книги / Теория функций комплексного переменного

УДК 517.53(075.8) ББК 22.161.5я73

Т34

Рецензенты:

д-р физ.-мат. наук, профессор С.В. Русаков (Пермский государственный университет);

канд. физ.-мат. наук, доцент Л.Б. Грайфер (Пермский государственный технический университет)

Теория функций комплексного переменного: учеб.

Т34 пособие / Е.В. Костина, Е.А. Морозова, В.П. Плаксина, О.А. Федосеева. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2011. – 203 с.

ISBN 978-5-398-00624-7

Рассмотрены основные разделы теории функции комплексного переменного: понятие и представление комплексных чисел, действия над ними, функции комплексного переменного, дифференцирование и интегрирование функций комплексного переменного, разложение в функциональные ряды, анализ особых точек и вычисление вычетов.

По каждому разделу кратко изложены теоретические сведения, приведены решения типовых примеров, представлены геометрические интерпретации решений.

Может быть рекомендовано для самостоятельной работы студентов технических специальностей.

1. ПОНЯТИЕ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

где x и y – действительные числа, а i – число, квадрат которого равен –1.

Числа x и y называются соответственно действитель-

ной и мнимой частью комплексного числа и обозначаются x = Re z, y = Im z; i – мнимая единица.

Множество комплексных чисел обозначается .

Из определения следует, что действительные числа можно

ваются равными, если у них соответственно равны действительные и мнимые части:

Комплексное число z = x +iy равно нулю тогда и только тогда, когда x = y = 0.

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

3

Два комплексных числа z = x +iy и z = x −iy, отли-

чающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряжен-

ными.

Геометрическое изображение комплексных чисел

И, наоборот, каждую точку M ( x; y) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z = x +iy

(рис. 1).

Рис. 1. Изображение числа на комплексной плоскости

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней лежат действительные числа z = x +i0 = x. Ось ординат называется мнимой осью, на ней лежат чисто мнимые, комплексные числа z = 0 +iy. Плос-

кость Оху при этом называется комплексной плоскостью и обозначается .

Как и в действительной плоскости, на множестве комплексных чисел вводится понятие бесконечности, бесконечно удаленной точки (∞) . Бесконечно удаленная точка – это

4

внешность сколь угодно большого круга на комплексной плоскости. Плоскость , дополненная элементом ∞, называется расширенной комплексной плоскостью и обозначается

={∞}.

Комплексное число z = x +iy можно задавать с помощью радиус-вектора r =OM =(x; y). Длина вектора r , изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается z или r. Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором r , изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Arg z или ϕ.

Аргумент комплексного числа z = 0 не определен. Аргумент комплексного числа z ≠ 0 – величина многозначная и оп-

где arg z – главное значение аргумента, заключенное в про-

межутке (−π; π], т.е. −π < arg z ≤ π (иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0; 2π) ).

Формы записи комплексных чисел

Запись числа z в виде z = x +iy называют алгебраической

формой комплексного числа.

Модуль r и аргумент ϕ комплексного числа можно рас-

сматривать как полярные координаты вектора r = OM , изобра-

Такая запись комплексного числа называется тригоно-

метрической формой комплексного числа.

Модуль r = z однозначно определяется формулой

При переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить главное

Если точка z лежит на действительной или мнимой оси, то arg z можно найти непосредственно.

Используя формулу Эйлера eiϕ = cos ϕ+isin ϕ, комплекс-

ное число z можно записать в показательной (или экспонен-

циальной) форме

В силу формулы Эйлера, функция eiφ периодическая с основным периодом 2π. Для записи комплексного числа z в показательной форме достаточно найти главное значение аргумента комплексного числа, т.е. найти φ = arg z.

Подставив найденные значения в формулы (1.6) и (1.9) полу-

7

2. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

Сложение комплексных чисел

Суммой комплексных чисел z1 = x1 +iy1 и z2 = x2 +iy2 называется комплексное число, определяемое равенством

z1 + z2 =(1−3i) +(−2 +2i) =(1+(−2)) +i (−3 +2) = −1−i.

Вычитание комплексных чисел

Разностью комплексных чисел z1 и z2 называется такое комплексное число z, которое, будучи сложенным с z2 , дает число z1, т.е. z = z1 − z2 , если z + z2 = z1.

z1 − z2 =(1−3i) −(−2 +2i) =(1−(−2)) +i(−3 −2) = 3 −5i.

Умножение комплексных чисел

Произведением комплексных чисел; z1 = x1 +iy1 и z2 = = x2 +iy2 называется комплексное число, определяемое равенством

Формула (2.3) получается путем перемножения двучленов z1 = x1 +iy1 и z2 = x2 +iy2 с применением формулы (1.2):

8

( x1 +iy1 ) (x2 +iy2 ) = x1x2 + x1iy2 +iy1x2 +iy1iy2 =

= x1x2 +i2 y1 y2 +i (x1 y2 + y1x2 ) =(x1x2 − y1 y2 ) +i(x1 y2 + y1x2 ).

Для комплексных сопряженных чисел z = x +iy и z = = x −iy получим

z + z =(x +iу) +(x −iy) = 2x ,

zz =(x +iу) (x −iy) = x2 + y2.

Таким образом, сумма и произведение сопряженных комплексных чисел – числа действительные.

Для тригонометрической и показательной форм комплексного числа формула умножения имеет вид