книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Оптика. Квантовая физика
.pdf2.2.7. Разрешающая способность объектива и глаза. Каково минимальное угловое расстояние между двумя удаленными одинаковыми некогерентными точечными источниками, при котором их можно воспринимать через объектив как раздельное изображение двух точек?
Вследствие волновой природы света изображение точки, даваемое линзой, имеет вид дифракционных колец – результат дифракции на оправе линзы. Так как около 84 % проходящего через линзу светового потока приходится на центральное светлое пятно, то на остальные окружающие его кольца можно не обращать внимания. Если расстояние между центрами изображений некогерентных источников мало по сравнению с размерами центральных светлых пятен, то наблюдаемая картина практически не отличается от изображения одного источника. Как говорят, объектив не разрешает рассматриваемые точки. Если же увеличивать расстояние между центрами светлых кружков, то между ними появляется темный провал (первый дифракционный минимум), и это будет восприниматься как раздельное изображение двух светящихся точек – говорят, что объектив разрешает эти точки.
Существует количественный критерий разрешения – критерий Рэлея. Согласно данному критерию два точечных некогерентных источника считаются разрешенными, если центр дифракционного светлого пятна от одного из них совпадает с ближайшим к центру минимумом дифракционной картины от другого. Во введении к данному подразделу указывалось, что угловое расстояние минимума первого темного кольца от светлого центра дифракционной картины составляет
ϕ ≈1,22 |
λ |
, |
(1) |
|
|||
1 |
D |
|
|
|
|
|
где D >> λ – диаметр объектива (линзы). В этом случае результирующая картина распределения интенсивности изображения показана на рис. 2.40, где провал составляет около 25 % от максимума интенсивности (ориентировочно принимается, что глаз человека спосо-
111
|
бен различить две близкие точки, ес- |
|
|
|
ли максимумы освещенности в мес- |
|
тах их геометрических изображений |
|
превосходят интенсивность посере- |
|
дине между ними не менее чем на |
|
15 %). Таким образом, выражение (1) |
|
и можно принять за минимальное уг- |
|
ловое расстояние ϕmin между разре- |
Рис. 2.40 |
|
|
шаемыми точками. |
Глаз при рассматривании удаленных предметов действует в принципе так же, как и объектив. Поэтому формула (1) применима и к глазу при условии, что роль величины D играет диаметр зрачка. Полагая D ≈ 4 мм, λ = 0,55 мкм, находим
ϕmin ≈1,67 10−4 рад = 35′′.
Этот результат удивительно хорошо согласуется с физиологической оценкой разрешающей способности глаза, связанной со структурой его сетчатки. За единицу остроты зрения врачи принимают остроту зрения такого глаза, который разрешает угол в одну угловую минуту (1′ = 60′′). В этом плане достойна восхищения способность живого организма приспосабливаться к окружающим условиям и в процессе эволюции достигать максимума того, что принципиально допускается законами природы!
Заметим, что результат (1) можно использовать для оценки дифракционной расходимости пучков света с ограниченным диаметром, например, в результате прохождения плоской световой волны через отверстие (диафрагму).
2.2.8. Дифракционная решетка. Свет с длиной волны
λ = 535 нм падает нормально на прозрачную дифракционную решетку. Найти ее период, если один из фраунгоферовых максимумов возникает под углом дифракции ϕk = 35° и наибольший порядок
максимума равен пяти.
Запишем данные задачи через условие главных максимумов для решетки
112
d sin ϕk = kλ, |
(1) |
d sin ϕmax = 5λ, |
|
где ϕmax – максимальный угол дифракции, соответствующий наибольшему порядку максимума. Из этих формул получаем
sin ϕmax = |
5sin ϕk |
= |
2,868 . |
|
k |
||||
|
|
k |
Из возможных значений k < 5 необходимо выбрать самое малое, но такое, чтобы sin ϕmax был не больше единицы. Нас устраивает k = 3. Тогда из (1) находим
d= sinkλϕk = 2,8 мкм.
2.2.9.Разрешающая способность решетки. На дифракцион-
ную решетку шириной L и периодом d падает нормально свет с длиной волны λ. Какова наименьшая разность длин волн, разрешаемых данной решеткой в спектре k-го порядка?
Разрешающая способность решетки R по определению
R = δλλ ,
где δλ – наименьшая разность длин волн спектральных линий, при которой эти линии воспринимаются еще раздельно, т.е. дифракционные картины на экране зрительно воспринимаются раздельно. В данном случае также принимается критерий Рэлея, по которому главный максимум одной спектральной линии совпадает с первым добавочным минимумом другой линии.
Согласно критерию Рэлея необходимо, чтобы максимум k-го порядка для линии с длиной волны λ+δλ, определяемого формулой (см. введение к данному подразделу)
d sin ϕ = k (λ+δλ),
113
совпал с первым добавочным минимумом линии с длиной волны λ. Положение данного минимума определяется формулой
|
m |
|
|
d sin ϕ = k + |
|
|
λ |
|
|||
|
N |
|
|
при m =1 (N – число штрихов решетки). Итак, необходимо потребовать выполнение равенства
k (λ+δλ) = k + N1 λ.
Откуда
δλ = kNλ = λkLd ,
а разрешающая способность решетки
|
R = |
λ |
|
= kN = k |
L |
. |
|
δλ |
|
||||
|
|
|
d |
|||
2.2.10. Грампластинка. |
Над центром изношенной граммо- |
|||||
фонной |
пластинки помещен |
точечный источник света на высоте |
||||
h1 =1 см. Глаз наблюдателя, |
расположенный на расстоянии |
|||||
a =110 |
см от оси пластинки и на высоте h2 =10 см, видит, помимо |
|||||
геометрического изображения источника, систему дифракционных полос на поверхности пластинки. Определить расстояние между ними ∆x, если расстояние между бороздками d = 0,5 мм. Длина волны
0,55 мкм.
Для начала попытаемся понять, каким образом формируется картина дифракционных полос на поверхности пластинки. В данном случае поверхность грампластинки является отражательной дифракционной решеткой, в которой диафрагируют не проходящие, а отраженные лучи. Отражательную решетку можно представить как систему маленьких зеркал, расположенных в одной плоскости с периодом d (рис. 2.41). Каждое маленькое зеркальце является источником
114
Рис. 2.41
вторичной отраженной волны. Очевидно, профиль штрихов между зеркальцами (до определенных пределов) не имеет значения (штрихи формируют беспорядочное диффузное отражение). Сформированное всеми зеркальцами излучение образует главный максимум, если разность хода отраженных лучей ∆ = kλ (k = 0,1, 2...). Из рис. 2.41 вид-
но, что разность хода лучей 1 и 2 составляет ∆ = d (sin ϕ0 −sin ϕ). Та-
ким образом, условие формирования главных максимумов при дифракции на отражательной решетке имеет вид
d (sin ϕ0 −sin ϕk ) = kλ (k = 0,1,2...), |
(1) |
где ϕ0 – угол падения; ϕk – угол, под которым идут отраженные лучи, образующие максимум k-го порядка. Заметим, что, если устремить d →∞ (отражение от «хорошего» зеркала), то ϕk = ϕ0 , т.е. ра-
ботает обычный закон отражения. При отражении от отражательной решетки максимумы формируются под разными углами, удовлетворяющими условию (1). Все это очень похоже на дифракцию при наклонном падении в проходящих лучах на обычной прозрачной решетке, для которой формула (1) также работает.
Обратимся теперь к рис. 2.42, на котором под осью x понимается радиальное направление на поверхности грампластинки с началом в ее центре (точка O). Пусть в точке P с координатой x видна свет-
лая полоса. Эта полоса представляет максимум k-го порядка, определяемый условием
115
|
|
d (sin ϕ1 −sin ϕ2 ) = kλ. |
|
(2) |
|||
|
|
|
|||||
|
При переходе к следующему макси- |
||||||
|
муму |
k +1-го |
порядка углы ϕ1 |
||||
|
и ϕ2 получают небольшие прираще- |
||||||
|
ния δϕ1 и δϕ2 и тогда условие макси- |
||||||
|
мума запишется в виде |
|
|
|
|
||
Рис. 2.42 |
d sin (ϕ +δϕ ) −sin (ϕ |
2 |
+δϕ |
2 |
) = |
||
|
|
1 |
1 |
|
|
||
=(k +1)λ.
С учетом малости углов δϕ1 и δϕ2 данное соотношение переходит в следующее:
d (sin ϕ +cosϕ δϕ ) −(sin ϕ |
2 |
+cos ϕ |
2 |
δϕ |
2 |
) =(k +1)λ. |
(3) |
|||
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|||
Вычитая (2) и (3), имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
d (cosϕ1 δϕ1 −cosϕ2 δϕ2 ) =λ. |
|
(4) |
||||||
Это соотношение определяет угловое перемещение максимумов. Для определения линейного перемещения максимумов по пластинке введем расстояние максимума от центра пластинки x1 = h1 tg ϕ1 и расстояние от максимума до основания перпендикуля-
ра, опущенного на пластинку из глаза x2 = h2 tg ϕ2 (см. рис. 2.42). Эти расстояния связаны соотношением
x1 + x2 = a → h1 tg ϕ1 + h2 tg ϕ2 = a = const.
Дифференцируя последнее равенство, получаем
h1 |
δϕ + |
h2 |
|
δϕ |
|
= 0, |
(5) |
cos2 ϕ |
cos2 ϕ |
|
|
||||
1 |
2 |
|
2 |
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
где любое слагаемое определяет линейное перемещение максимумов по пластинке
116
δx = |
|
|
h1 |
|
δϕ = − |
h2 |
|
δϕ |
. |
|
|||
|
cos2 |
ϕ |
cos2 ϕ |
|
|||||||||
|
|
|
1 |
2 |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
Из системы уравнений (4), (5) находим |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
λh cos2 ϕ |
|
ϕ2 ). |
||||
δϕ1 = d (h2 cos3 ϕ1 + h1 cos3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
Тогда расстояние между максимумами |
|
|
|
|
|
||||||||
δx = |
h |
|
|
|
λh |
cos2 ϕ |
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
. . |
|||
cos2 ϕ1 |
d (h2 cos3 ϕ1 + h1 cos3 ϕ2 ) |
||||||||||||
Вычисления можно упростить, заметив, |
что углы ϕ1 и ϕ2 мало |
||||||||||||
отличаются от угла падения ϕ0 , соответствующего «правильному» отражению света от пластинки. Заменив ϕ1 и ϕ2 на ϕ0 , находим
δx = |
|
λh1h2 |
|
|
. |
|
d (h |
+h |
)cos3 |
ϕ |
0 |
||
1 |
2 |
|
|
|
||
При этом cos ϕ0 ≈ h1 / x1 ≈ h2 / x2 (см. рис. 2.42) или
cos ϕ0 |
≈ |
h1 |
+h2 |
|
= |
h1 +h2 |
. |
||
x1 |
+ x2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|||
Тогда окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δx = |
|
λh h a3 |
|
|
≈1 см. |
||||
|
1 |
2 |
|
|
|||||
d (h +h |
)4 |
||||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
Очевидно, при освещении грампластинки (или CD-диска) естественным (белым) светом на ее поверхности наблюдаются цветные полосы.
2.2.11. Дифракция рентгеновского излучения. Рассмотрим две задачи.
117
1. Узкий пучок рентгеновских лучей с длиной волны λ падает под углом скольжения α = 60° на естественную грань монокристалла NaCl, плотность которого ρ = 2,16 г/см3. При зеркальном отражении от этой грани образуется максимум второго порядка (m = 2). Определить λ.
Для определения длины волны обратимся к формуле Вульфа– Брэгга:
|
2d sin α = mλ →λ = |
2d sin α |
. |
||
|
|
||||
|
|
|
m |
||
|
Видно, что все сводится к на- |
||||
|
|||||
|
хождению |
межплоскостного рас- |
|||
|
стояния d. В кристалле поваренной |
||||
|
соли NaCl ионы Na+ и Cl– располо- |
||||
|
жены в узлах кубической решетки |
||||
|
|||||
|
(рис. 2.43). Ее элементарная ячейка |
||||
|
(многогранник, трансляциями ко- |
||||
|
торого может быть без пропусков |
||||
|
и перекрытий заполнена вся беско- |
||||
Рис. 2.43 |
|||||
нечная решетка) представляет пря- |
|||||
|
|||||
моугольный параллелепипед со сторонами |
d ×d ×2d. Ее объем |
||||
V = 2d 3. Значение этого объема входит в выражение для плотности
ρ = m |
= |
|
µ |
, |
|
N |
|
2d 3 |
|||
V |
|
A |
|
||
|
|
|
|
|
|
где µ = 48 г/моль – молярная масса NaCl, NA = 6,02 1023 моль–1 – число Авогадро. Тогда отсюда находим
|
µ |
1/ 3 |
|
|
d = |
= 2,8 10−10 м. |
|
||
|
|
|||
|
2ρNA |
|
|
|
И окончательно |
|
|
|
|
λ = 2 2,8 10−10 sin 60° |
= 2, 43 10−10 |
м. |
||
|
2 |
|
|
|
118
2. При прохождении узкого пучка рентгеновских лучей с длиной волны λ =17,8 пм через поликристаллический образец, на экране, расположенном на расстоянии l =15 см от образца, возникает система концентрических дифракционных колец-максимумов. Определить радиус светлого кольца, соответствующего второму порядку отражения от системы плоскостей с межплоскостным расстоянием d =155 пм.
Происхождение дифракционных светлых колец связано со следующим. Среди множества беспорядочно ориентированных кристалликов найдется очень много кристалликов с такими ориентациями,
что при заданной длине волны λ |
|
||
|
|||
будет выполнено условие Вульфа– |
|
||
Брэгга. Лучи, испытавшие брэггов- |
|
||
ское отражение от таких кристал- |
|
||
ликов, образуют поверхность ко- |
|
||
нуса, ось которого направлена |
|
||
|
|||
вдоль падающего луча, а угол рас- |
|
||
твора определяется |
межплоскост- |
|
|
ным расстоянием d |
(рис. 2.44, по- |
|
|
казано отражение |
от отдельного |
|
|
Рис. 2.44 |
|||
микрокристаллика; |
сам микрокри- |
||
|
|||
сталлик изображен в виде зеркальца). Так как эти расстояния образуют дискретный набор, то за образцом возникает дискретное семейство конусов с общими вершиной и осью.
Согласно рис. 2.44, r =l tg 2α, |
где α – угол скольжения, опре- |
|
деляемый формулой Вульфа–Брэгга |
2d sin α = mλ. Из этих формул |
|
получаем |
|
|
|
mλ |
|
r = l tg |
2arcsin |
= 3,5 см. |
|
2d |
|
119
2.3.Поляризация света
Вполяризации света явно проявляется поперечность колебаний
светового вектора E. Несмотря на то, что световые волны поперечны, они обычно не проявляют асимметрии относительно луча. Это обусловлено тем, что в естественном свете (т.е. свете, испускаемом обычными источниками) совершаются колебания в самых различных направлениях, перпендикулярных лучу (рис. 2.45). Колебания различных направлений быстро и беспорядочно сменяют друг друга.
Волну, в которой направление колебаний светового вектора E упорядочено каким-либо образом, называют поляризованной. Если коле-
бания вектора E происходят только в одной плоскости (плоскость поляризации), то это плос-
кополяризованный (или линейно-поляризованный)
свет. Плоскополяризованный свет можно получить из естественного с помощью поляризаторов, которые свободно пропускают колебания, параллельные плоскости пропускания поляризатора
(плоскость поляризатора) и полностью или частично задерживают колебания, перпендикулярные этой плоскости. Поляризатор, задерживающий перпендикулярные к его плоскости колебания только частично, называют несовершенным.
Если вектор E поворачивается вокруг луча, периодически изменяясь по модулю, то это эллиптически поляризованный свет. При
этом если смотреть вдоль луча, конец вектора E описывает эллипс (если эллипс вырождается в окружность, то это свет, поляризованный по кругу). Эллиптическая поляризация является наиболее общим типом поляризации, переходящим при определенных условиях в линейную и круговую поляризации. В зависимости от направления
вращения вектора E различают правую и левую эллиптическую поляризацию. Если смотреть навстречу распространению волны и век-
тор E при этом поворачивается по часовой стрелке, то это правая поляризация, в противном случае – левая.
120