отображающей точки изображение практически не изменяется. Повышение глубины резкости при прочих равных факторах обычно достигается за счет диафрагмирования объектива (т.е. уменьшения диаметра его прозрачной части). Под количественным термином «диафрагма» понимают число d, равное отношению фокусного расстояния объектива к его диаметру (или радиусу). Так как фокусное расстояние очень близко к фиксированному расстоянию от объектива до пленки b, то будем считать, что d ≈ b / R, где R – радиус прозрачной части объектива, ограниченной диафрагмой (т.е. увеличение радиуса прозрачной части объектива приводит к уменьшению численного значения диафрагмы). Кроме того, будем считать объектив тонкой линзой, чтобы можно было воспользоваться формулой тонкой линзы.

Обратимся к рис. 1.45, на котором обозначено: S – точка пространства, на которую наведен объектив (ее расстояние до объектива

где D – оптическая сила объектива (на рисунке отображены только крайние лучи, ограниченные диафрагмой). При перемещении точки S эти крайние лучи пересекают оптическую ось уже в других местах (точке S2 соответствует точка S2′, точке S1 – точка S1′).

Изображения точек S1 и S2 считаются резкими, если лучи, формирующие точки S1′ и S2′, пересекают фотопленку в области

54

до предмета; a2 – максимальное) зависит только от значения диафрагмы d. Увеличение численного значения диафрагмы увеличивает глубину резко изображаемого пространства. В то же время диафрагмирование, увеличивая глубину резкости, приводит к ухудшению резкости тех предметов, на которые был сфокусирован объектив. Связано это с волновой природой света и будет рассмотрено в подразд. 2.2 «Дифракция света» на примере круглого отверстия.

Учитывая малость параметра δ, выражения (2) и (3) можно переписать в виде

где a – расстояние до предмета, на который был сфокусирован объектив фотоаппарата. Его значение, как следует из (4) и (5) при a1 = = 2 м, a2 = 4 м, равно

Здесь значение диафрагмы равно 4. Для произвольных значений диафрагмы d уравнения (4) и (5) удобно представить в виде

56

Таким образом, при значении d = 2 имеем a1 = 2,3 м, a2 = 3,2м.

При d =8 имеем a1 = 1,6 м, a2 = 8 м.

1.2.14. Трехмерное изображение. Может ли объемное (трех-

мерное) изображение быть геометрически подобным самому предмету?

На первый взгляд вопрос является излишним, так мы привыкли к тому, что фотография всегда похожа на предмет. В данной же задаче речь идет об изображении объемного предмета. В этом случае нам необходимо показать, что отношение продольных и поперечных размеров у изображения такое же, как и у предмета.

Обозначим поперечный и продольный размеры предмета через y и ∆x, а соответствующие размеры изображения – через y′ и ∆x′ (рис. 1.46). Кроме того, наряду с поперечным линейным увеличением линзы Γ = y′/ y, введем также продольное увеличение γ = ∆x′/ ∆x. Выразим теперь поперечное увеличение линзы через расстояние x от предмета до переднего фокуса F и от изображения до заднего фокуса x′ (см. рис. 1.46)

Γ = yy′ = ff ++xx′.

Рис. 1.46

57

В соответствии с формулой Ньютона f 2 = xx′ (задача 1.2.11) величину Γ можно представить в виде

применим формулу Ньютона к точкам, находящимся на концах предмета и изображения:

f 2 = (x +∆x)(x′−∆x′) = xx′+∆x x′−∆x′ x −∆x∆x′.

Отсюда находим

γ = ∆∆xx′ = x +x′∆x .

Полагая, что ∆x мало по сравнению с x (это условие станет понятным чуть позже), получаем

Из сравнения формул (1) и (2) находим связь коэффициентов продольного и поперечного увеличений

Для того чтобы изображение было геометрически подобным предмету, необходимо потребовать условие

Очевидно, соотношения (3) и (4) могут быть выполнены одновременно только тогда, когда γ = Γ =1. Это означает, во-первых, что

для сохранения геометрического подобия предмет обязательно должен изображаться в натуральную величину. Во-вторых, геометрическое подобие объемного изображения возможно только тогда, когда продольные размеры предмета малы по сравнению с фокусным расстоянием линзы, а сам предмет должен находиться на двойном фокусном расстоянии от линзы.

58

Глава 2 ВОЛНОВАЯ ОПТИКА

Геометрическая оптика является приближенным предельным вариантом, в который переходит волновая оптика, когда длина световой волны стремится к нулю. Наиболее явно волновые свойства света проявляются в его интерференции и дифракции. Световая волна является поперечной электромагнитной волной, в которой проис-

ходят колебания векторов напряженности электрического поля E и магнитного поля H. Как показывает опыт, физиологическое, фотохимическое и другие действия света вызываются колебаниями век-

тора E – светового вектора, изменение которого в плоской монохроматической волне описывается уравнением

Здесь k – волновое число, k = 2π/ λ (λ – длина волны); ω – частота; x – расстояние, отсчитываемое вдоль направления распространения волны; A (или Em ) – амплитуда волны. Одной из главных характе-

При нормальном падении электромагнитной волны с напряжен-

59

и преломленная с напряженностью

(эти соотношения вытекают из граничных условий, накладываемых на вектор E, и закона сохранения энергии). Отсюда следует, что преломленная волна не испытывает скачка фазы. Это же относится и к отраженной волне, если отражение происходит от оптически менее плотной среды (n1 > n2 ). Если же отражение происходит от оп-

тически более плотной среды (n1 < n2 ), то фаза отраженной волны

скачком изменяется на π.

По классическим представлениям излучение обычного источника (светящегося тела) слагается из волн, испускаемых многими атомами. Отдельные атомы излучают так называемые цуги волн длительностью порядка 10–8 с и протяженностью около 3 м. Излучив отдельный цуг волн, атом излучает через некоторое время следующий цуг и т.д. Причем фаза нового цуга никак не связана с фазой предыдущего цуга. Более того, монохроматическая волна, описываемая выражением (1), представляет собой абстракцию. Любая реальная световая волна образуется наложением колебаний, заключенных в более или менее узком, но конечном интервале частот ∆ω. Поэтому при наложении таких волн друг на друга фазовые соотношения между световыми колебаниями изменяются случайным образом. Такие волны называются некогерентными, что существенно определяет результат их наложения друг на друга.

2.1. Интерференция света

Под интерференцией понимают перераспределение светового потока в пространстве, в результате которого в одних местах возникают максимумы, а в других – минимумы интенсивности. Интерференция характерна для волн любой природы. Наблюдать же интерференцию световых волн можно лишь при определенных условиях.

60