книги / Теория функций комплексного переменного

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

121

Вариант № 5

Задание 1

а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 3 +i и z2 = 1−3i. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

быть действительной частью некоторой аналитической функции f (z), если да – восстановить ее при условии f (0) =0.

122

Задание 7. Найти область плоскости W , в которую ото-

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной

Лорана в окрестности точки z0 =i.

Задание 10. Для функции f (z) найти изолированные осо-

бые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

б) f (z) = z3ch 2z .

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

∫ z dz; АВС – ломаная zA = 0; zB = −1+i; zC =1+i.

ABC

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

123

z−1=5

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

∞(x +1)cos x

2.−∫∞ x4 +5x2 +6dx .

124

Вариант № 6

Задание 1

а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 7 +24i и z2 = = 24 −7i. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

Задание 2. Вычислить значение функции f (z) в точке z0 , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) f (z) = Arctg z, z0 =1;

б) f (z) = ez , z0 = −1− 23πi .

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции f (z) = cosiz и вычислить производную. Выделить дейст-

вительную и мнимую части полученной производной. Задание 4. Определить вид кривой z = −4 tg t −i 2sect.

Задание 5. Построить область плоскости z, определяемую данными неравенствами:

z +i ≤ 2,

а)

z −i > 2.

б) ( z z )3 ≤(z − z )2 .

Задание 6. Проверить, может ли функция u = x2 +x y2

быть действительной частью некоторой аналитической функции f (z), если да – восстановить ее при условии f (1) =1+i.

125

Лорана в окрестности точки z0 = 2i.

Задание 10. Для функции f (z) найти изолированные осо-

бые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

cos π z

а) f (z) = z4 −21 ;

б) f (z) = (z2 −2z +1)sh z 2−1 .

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

∫ (12z5 +4z3 +1)dz; АВ – отрезок прямой zA =1; zB =1+i .

AB

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

126

z =4 cos z −1

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

127

Вариант № 7

Задание 1

а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 4 +3i и z2 = 3 +4i. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

z0 , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

Задание 3. Указать область дифференцируемости функ-

ции f (z) = ch zi и вычислить производную. Выделить действи-

тельную и мнимую часть полученной производной. Задание 4. Определить вид кривой z =3cosect +i 3ctg t.

Задание 5. Построить область плоскости z, определяемую данными неравенствами:

z −1−i ≤1,

а) Im z >1,Re z ≥1.

б) z 2 + z2 ≤8 −4(Im z)2 .

Задание 6. Проверить, может ли функция v =e−y sin x + y быть мнимой частью некоторой аналитической функции f (z), если да – восстановить ее при условии f (0) =1.

128

Задание 7. Найти область плоскости W , в которую ото-

бые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

− 1

б) f (z) = z3e z2 .

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

∫ z 2dz ; АВ – отрезок прямой zA = 0; zB =1+i.

AB

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

129

dz

б) z−i∫=1,5 (z3 + z)(z2 +4) .

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

130