Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Теория функций комплексного переменного

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

1.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2116 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

	∞				x	2
1.	∫				x			dx .

			(x2		+5)		2
	−∞		(x2		+5)
	∞		(x +1)sin 2x
2.	∫		x	2	+2x +2					dx .
	−∞		x		+2x +2
	2π					dx
3.	∫					dx				.

		5 −				21sin x
	0	5 −				21sin x
	2π					dx
4.	∫					dx					.

		( 6 +cos x)							2
	0	( 6 +cos x)

151

Вариант № 15

Задание 1

а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 3 +3i и z2 = = 4 −3i. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б)

z1 + z2 .

Найти: z1 z2 ,

Задание 2. Вычислить значение функции

f (z) в точке

z0 ,

ответ представить в алгебраической форме комплексного

числа:

а) f (z) =sh z, z0 = 1+

πi ;

б)

f (z) = Arctg z,

z0 =

3 +4i

Задание 3. Указать область дифференцируемости функ-

ции

f (z) = 2z и вычислить производную. Выделить действи-

тельную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой z =

+i 4 th 2t.

ch 2t

Задание 5. Построить область плоскости

z, определяе-

мую данными неравенствами:

z +1

≥1,

а)

z +i

<1.

z −1

≤1+Re z,

б)

z +1

z −1

> 2 2.

Задание 6. Проверить, может ли функция v =3x2 y − y3 − y быть мнимой частью некоторой аналитической функции f (z), если да – восстановить ее при условии f (0) =0.

152

Задание 7. Найти область плоскости W , в которую ото-

бражается с помощью функции

w = z +

область D :

плоскости Z.

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной

функции f (z)

по степеням z − z0. Указать главную и правиль-

ную части ряда.

а) f (z) =

15z −450

, z0 = 0 ;

2z3 +15z2 −225z

б) f (z) =

, z0 = −3 +i .

z2 +1

Задание 9. Функцию f (z)

= sin

разложить в ряд

z −3

Лорана в окрестности точки z0 =3.

Задание 10. Для функции f (z) найти изолированные осо-

бые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а) f (z) =	sin3 z	;
	(z2 − z)3

б) f (z) = 1z + 21z2 −e1z .

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

∫ z Re z2dz; L : { z = R, Im z ≥ 0}.

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.


а) ∫			z +1			dz ;
а) ∫				z	+3	dz ;
	z	=2 e
	z	=2 e

153

б) ∫			z5	−3z3 +5z		dz.
				z	4
	z+1	=1,5

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

	∞				dx
1.	∫				dx									.

		(		2	)	2	(		2			)
	−∞	(			)		(					)
	−∞		x		+1			x		+4
			x		+1			x		+4
	∞		xsin x
2.	∫						dx .
2.	∫	(		2	)	2	dx .
	−∞	(			)
	−∞		x		+1
			x		+1
	2π				dx
3.	∫				dx					.

		6	−		4 2 sin x
	0	6	−		4 2 sin x
	2π				dx
4.	∫				dx								.

		(		6 +		5 cos x)					2
	0	(		6 +		5 cos x)

154

Вариант № 16

Задание 1

а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 2 −2 3i и z2 =

= 3 +2i. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: z z2 , z2

, 5 z .

Задание 2. Вычислить значение функции

f (z) в точке

z0 ,

ответ представить в алгебраической форме комплексного

числа:

а)

f (z) = cos z,

z0 =

πi +3 ;

б)

f (z) = Arch z, z0 = −2.

Задание 3. Указать область дифференцируемости функ-

ции

f (z) = ln

и вычислить производную. Выделить дей-

ствительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой z =

+i2 th 4t.

ch 4t

Задание 5. Построить область плоскости

z, определяе-

мую данными неравенствами.

< 2,

а)

π ≤ arg (z −1) ≤

π.

−

0 ≤1+Im z <

z −i

б)

−2 < Re z ≤ 2.

Задание 6. Проверить, может ли функция v = 2xy + y быть мнимой частью некоторой аналитической функции f (z), если да – восстановить ее при условии f (0) =0.

155

Задание 7. Найти область плоскости W , в которую ото-

бражается с помощью функции	w =	1	область D :	z −	1	=	1
		z			2		2

плоскости Z.

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной

функции f (z)	по степеням z − z0. Указать главную и правиль-
ную части ряда.
а) f (z) =	8z −256			= 0 ;
			, z0
	z4 +8z3 −128z2		, z0
б) f (z) =	z
		, z0 = −3 −2i.
	z2 +1	, z0 = −3 −2i.
Задание 9. Функцию f (z) = zsh					1	разложить в ряд
Задание 9. Функцию f (z) = zsh					z −2	разложить в ряд
					z −2

Лорана в окрестности точки z0 = 2.

Задание 10. Для функции f (z) найти изолированные осо-

бые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а) f (z) =	cos z	;

	(4z2 −π2 )2

e2 z+i

б) f (z) = 2z +i .

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

∫ (3z2 +2z)dz AB :{y = x2 ; zA = 0; zB =1+i}.

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

а) ∫			dz		;

			(z −1)(z −2)	2
	z−2	=1,5	(z −1)(z −2)

156

б) ∫			z2e	1 z2 dz	.
				z
	z	=1

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

∞

∫

dx .

−∞ x

∞

cos 2x

∫

dx .

2π

∫

−2

15 sin x

2π

∫

(

7 +

5 cos x)

157

Вариант № 17

Задание 1

а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 1+i и z2 = 3 −i. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

	2		z
б) Найти: ( z1 z2 )	2	,	z	, 5 z1 − z2 .
б) Найти: ( z1 z2 )		,	1 z	, 5 z1 − z2 .
				2

Задание 2. Вычислить значение функции f (z) в точке z0 , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) f (z) = Ln z, z0 = −1+i ;

б) f (z) = Arccos z, z0 = −5.

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции f (z) = cth (zi) и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой z = th5t + ch55i t .

Задание 5. Построить область плоскости z, определяемую данными неравенствами.

≤1,

а)

π.

arg ( z

+i)

Im z >

−3,

б)

−

Im z ≤3

Проверить, может ли функция v =3x2 y − y3

Задание 6.

быть мнимой частью некоторой аналитической функции f (z), если да – восстановить ее при условии f (0) =1.

158

Задание 7. Найти область плоскости W , в которую ото-

бражается с помощью функции

w = z + 2

область

D :

плоскости Z.

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной

функции f (z)

по степеням z − z0. Указать главную и правиль-

ную части ряда.

а) f (z) =

z +2

= 0

, z0

;

z + z2 −2z3

б) f (z) =

z +2

, z0

= −2 +2i.

(z −1)(z +3)

Задание 9. Функцию f (z) = ez−3 разложить в ряд Лорана в окрестности точки z0 =3.

Задание 10. Для функции f (z) найти изолированные осо-

бые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а) f (z) =	( z −3)2
		;
	(z2 −5z +6)2
б) f (z) =	z3 cos 4 −2πz .
	4z

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

∫ z Re z2dz; L : { z = R, Im z ≥ 0}.

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

ez dz

а) +∫ = z2 (z2 −9) ;

z 2 3

159

e2 z − z

б) ∫ z2 dz.

z =1

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

	∞					dx
1.	∫					dx				.

				(		2		)	3
	−∞			(				)
	−∞				x		+1
					x		+1
	∞				cos x
2.	∫								dx .
2.	∫	(		x2			)	3	dx .
	0	(					)
	0					+1
	2π						dx
3.	∫						dx					.

					3 sin x −						2
	0				3 sin x −						2
	2π						dx
4.	∫						dx							.

			(			2 +cos x)							2
	0		(			2 +cos x)

160

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2116 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
19.11.202327.99 Mб1Теория упругости микронеоднородных сред..pdf
#
12.11.202311.07 Mб1Теория упругости неоднородных тел..pdf
#
12.11.20238.54 Mб6Теория упругости. Задача Сен-Венана. Плоская задача теории упругости.pdf
#
12.11.20235.05 Mб2Теория упругости. Ч. 1 Основные уравнения механики сплошных сред. Вариационные методы.pdf
#
12.11.202321.88 Mб2Теория упругости..pdf
#
12.11.20231.22 Mб5Теория функций комплексного переменного..pdf
#
19.11.202328.91 Mб2Теория функций комплексной переменной..pdf
#
12.11.20235.34 Mб3Теория химических реакторов введение в основной курс..pdf
#
12.11.20236.48 Mб1Теория химических реакторов. Введение в основные разделы курса.pdf
#
12.11.20232.15 Mб15Теория электрической связи. Основные понятия.pdf
#
13.11.202324.95 Mб10Теория электрической связи. Помехоустойчивая передача данных в информационно-управляющих и телекоммуникационных системах модели, алгоритмы, структуры.pdf