книги из ГПНТБ / Чуриловский В.Н. Общая теория оптических приборов

Как было показано выше, линейное увеличение лупы равно бесконечности. Поэтому получаем следующее выражение для р :

Подставив это значение величины р в выражение для глубины резкости Т, получим

В этой формуле вместо диаметра D входного зрачка подставлена

величина -у-. Кроме'того, воспользуемся выражением для углового

увеличения в зрачках

Отношение тангенсов этих углов обычно выражает видимое уве­ личение Г, но в данном случае это не так. При выводе формул для глубины резкости предполагалось, что зрачок глаза наблюдателя, видящего предмет 8 под углом зрения 7 >находится в плоскости вход­ ного зрачка прибора, в то время как при выводе формулы для види­ мого увеличения Г лупы предполагалось, что зрачок глаза наблю­ дателя удален от предмета на расстояние наилучшего видения.

Выходным зрачком системы является зрачок глаза наблюдателя, смотрящего через лупу. Поэтому вершина угла 7 ' лежит в выходном

зрачке системы. А так как вершина угла 1 находится во входном зрачке системы, то, следовательно, отношение тангенсов этих углов выражает собой угловое увеличение в зрачках.

Применим формулу связи между угловым и линейным увеличе­ нием в зрачках

откуда

Далее получим выражение для tg 7

tgT = “ Vetg7'.

Подставим полученное выражение для tg 7 в общее выражение для глубины резкости

т — JL 2/' tgf'

п ' ' D'

Это выражение для глубины резкости справедливо и для микро­ скопа; при этом D ' — диаметр выходного зрачка. В случае лупы' воспользуемся формулой для видимого увеличения лупы

Г_ 250

~ V '

Вданном случае п = п' — 1. Поэтому формулу для глубины

резкости в случае лупы получим в следующем виде

т_ 2-2502tg Г

где D' — диаметр зрачка глаза, равный в среднем 3 мм

t g f = Г = 0,0003.

Тогда формула для глубины резкости Т приобретает следующий окончательный вид:

12,5

Т = Г* ‘

Если, например, Г = 10х, найдем Т — 0,125 мм.

Рассмотрим глубину резкости микроскопа. Для вывода величины глубины резкости микроскопа воспользуемся формулой, имеющей общее значение как для лупы, так и для микроскопа

т ___ 2/'2tg 7'

п' ‘ £ > '

В случае микроскопа всегда п' = 1, а величина п может и не рав­ няться единице, если в пространстве предметов находится иммерси­ онная жидкость, а не воздух..

130

Видимое увеличение Г микроскопа определяется формулой, вывод которой приводится в курсах, посвященных теории микроскопа

Г— 250Л

— Р' ’

где А — численная апертура, определяемая формулой

А = nsin а.

Угол а — передний апертурный угол микроскопа. Кроме того, для микроскопа справедлива также и формула

Г _ 250

/' •

Из первого выражения для Г находим

,250Л

Р — г ■

Из второго выражения для Г следует

р _ 250

/ - г •

Значения р' и f можно подставить в выражение для Т. Тогда после некоторых сокращений получится окончательное выражение для глубины резкости микроскопа

ным 4', потому что диаметр выходного зрачка микроскопа во много раз меньше диаметра зрачка глаза; он равен примерно 0,5 мм. Диа­ метр же зрачка глаза не меньше 2 мм. Этим самым ухудшается в четыре раза разрешающая способность глаза. Глубина резкости

малая глубина резкости микроскопа требует очень тонкого меха­ низма, при помощи которого осуществляется наводка микроскопа на резкость. Однако необходимо иметь в виду, что в применении к микроскопам, особенно при больших увеличениях, приведенная выше формула дает заниженные значения глубины Т, так как силь-

ное влияние оказывают явления диффракции. Диффракционная глубина резкости Тд микроскопа определяется формулой

Тп

1 « * 2А2'

где X — длина волны света.

Полагая X = 0,5 мк, получим для первого приведенного выше примера Тд = 2,8 мк, а для второго примера Тд = 0,25 мк. Во вто­ ром случае диффракционная глубина резкости превосходит геометри­ ческую, а наблюдаемая полная глубина может быть получена, как сумма глубин Т и Тд.

В заключение надо сказать, что в приведенных выкладках пред­ полагалось, что глаз наблюдателя аккомодирован на определенную плоскость; поэтому, если учесть, что глаз может менять аккомодацию от своей ближней точки до дальней, то величина глубины изображае­ мого пространства будет значительно большей. Так, например, глу­ бина аккомодации лупы Та определяется формулой

Т— J.__ А

а1000

Объем аккомодации А для эмметропа составляет 4 диоптрии. Поэтому глубину аккомодации лупы можно вычислить по формуле

Та =* 0,004 f'\

где /' — заднее фокусное расстояние лупы.

Нужно при этом иметь в виду, что изменением аккомодации нельзя получить резкое изображение всех предметов, расположенных в пре­ делах глубины Та, одновременно.

12. РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОПТИЧЕСКОГО ПРИБОРА

Разрешающая способность прибора в зависимости от разрешаю­ щей способности глаза. Известно, что острота зрения человеческого глаза в среднем выражается предельным углом разрешающей способ­ ности в 1 минуту. Но если между предметом и глазом будет помещен какой-либо оптический прибор, то разрешающая способность воору­ женного этим прибором глаза изменится. Необходимо установить, каков будет предельный угол разрешающей способности оптического прибора, работающего совместно с глазом человека. Для того чтобы рассмотреть этот вопрос, представим общую схему, подобную той, которой пользовались при выводе выражения для видимого увели­ чения.

Пусть у осевой точки А (фиг. 57) помещается предмет у, величина которого лежит на пределе разрешающей способности данного при­ бора и глаза. Далее расположены входной зрачок с центром в осевой точке С и выходной зрачок с центром в осевой точке С . Создаваемое прибором изображение у' предмета у лежит у точки А' и рассматри­ вается глазом, центр зрачка которого находится в точке О'. Изобра-

132

жение у’ наблюдатель видит под углом Если изображение у' нзблюдатель видит под углом, равным предельному углу разрешаю­ щей способности глаза, то и предмет, очевидно, находится на пределе разрешения. Если он еще немного уменьшится, то он будет для наблюдателя неотличим от точки. Углом, под которым этот предмет виден из центра входного зрачка, служит угол р. Главный луч в пространстве изображений образует при этом угол р'.

На рисунке введены уже известные отрезки р, р' и k'. Предположим, что угол ч' является предельным углом разрешаю­

щей способности глаза наблюдателя и равняется в среднем одной

минуте. Можно, пользуясь фиг. 57, определить величину у' из соот­ ветственного треугольника:

У '=

Далее нетрудно найти величину у, потому что у я у' связаны через линейное увеличение

Поэтому для величины у получается выражение:

Эта формула позволяет определить в линейной мере величину предмета, лежащего на пределе разрешающей способности. Можно несколько упростить эту формулу, применяя выражение для види­ мого увеличения Г

Г = v 4 r -

К

Формула для у приобретает тогда окончательный вид

k ,

У ~ -----р* т ■

133

Подставляя этот результат в выражение для р, получаем для этих приборов формулу

Эта формула позволяет подсчитывать предельный угол разре­ шающей способности приборов дальнего действия.

Представим себе, например, что дан призменный бинокль шести­ кратного увеличения: Г = 6 х; предельный угол т' разрешающей способности глаза можно положить равным Г = 60". Тогда по выве­ денной формуле можно подсчитать предельный угол разрешающей способности бинокля:

На разрешающую способность оптического прибора влияют, кроме ограниченной разрешающей способности глаза, еще некото­ рые другие факторы, имеющие существенное значение. К таким факторам можно отнести, например, аберрации оптической системы. Аберрации ухудшают качество изображения и вследствие этого сни­ жают разрешающую способность оптических приборов. Однако известно, что соответственным расчетом оптических систем аберрации можно удержать в достаточно малых пределах так, чтобы их вели­ чина не могла существенно повлиять на разрешающую способность приборов.

Однако, кроме аберраций, в различных приборах действуют фак­ торы, ограничивающие разрешающую способность. Возьмем, напри­ мер, фотографический аппарат. Здесь разрешающая способность прибора в значительной степени зависит от разрешающей способ­ ности фотографической эмульсии. Фотографическая эмульсия, как известно, имеет зернистое строение. При этом свет, падающий на такое зерно, может либо засветить его целиком, либо совсем его не засве­ тить. Если только свет попал на такое зерно, то оно проявится все целиком и все целиком потемнеет на негативе. Таким образом, зерни­ стость строения эмульсии действует практически так же, как и строе­ ние сетчатой оболочки, которая состоит из отдельных светочувстви­ тельных колбочек и палочек. Это свойство фотографических эмуль­ сий всегда приходится учитывать, когда рассматривается вопрос о разрешающей способности фотографических объективов. Следует отметить, что вопрос о величине этих зерен находится в непрерывном развитии и размеры зерен эмульсии постоянно уменьшаются. В настоящее время считается, что отдельные зерна эмульсии обычно имеют размер порядка 3 мк. Существуют и специальные эмульсии,

эти зерна обычно стремятся объединяться в группы, слипаться, так что получаются более крупные частицы, состоящие уже из целой группы этих мельчайших зерен. Такие частицы имеют размеры суще-

135

ного исследования оптических приборов, их разрешающей способ­ ности, а в случае астрономических приборов — на основании наблю­ дений за разрешением двойных звезд при помощи различных теле­ скопов.

После теоретической работы Релея был установлен практический критерий разрешающей способности на основании наблюдений за разрешением двойных звезд при помощи телескопа, определяемый формулой

Коэффициент k = 120 подсчитан для того случая, когда диаметр D выражен в миллиметрах, a получается непосредственно в секун­ дах. Любопытно отметить, что по приведенной формуле правильно определяется разрешающая способность человеческого глаза, если положить D равным наименьшему диаметру зрачка глаза, т. е. 2 мм. По этой формуле получается: = 60", что соответствует действи­ тельности.

Можно ожидать, что при наблюдении в сумерках, когда диаметр зрачка глаза возрастает от 2 до 8 мм, соответственно должен сни­ зиться предельный угол |3d разрешающей способности и разрешаю­ щая способность повысится. Этого на самом деле не происходит, потому что разрешающая способность глаза лимитируется размером колбочек и палочек сетчатки глаза, что в свою очередь приводит к тому, что предельный угол разрешающей способности остается все же постоянным. Но если пользоваться оптическим прибором, то диаметр выходного зрачка оптического прибора может быть меньше 2 мм. Тогда можно применить эту формулу и следует сказать, что в таком случае разрешающая способность глаза будет падать. Это обстоятельство необходимо учитывать в тех случаях, когда опреде­ ляется разрешающая способность приборов, обладающих малень­ ким выходным зрачком. К числу таких приборов относится микро­ скоп, в котором диаметр выходного зрачка может быть порядка 0,5 мм. Поэтому в микроскопе в четыре раза уменьшается диаметр выходного зрачка и, следовательно, в четыре раза увеличивается предельный угол разрешающей способности глаза. Поэтому, при рассмотрении микроскопов с точки зрения их разрешающей способ­ ности угол т' нужно полагать равным не Г, а 4'.

Выведенная формула справедлива в том случае, когда аберра­ ции оптической системы влияют ничтожно.

Кроме того, следует иметь в виду, что астрономические телескопы, при помощи которых был установлен коэффициент k — 1 2 0 , являются уникальными инструментами. Каждый инструмент изготавливается отдельно, не в порядке серийного производства. Каждый инструмент долгое время юстируется, подгоняется, регулируется до тех пор,

в астрономических телескопах; поэтому в таких приборах неизбежно

137

остаются погрешности изготовления деталей, погрешности центри­ ровки линз, особенно вредно влияющие на разрешающую способ­ ность, и вообще погрешности регулировки прибора. Учитывая их влияние, следует несколько увеличить этот коэффициент, чтобы сделать формулу пригодной для приборов серийного изготовления. Таким образом и была создана так называемая стандартная формула, которая принята для определения разрешающей способности опти­ ческих приборов. Она отличается от приведенной формулы только численным коэффициентом

По этой формуле может быть предварительно, заранее подсчитан предельный угол разрешающей способности какого-либо прибора. На заводах, где часто приходится применять эту формулу, разре­ шающую способность, определяемую по ней, называют теоретической разрешающей способностью приборов и считают, что действительная разрешающая способность оптических приборов может быть несколько хуже, т. е. величина [3 может быть несколько больше, чем вычисленная по приведенной формуле. Из сказанного видно, что это неправильно. Стандартная формула не совсем теоретическая; численный коэффициент в ней установлен практически. Поэтому иногда бывает, что особенно удачно изготовленные и собранные оптические приборы дают разрешающую способность более высокую, чем это предусматривается стандартной формулой. Но это случается довольно редко; как общее правило, действительно разрешающая способность серийно изготовленных оптических приборов несколько уступает той, которая вычисляется по стандартной формуле.

Определим диффракционную разрешающую способность для шестикратного бинокля.

У этого бинокля диаметр входного зрачка D — 30 мм. Подставив D в стандартную формулу для предельного угла разрешающей спо­ собности, найдем

Выше был найден предельный угол р для этого же бинокля, обусловленный ограниченной разрешающей способностью глаза наблюдателя. Этот угол равен 10".

Диффракционная разрешающая способность бинокля оказывается более высокой, чем его разрешающая способность, зависящая от остроты зрения глаза. Значит глаз наблюдателя не целиком исполь­ зует всю возможную разрешающую способность данного прибора. Можно сказать, что это хорошо: если бы «глазная» разрешающая способность прибора была доведена до такой же величины, какова и его диффракционная разрешающая способность, то глаз обнаружи­ вал бы диффракционную нерезкость изображения; ему были бы заметны диффракционные диски, получающиеся вместо точек. Чтобы это не случилось, необходимо иметь некоторый запас диффракционной

138