книги из ГПНТБ / Чуриловский В.Н. Общая теория оптических приборов

фик имеет еще вторую ветвь, симметрично расположенную ниже оптической оси.

Нужно иметь в виду, что обе ветви графика соединяются без излома, характеристический график сферической аберрации касается вертикальной оси в начале координат.

Для исправления сферической аберрации применяют тот же способ, как и для исправления хроматизма, т. е. оптические системы составляют из нескольких линз, в частном случае система может быть составлена из двух линз. Линзы должны быть сделаны из раз­ личных марок оптического стекла. В такой системе можно до извест-

Фиг. 9. Построение графика сферической аберрации.

ной степени исправить сферическую аберрацию, но не удается уни­ чтожить ее строго для всех значений высоты h.

Представим, что оптическая система состоит из положительной и отрицательной линз. Можно при этом постепенно увеличивать силу отрицательной линзы, повышая в то же время и силу положи­ тельной линзы с таким расчетом, чтобы сила всей системы оставалась постоянной. При этом сферическая аберрация будет меняться, и по мере увеличения силы отрицательной линзы она будет уменьшаться.

Если постепенно увеличивать силу отрицательного компонента системы, то вид кривой характеристического графика будет меняться (фиг. 10). Сначала кривая будет стремиться приблизиться к верти­ кальной оси. Это стремление значительно сильнее сказывается в крайних зонах (при больших значениях И) чем в зонах для малых высот. Поэтому удается для самых крайних лучей привести сфери­ ческую аберрацию к нулю, но она не будет устранена строго для всех значений высот. Получается кривая, пересекающая вертикаль­ ную ось этого графика в точке, лежащей близ края оптической системы, но для остальных значений высот получаются остаточные значения сферической аберрации.

На фиг. 11 показан вид графика сферической аберрации для корригированной оптической системы.

29

Добиться того, чтобы эта кривая полностью совпала с вертикаль­ ной осью графика сферической аберрации, можно в очень редких случаях. Обычно всегда остаются зоны сферической аберрации, характеризующие величину отступления точек пересечения реальных лучей от гауссовского изображения.

Остановимся на вопросе об иссле­ довании графика сферической аберра­ ции, имея в виду такой график, когда для некоторой зоны достигнуто устра­ нение сферической аберрации.

Строго говоря, чтобы исследовать кривую этого графика, нужно знать аналитическое выражение этой кривой

8s' = / (И).

-as'

Фиг. 10. Изменения графика сферической аберрации в процессе хода коррекции.

Если бы эта функция была известна, можно было исследовать это уравнение, но ввиду очень сложной математической зависимости величины 8s'от А, эта функция не может быть представлена простой формулой. Поэтому следует подойти к рассмотрению интересующей нас задачи иначе. Представим себе эту функцию разложенной в ряд по степеням величины А, а затем ограничимся несколькими членами

Однако некоторые из неопределенных коэффициентов этого ряда можно легко определить. Найдем значение коэффициента а0.

30

Если высота к равна нулю, то и Ss' тоже равно нулю. Это видна по графику, так как он проходит через начало координат. Если 8s' равно нулю и к в правой части формулы равно нулю, то все члены,, кроме первого, отпадут и получится

«0 = 0.

Можно определить, кроме а0, еще ряд коэффициентов.

На фиг. 11 представлена верхняя половина графика. Совершенна симметричная ветвь этого графика имеется ниже оптической оси. Исходя из этого соображения, следует сказать, что функция / (к) должна быть четной.

Четными функциями в математике называются такие функции одной переменной, которые не меняют своего значения при перемене знака у этой переменной величины.

Рассматривая график целиком (с верхней и нижней его ветвями),, заметим, что если перейти от величины к к величине — к, то значе­ ние сферической аберрации от этого не изменится. Поэтому 8s' является четной функцией. Если к входит в функцию в четной сте­ пени, то изменение знака у к действительно не отразится на величине всей функции. Но если встречается к в нечетных степенях, тогда изме­ нение знака у к должно привести к изменению величины 8s'.

Значит к не должно встречаться в нечетных степенях.

Для того чтобы нечетные степени к исчезли из выражения для 8 s', необходимо, чтобы встречающиеся в нем коэффициенты с нечетными номерами — аг, а3, аь и т. д. были равны нулю

а0= 0; = а3 = аъ = . . . = 0.

В результате выражение для 8s' приобретает более простой вид:

8s' = агк2+ a4/i4.

На этом мы оборвем ряд, откинув следующие члены, содержащие к в степенях выше пятой.

Это можно сделать на том основании, что практика расчетов опти­ ческих приборов показывает, что остальные члены оказывают обычно несущественное влияние на результат расчета.

Таким образом получается приближенное выражение для 8s'.. Это выражение позволит исследовать характер графика сферической аберрации.

Прежде всего следует определить величину /г0, соответствующую той точке, в которой сферическая аберрация обращается в нуль. Для этого достаточно в общем уравнении, которое мы сейчас вывели, положить 8 s' = 0. Тогда получим такое выражение

h2 = (а2+ a4/z2) = 0.

Это выражение распадается на два множителя; поэтому имеются два решения.

Первое решение: к0 = 0. Оно соответствует началу координат, через которое проходит кривая.

31

Второе решение получим в том случае, если приравняем а% + aAh\ нулю и найдем выражение величины h0

Перед квадратным корнем получились два разных знака потому, что кривая имеет две ветви и для каждого значения 8 s' имеется два значения h0 — положительное и отрицательное.

Некоторое затруднение может представить то, что при решении этого выражения получен знак минус под корнем. Это говорит о том, что не всегда можно получить вещественное, т. е. практически осу­ ществимое решение. Вещественное решение получится тогда, когда коэффициенты а 2 и а4 имеют разные знаки. Если же эти коэффициенты имеют один и тот же знак, то получим мнимое решение, т. е. прак­ тически осуществимого решения не будет. Точка, в которой 8 s' обращается в нуль, отсутствует на графике, что соответствует кривой, которая монотонно отходит от вертикальной оси графика. Для того чтобы кривая, отошедшая сначала от вертикальной оси, потом снова вернулась к ней, необходимо, чтобы коэффициенты а 2 и а4 имели раз­ ные знаки.

Можно продолжить исследования и определить высоту hm, которая соответствует максимальной зоне сферической аберрации.

Для этой цели нужно применить известный прием нахождения максимумов и минимумов. Он заключается в том, что берется первая производная от ss' и приравнивается нулю

Таким образом получим

2a2hm+ 4a4h3m= 0.

и после упрощений

+ 2а‘ Л«) = 0.

Это выражение опять распадается на два множителя, поэтому имеются опять два решения.

Первое решение hm — 0 опять не представляет интереса.

Ясно, что в начале координат имеется экстремальное значение этой функции, потому что кривая графика при переходе через начало координат снова возвращается назад.'

Второе решение задачи можно найти, если а 2 + 2а4/г^ прирав­

нять нулю и полученное выражение решить относительно hm. Тогда

Таким образом находится выражение для высоты hm, определяю­ щей то место на графике, где имеется максимальное значение сфе­ рической аберрации.

32

Интересно установить соотношение между hn и hm. При помощи полученных формул для h0и hmнаходится очень простое соотношение

Оказывается, что соотношение этих высот есть постоянная вели­ чина, которая выражается числом, приблизительно равным 0,7.

Это обстоятельство учитывается при расчетах оптических систем: рассматривается ход двух лучей; один берется на крайней, наи­ большей высоте, которая определяется диаметром проходящего через прибор пучка, второй рассчитывается на высоте равной 0,7 от высоты крайнего луча. Если достигнуто устранение сферической аберрации для крайнего луча, то второй луч пройдет в той зоне, где получается максимальная сферическая аберрация и по расчету второго луча можно определить величину этой максимальной оста­ точной аберрации. При таком способе работа получается более эко­ номной.

График сферической аберрации можно построить с практически достаточной точностью по данным расчета указанных двух лучей, учитывая кроме того, что график должен проходить через начало координат и что в этой точке кривая должна быть касательной к вер­ тикальной оси.

Следует отметить, что в каталогах советских объективов принято по вертикальной оси 'графика сферической аберрации откладывать вместо величины h пропорциональную ей величину 100а', причем

где f — заднее фокусное расстояние данного объектива.

Если в разложенной в ряд функции 8s' сохраняется только пер­ вый член ряда, получаётся приближенное значение аберрации 8s', называемое аберрацией третьего порядка. Такие выражения были получены для всех, монохроматических аберраций немецким ученым Зейделем. Ввиду сравнительной простоты формул аберраций третьего порядка, они успешно применяются для предварительного расчета оптических систем.

Так, например, для тонкой линзы в воздухе при любом положе­ нии предмета сферическая аберрация 8s' третьего порядка может

Вэтих формулах

v= —-----обратная величина показателя преломления стекла

линзы;

D = 2А; /' — заднее фокусное расстояние линзы;

Радиус г 2 второй поверхности линзы определяется из соотноше­ ния

Для сферической аберрации, вносимой плоскопараллельной пла­ стинкой, может быть составлена точная формула

s — передний отрезок;

hj — высота луча на первой поверхности пластинки;

D = 2hv

Вносимая плоскопараллельной пластинкой сферическая аберра­ ция третьего порядка вычисляется по формуле .

При п = 1,5 получим

8s' = 0,046296 (-| -)2^-

34

Величина, численно характеризующая кому, обозначается бук­ вой k. Эта величина определяется формулой

Сначала составляется полусумма отрезков у'т и у'_тдля крайних лучей. Из этой величины вычитается у‘0 .

Рассмотрим геометрическое понятие выражения для величины k.

Из рисунка видно, что полусумма величин у'п и у’ тдает высоту

средней точки фигуры рассеяния. Размер фигуры рассеяния в мери­ диональной плоскости определяется разностью

Ут — У— т — D.

Величина D характеризует сферическую аберрацию и меридио­ нальную кривизну изображения.

Если из полусуммы ут’ и у'_твычесть у0, то получится величина k,

которая показывает, насколько точка пересечения центрального луча с фокальной плоскостью отходит от средней точки М фигуры рассеяния. Если бы она проходила через среднюю точку фигуры рассеяния, то не было бы комы, тогда строение пучка было бы сим­ метричным, а фигура рассеяния — круглой. Но она не проходит через среднюю точку, а отступает от нее на величину k, характери­ зующую величину нарушения симметрии в строении фигуры рассея­ ния в строении пучка, а следовательно и кому.

Необходимо заметить, что кома представляет большие трудности при ее исправлении; она является очень существенным недостатком многих оптических приборов.

36

Если будет уничтожена полностью сферическая аберрация опти­ ческой системы, но не устранена при этом кома, то получится для внеосевой точки фигура рассеяния, очень характерная по своей форме

(фиг. 13).

Эта фигура рассеяния имеет форму уголка, вершина Р' которого лежит в гауссовской точке изображения. Внутри этого угла световая энергия распределена неравномерно; у вершины имеется максимум света, затем освещенность постепенно убывает. Таким образом, фигура рассеяния напоминает по своему виду комету с яркой головой и довольно широким, постепенно ослабевающим хвостом. За сход­ ство этой фигуры рассеяния, наблюдаемой при чистой коме, с кометой, рассматриваемая аберрация и получила название комы.

Если, кроме комы, в образовании пятна рассеяния участвует еще сферическая аберрация, то фигура рассеяния теряет простой вид и приобретает сложную форму.

Необходимо отметить, что вопрос о характере распределения света внутри фигуры рассеяния, получающейся в наклонных пучках при наличии различных аберраций, чрезвычайно сложен. Еще не­ давно этот вопрос был настолько сложен, что он вообще не подда­ вался аналитическому рассмотрению.

Однако в последние годы он был проанализирован в исследова­ нии д-ра техн. наук Мороза. Он дал анализ фигур рассеяния, полу­ чающихся в наклонных пучках, исходя из теории каустик. В наклон­ ных пучках образуются каустики несимметричной формы и сложного вида; результат распределения световой энергии внутри пятна рассеяния зависит от характера пересечения экраном этих каустик. При этом может обнаружиться сгущение света в виде пятен или так называемых фокусных точек, или в виде фокусных линий, располо­ женных внутри фигуры рассеяния. Внутри фигуры рассеяния появляются кривые линии, представляющие результат пересечения каустических поверхностей с экраном; вдоль этих линий наблк> дается сгущение световой'энергии. Кроме обусловленной указанными явлениями макроструктуры фигур рассеяния, в них еще наблюдается специфическая микроструктура в виде полос, вызванных явлениями диффракции.

При рассмотрении комы необходимо остановиться на одном очень интересном условии, при выполнении которого кома может быть устранена или уменьшена. Если в оптической системе каким-либо способом устранена сферическая аберрация для осевой точки пред­ мета и, кроме того, выполнено условие, о котором будет сказано ниже, то в пределах небольшого поля зрения, т. е. для элементарной площадки изображения, устраняется кома и получается точечное изображение. Это условие известно под названием закона синусов

или условия синусов.

В настоящей работе не приводится вывод этого условия. Резуль­ тат этого вывода очень прост и само условие синусов имеет простой вид. Чтобы объяснить значения входящих в него величин, рассмотрим показанный на фиг. 14 ход лучей через некоторую оптическую систему.

37

Предположим при этом, что сферическая аберрация уничтожена каким-либо способом, так что все лучи, исходящие из осевой точки А предмета, после выхода из оптической системы, обязательно прохо­ дят через осевую точку А' изображения. При условии уничтожения сферической аберрации в точке А получится точечное изображение точки А. Как показывает практика, для точек, расположенных вблизи точки А на плоскости предметов, получится заметно нерезкое изображение из-за нарушения симметрии в строении пучка, т. е. будет иметься типичная кома.

Условие синусов позволяет устранить эту кому.

Фиг. 14. Ход лучей для пояснения закона синусов.

Обозначим показатель преломления в пространстве предметов через п, а в пространстве изображения — п'. Один из лучей, сопря­ гающих точки А и А', образует в пространстве предметов угол а с осью, а в пространстве изображения — угол а'. Линейное увели­ чение этой оптической системы обозначим буквой V.

Закон синусов можно написать в следующем виде:

у _ Пsin а п' sin а'

При выполнении этого условия (надо указать, что это условие выполняется не всеми оптическими системами, а только специально рассчитанными) система будет для малых полей зрения свободна от комы. Так как эта система кроме того свободна и от сферической аберрации, для малых полей зрения получатся точечные изображе­ ния по всему полю.

Любопытно, что условие синусов гарантирует точечность изобра­ жения для точек, лежащих не на оси, а в стороне от нее, хотя и не на большом расстоянии. Но в самом этом выражении фигури­ руют параметры только хода лучей, соединяющих точки А и А ’ , лежащие на оси. Поэтому на основании закона синусов можно судить о качестве изображения для таких точек, для которых совершенно не имеется расчета хода лучей.

Таким образом, нет надобности рассчитывать лучи, исходящие из внеосевых точек при расчете оптических систем, что сокращает труд. На основании этого условия можно установить, что для

38