книги из ГПНТБ / Чуриловский В.Н. Общая теория оптических приборов

Для ахроматизации такой системы необходимо, чтобы силы ком­ понентов относились как соответственные коэффициенты дисперсии, но со знаком минус. Знак минус показывает, что силы линз должны иметь разные знаки; одна из линз должна быть положительной, другая — отрицательной. Этим, собственно, основной вопрос о воз­ можности исправления хроматизма решен, но задача еще не доведена до конца. Задачу можно считать законченной только тогда, когда будут определены четыре радиуса кривизны этого объектива.

Для этой цели предварительно определим силы ^ и <р2Имеем два уравнения: формулу для <р, (сила <р всего объектива конструктору задана) и условие ахроматизации. Эти два уравнения содержат неизвестные и ф2Решая их совместно, определим таким образом эти неизвестные.

Из условия ахроматизации имеем

Это значение <рл подставим в формулу для <р:

После простых преобразований получим выражение для <р2

Эта формула позволяет найти силу второго компонента. Фор­ мулу для силы первого компонента найдем, если полученное значе­ ние ф2 подставим в формулу для ^

Приведенные формулы дают возможность решить вопрос, кото­ рая из линз будет положительной и которая будет отрицательной.

Представим себе, что первая линза изготовлена из крона, а вто­ рая — из флинта. Коэффициент дисперсии для крона выше, чем для флинта > v2.

В знаменателях формул стоят положительные величины. Сила ср объектива, а также и каждый из коэффициентов дисперсии — тоже положительные величины. Поэтому cpj — положительное, а <р2 — отрицательное. Кроновая линза будет положительной, а флинтовая отрицательной.

Для определения радиусов имеем только две формулы, связы­ вающие силы <Pi и <р2 с четырьмя радиусами поверхностей. Двух формул недостаточно для определения четырех величин; поэтому следует ввести еще два дополнительных условия.

Во-первых, желательно построить систему так, чтобы обе линзы ■ можно было склеить при помощи прозрачного клеющего вещества — бальзама или бальзамина.

Чтобы имелась такая возможность, необходимо сделать радиусы соприкасающихся поверхностей склеиваемых линз равными

гя = гг-

Во-вторых, в качестве второго дополнительного условия целе­ сообразно, чтобы последняя поверхность системы была плоской, т. е.

г4 = с ю ,.

Теперь имеются четыре формулы, связывающие четыре радиуса. Один из радиусов г4 здесь определен.

Можно воспользоваться формулой для <р2, чтобы вычислить гг.

Решим это выражение относительно гг

гг определяется по следующей формуле:

Г2 = Гя.

Остается только определить радиус гх. Для этого воспользуемся

Таким образом получается следующая формула для вычисления радиуса гх:

Вычислив при помощи этой формулы обратную величину радиуса гх, легко найти самый радиус.

Таким образом, задача решена полностью: найдены все четыре радиуса преломляющих поверхностей объектива, свободного от хро­ матизма положения. Следует к этому добавить, что при практических расчетах рассмотренная здесь задача усложняется необходимостью исправления других аберраций, свойственных данному объективу.

В тонком двухлинзовом объективе вместе с устранением хро­ матизма положения достигается и устранение хроматизма увеличе­ ния. Но при введении в объектив конечных толщин линз для испра­ вления хроматизма увеличения необходимо выдержать определенное соотношение между толщинами обеих линз объектива. При обычном выборе марок стекла для линз объектива отношение толщины поло­ жительной линзы к толщине отрицательной линзы оказывается при­ близительно равным двум. Такое отношение толщин удобно и с точки зрения технологии изготовления линз.

20

Примененное в нашем примере условие: ri = с о , упрощающёе технологический процесс изготовления линз объектива, часто заме­ няется более сложным условием, вытекающим из требования устра­ нения сферической аберрации рассчитываемого объектива.

Для устранения комы двухлинзового объектива пользуются специальным подбором марок стекла, применяемых для линз объек­ тива; этот подбор основывается на богатом опыте расчетов, накоп­ ленных в оптико-конструкторских бюро заводов советской опти­

При переходе от одной длины волны света к другой изменяются (не сильно) показатели преломления щ и п 2.

Изменение da,1 угла ах можно получить дифференцированием

где = (nF — пс)1 — дисперсия стекла первого клина. Исключая отсюда oj при помощи формулы для ах, находим

1 Г. Г. Слюсарев, Методы расчета оптических систем, ОНТИ, 1937.

21

Величина

представляет собой коэффициент vx дисперсии стекла первого клина, поэтому

Совершенно аналогично находится выражение для угла da2 второго клина

Углы dax я da 2 выражают величину угловой дисперсии каждого из двух клйньев в отдельности, а угловая дисперсия системы, состоя­ щей из двух клиньев, выражается уЬлом da.

Угол da, представляющий собой изменение угла а при переходе от одной длины волны света к другой, можно получить дифференци­ рованием выражения для а

da — doCj -f- da2.

Отсюда следует

a2 v2

В ахроматизированном клине угол da, очевидно, должен быть равен нулю; поэтому получим условие ахроматизации клина

«1 _^2_ _ Q Ц ' ^2

ИЛИ

«2 а,.

Подставляя это значение а2 в выражении для а, получим

откуда находится ах

После нахождения углов ах и а2 ахроматизированного клина не трудно определить и преломляющие углы аг и а 2 клиньев, из кото-

22

рых составлен ахроматизированный клин. Пользуясь приведенными в начале вывода формулами для <х1 и а 2, найдем

Эти формулы позволяют вычислять преломляющие углы <зх и и2 ахроматического клина, составленного из двух клиньев. Рассмотре­ ние этих формул убеждает нас в том, что аг и а 2 имеют разные знаки; это значит, что клинья обращены преломляющими ребрами в противо­ положные стороны. Оба клина такой ахроматической пары обычно склеиваются друг с другом при помощи бальзама или бальза­ мина.

Ахроматические клинья применяются в оптических дальномерах и в других оптических приборах для отклонения пучков лучей на ма­ лый угол.

Если угол а отклонения луча довольно велик (больше 2—3°), то выведенные здесь формулы дают недостаточно точный результат. В таком случае следует пользоваться более строгой теорией ахроматизации призменных систем, учитывающей конечные величины углов падения и преломления лучей, а также и преломляющих углов призм.1

2. МОНОХРОМАТИЧЕСКИЕ АБЕРРАЦИИ

Если хроматические аберрации обнаруживаются только при применении смешанного белого света, то монохроматические абер­ рации наблюдаются даже в монохроматическом свете с постоянным значением длины волны.

Причина возникновения монохроматических аберраций в основ­ ном заключается в том, что реальные световые лучи проходят по пу­ тям, несколько отличающимся от путей, проходимых нулевыми лучами. Нулевой луч, как известно, является нереальным, фиктив­ ным лучом; он применяется в теории оптических приборов только ввиду удобства его использования для решения технических задач. Отклонения в ходе реальных лучей от хода фиктивного нулевого луча вызывают ухудшение качества изображения и приводят к появ­

лению ряда аберраций.

Аберрации широкого пучка лучей. Первой группой монохрома­ тических аберраций являются аберрации широкого пучка. Имеются две такие аберрации: сферическая аберрация и кома.

С ф е р и ч е с к а я а б е р р а ц и я . Рассмотрим физическое явление сферической аберрации (фиг. 7).

Представим себе простую, неисправленную в смысле аберрации линзу. Пусть это будет собирательная линза, на которую падает

1 В. Н. Чуриловский, Расчет призменных систем на хроматизм, 1933.

23

пучок параллельных лучей. Из этого пучка выделим три луча, параллельных оптической оси, падающих на эту линзу на различной высоте. С точки зрения оптики Гаусса или геометрической оптики все эти лучи должны были бы после выхода из линзы пересекаться в одной точке, которая является задним фокусом этой системы. Положение заднего фокуса может быть определено по формулам гауссовской оптики.

На самом деле строго следуют закону оптики Гаусса только лучи, бесконечно близкие к оптической оси. Если мы проследим ход какого-

Фиг. 7. Сферическая аберрация линзы. Образование каустики.

не проходит строго через точку F'. Обнаруживается, что он пересе­ кает ось в точке, отличной от F', хотя и близкой к ней в точке 1. В этой точке реальный луч пересекает ось. Если взять луч, образую­ щий большую высоту по отношению к оси (луч II), то обнаружи­ вается, что он пересекает ось еще дальше от точки F’ , скажем, в неко­ торой точке 2 на оптической оси. Луч III, самый крайний, пересе­ кает ось в наиболее близкой к оптической системе точке 3.

лучи снизу и сверху проходят по совершенно симметричным путям.

Можно заметить, что после прохождения лучей через объектив получается негомоцентрический пучок. Этот пучок не теряет сим­ метрии относительно оптической оси, он остается симметричным, но перестает быть гомоцентрическим. Это приводит к тому, что изображение, улавливаемое на каком-нибудь экране, перпендику­ лярном к оптической оси, оказывается не резким.

Можно заметить еще то обстоятельство, что сама форма пучка приобретает своеобразный характер. Можно, например, провести линию, последовательно касающуюся всех лучей этого пучка. Такая

24

огибающая лучи кривая, касающаяся всех лучей пучка, назы­ вается каустикой.

От плоского чертежа можно перейти к пространственному пред­ ставлению, вращая чертеж вокруг оптической оси. Тогда каустика опишет при своем вращении некоторую поверхность. Эта поверхность называется каустической поверхностью. Она также касается всех лучей этого пучка и огибает их.

Таким образом, каустика определяется как некоторая геометриче­ ская линия.

Но каустика имеет не только геометрический смысл, а и физи­ ческий. Можно иначе сформулировать понятие о каустике: каустику можно определить, как геометрическое место точек пересечения бесконечно близких лучей, лежащих в меридиональной пло­ скости.

Если рассматривать всю каустическую поверхность, то можно определить эту поверхность как геометрическое место точек пересе­ чения бесконечно близких лучей, но лежащих в разных меридио­ нальных плоскостях.

Если говорить о геометрическом месте точек пересечения лучей, то этим самым каустике придается уже физическое понятие. Там,

В таких опытах вдоль каустики всегда наблюдается сгущение света. Например, если использовать прожектор, дающий параллельные пучки лучей, которые следует пропустить через простую линзу, затем заполнить дымом пространство, где образуется каустика, то тогда будут видны те места, где образуется сгущение световой энер­ гии, т. е. каустическая поверхность.

Благодаря наличию каустической поверхности, имеющей обычно форму раструба, характер пучка при сферической аберрации полу­ чается очень своеобразным: он ограничен криволинейной поверх­ ностью.

Каустика имеет две ветви, расположенные симметрично относи­ тельно оптической оси. Эти ветви сходятся в одной точке, лежащей

.на оптической оси, и образуют здесь острие, лежащее в заднем фокусе F' системы.

Нужно заметить, что каустическая поверхность не исчерпывает еще всего геометрического места точек пересечения бесконечно близких лучей в этом пучке. Для того чтобы разобраться в этом и убедиться в том, что есть еще точки пересечения бесконечно близких лучей, которые не лежат на каустической поверхности, представим себе вид той же линзы, если смотреть на нее вдоль оптической оси. Тогда она изобразится на чертеже в виде круга, через центр С кото­ рого проходит перпендикулярно к плоскости чертежа оптическая ось. След от вертикальной меридиальной плоскости проходит в виде вертикальной линии КС на фиг. 8.

Возьмем какой-либо из отмеченных выше лучей /, II и III. Точка Р означает след этого луча. Каждый луч, параллельный опти­ ческой оси, изображается точкой, подобной точке Р.

25

Выше указывалось, что каустика — это геометрическое место точек пересечения бесконечно близких лучей пучка. Имея луч Р, следует отметить бесконечно близкий к нему луч, лежащий тоже в меридиональной плоскости КС. Этот луч будет проходить либо

к выбранному за основу лучу Р. Все эти три луча, бесконечно близ­ кие друг к другу, после выхода из оптической системы должны пересекаться в одной точке, лежащей на каустике, т. е. в той точке, в которой луч Р касается каустики.

Но, кроме того, можно взять другие бесконечно близкие лучи,

нечно близкие к основному лучу и лежащие в сагиттальной плоско­ сти, называются сагиттальными лучами. Верхний и нижний беско­

Где же пересекутся сагиттальные лучи и 5 2 с основным лучом Р после прохождения их через линзу?

Чтобы ответить на этот вопрос, представим себе, что меридиональ­ ная плоскость КС повернута вокруг оптической оси С на бесконечно малый угол "f. Она займет тогда новое положение К'С. При таком повороте точка' Р опишет бесконечно малую дугу окружности, сов­ падающую с отрезком PS1. Следовательно, основной луч Р после указанного поворота совместится с сагиттальным лучом St. Так как поворот плоскости КС выполнен вокруг оптической оси, то точка пересечения лучей Р и SLпосле их выхода из линзы может быть рас­ положена только на оптической оси линзы.

Таким образом, сагиттальный луч ^ (а также и луч S 2) пере­ секается с лучом Р на оптической оси. Вернемся к фиг. 7, на которой

26

представлен ход лучей пучка, прошедшего через линзу, при наличии сферической аберрации. Выше было указано, что геометрическим местом точек пересечения бесконечно близких меридиональных лучей является каустическая поверхность.

Становится ясно, что отрезок оптической оси, начиная от заднего фокуса F' до точки 3 тоже является геометрическим местом точек пересечения бесконечно близких, но в данном случае уже сагитталь­ ных лучей. Если определить геометрическое место точек пересечения как меридиональных, так и сагиттальных лучей, то следует рас­ сматривать колоколообразную каустическую поверхность также вместе с отрезком оптической оси.

Введение понятия о каустике позволяет очень ясно представить себе структуру такого негомоцентрического, но симметричного относительно оптической оси пучка.

Предположим, что в задней фокальной плоскости линзы устано­ влен экран, чтобы уловить на нем изображения бесконечно далеких точек.

Из-за сферической аберрации линзы получится нерезкое изо­ бражение этих точек на экране. От того, что лучи, идущие от осевой точки бесконечно далекого предмета, не сходятся все в точке F ', вместо резкого изображения точки образуется некоторая фигура рассеяния, имеющая форму круга. Радиус этого кружка легко опре­ делить, если представить точку пересечения крайнего луча, прошед­ шего через систему, с плоскостью экрана. Удаление этой точки от оси определяет величину р — радиуса кружка рассеяния, который здесь получается. Величина р (фиг. 7) называется также поперечной сфе­ рической аберрацией.

Но нельзя придавать величине этого кружка очень важное зна­ чение для определения разрешающей способности этой системы, для изучения вопроса о степени нерезкости получаемых изображе­ ний. Дело в том, что световая энергия в пределах этого кружка распределяется очень неравномерно. У заднего фокуса, где к экрану подходит острие каустики, получается яркое ядро сравнительно небольшого диаметра, а затем количество световой энергии быстро -падает к краям. Поэтому у краев пятна рассеяния может оказаться так мало световой энергии, что было бы неправильно судить о вели­ чине нерезкости по полному диаметру пятна рассеяния. Из фиг. 7 видно, что при такой установке экрана, когда он лежит в плоскости гауссовского изображения, получается большой диаметр пятна рассеяния, а, приблизив экран к оптической системе, можно добиться уменьшения диаметра пятна рассеяния, но только до некоторой сте­ пени; достичь же полной резкости невозможно.

Рисунок показывает, что в рассматриваемом пучке существует наиболее узкое место, так сказать, шейка пучка; оно проходит там, где верхний крайний луч пересекается с нижней ветвью каустики. Если через точку их пересечения провести плоскость, перпендику­ лярную к оптической оси, и представить себе, что в этой плоскости установлен экран, то в этом месте получается наименьший диаметр пятна рассеяния.

27

Но значит ли это, что именно так и нужно ставить экран, чтобы получить наиболее резкое изображение? Нет, этого утверждать нельзя, не учитывая распределения световой энергии'внутри кружка рассеяния. Рассматривая строение пятна рассеяния в этом случае, можно заметить, что в 'нем тоже будет яркое ядро в середине как результат пересечения оси каустики с экраном. Но это ядро будет менее ярким, чем в случае, рассмотренном выше. У самого края пятна рассеяния экран пересекает каустическую поверхность по кругу. На каустической поверхности происходит сгущение световой энер­ гии, поэтому самая крайняя зона кружка рассеяния представится

ввиде яркого колечка, — в промежутке же между центральным ядром и наружной яркой зоной будет рассеянный свет. Так как эта зона совпадает с краем пятна рассеяния, значительное количество световой энергии будет сосредоточено на периферии пятна. Поэтому распределение энергии получается значительно менее выгодным, чем

втом случае, когда экран стоит прямо в задней фокальной плоско­ сти; там световая энергия сосредоточена в центре, что более

выгодно.

Эти соображения приводят к тому, что на самом деле наилучшая плоскость наводки, плоскость, в которой получается наиболее резкое изображение, не лежит ни в месте наименьшего поперечного сечения, ни в гауссовской плоскости изображения, а лежит где-то между ними. В этом поперечном сечении кружок рассеяния получается несколько больше по диаметру, чем в месте наиболее узкого сечения, но распре­ деление энергии выгоднее, потому что диаметр светлого кольца, образующегося в результате пересечения экраном каустической

•поверхности, получается меньшим.

Точное определение наиболее выгодного месторасположения экрана можно сделать только расчетом волновых аберраций.

Понятие о каустике позволяет довольно глубоко исследовать сущность явлений, происходящих в фигурах рассеяния; однако оно не удобно при решении многих практических задач, преследую­ щих коррекцию сферической аберрации.

В таких случаях удобнее пользоваться специальным графи­ ческим построением, которое применяется на практике при расчетах и исследованиях оптических приборов. Обычно принято строить характеристический график сферической аберрации, откладывая по вертикальной оси высоту h падения луча на первую поверхность оптической системы, а по горизонтальной оси — отрезок 8s', отсчи­ тываемый от осевой точки гауссовского изображения до точки пере­ сечения с оптической осью того же луча после его прохождения через оптическую систему. Отрезки 8s' носят название продольной сфери­ ческой аберрации. Начало этих отрезков считается лежащим в осевой точке гауссовского изображения, поэтому отрезки на рисунке полу­ чились отрицательными.

На фиг. 9 показан график продольной сферической аберрации, характерной для некорригированной системы.

На чертежах принято изображать лишь ту ветвь графика, кото­ рая расположена выше оптической оси; однако, очевидно, .что гра-

28