книги из ГПНТБ / Цыпкин Я.З. Лекции по теории автоматического регулирования. Элементы теории импульсного регулирования

ния

Лапласа.

/.

Теорема линейности

н

и-

р-

(113)

1

где

F*

(9)%

и а^ — постоянные.

I

теорема непосредственно

вытекает из

определения

Эта

дискретного преобразования Лапласа (ИО).

2.

Теорема сдвига

k—I

Одп-И]} = e<*(q){F

(114)

- £ e~Qnf[n]}.

л—о

Я(/[я-Л]}=Г’Л(<7)Г* .

(115)

По определению

(ПО)

ОО

= S e-^fln + k].

л-0

полагая n^=n-\-k и,

значит, п=П\—k, имеем

D(/|n+4]|=f е

*>Дя,] =

л-0

*(q)F .

Меняя во второй сумме n-t

на п, получаем формулу

(114). Аналогичным образом

ОО

ОО

= S е"""/[«-4=S

л—0

л—й

так

как f[n—Л]==0 при п<Л

Полагая Теперь

п—k—щ и, значит, п=П14-&, имеем

ОО

л1»0*

ОО

е~9Л7к1] = е“?**(?)/= .

л,=0

3.

Теорема смещения

D\e f[n]\

= (qF*

+ а.).

Из определения (110)

следует

D{e±“nf[^]}=S

е~ЧП(.е±'ПКп])=% ^^/[nj^F^qTa)

п—о

л=0

(116)

4.

Теорема о

дифференцировании

по

параметру

D [

rffftt.X]

)

_ dF*(q,k)

ц7-

t

dk

J

Л

V

'

следует непосредственно из теоремы линейности.

5.

Теорема умножения решетчатой функции на

пк

= (-

■

(US)

Дифференцируя

обе части

равенства

(ПО) k

раз по

q,

получаем

ОО

л—0

откуда следует равенство (118).

6.

Теорема свертывания

' п

о £/,[»-

=D S л [^1/а ]«—

m—0

т—0

6*

83

Умножая равенство (110)

на F2*(<7) , имеем

СО

= £ e~4mF2{q)fx{ni\.

m=0

Но, согласно теореме сдвига,

е

о

|0

при п <, т

F2(q)°

*{/гР —пг\ при п. > т

Следовательно,

rx

(q)F*2(q)°+ Уп} ft [т\ f2[n - т].

(119)

т—в

Полагая п—т=т^ и, значит, т—п—ти получаем

п

(120)

F,

У /,[„ _ mjf, [mJ;

m-0

последние соотношения и доказывают теорему

свертывания.

7. Изображение разностей

D{A/[n]} = (е« — l)f*(?) — ^/[0].

(121)

Дп*£>{]}Д

= (е« - \)k{q)F*

*-i

Д’/[0].

-е^{еч -

Разности (фиг. 59)

(122)

ДД/г] = f[n + 1] - f[n];

ДVt«l = Afe-7k+l] “

(123)

+

(124)

8. Предельные

значения решетчатой

функции1

lim /[n] = lim

— 1V*(7)

(125)

л-оо

q—О''

'

limf[n\ = lim F*(q}

(126)

л-O

fl-00

— (e9 — (<7)1)F*

—

(127)

/Г"

ss-

При q ■-*

0 имеем

£ Д/[/г] =

- (^)1)F*

-е’/[ОЦ.

л—О

Но

“

“

2д/[«]=£№ + 11-/[«]1 =

л-0

л-0

= lim Д/г] — ДО].

Следовательно

л-»оо

lim Д/г] - ДО] = lim(^ - l)F*(q) - /[О],

л-оо

q-0

откуда по

сокращению ДО] следует формула (125). Рассмот­

п

f e~q(n+'}Д/г] = (1 - e~q )F*(q)

~ /[0].

л=0

оо сумма, стоящая

/»««•<

части этого

равен­

При q •-*

в яраэеи

ства, равна

нулю, и, следовательно,

f[0] = lim(l— е

4}F*(q)==\\m F*(q}.

q^CQ

q-co

9.

Сумма дискретных значений решетчатой функции.

Пусть lim Д/г]=О; тогда сумма дискретных значений решет­

чатой функции (фиг. 59) равна

а

£=/=*(0).

(128)

Действительно, полагая

в

основном

соотношении

(ИО)

<7=0,

получаем

00

(129}

£f[n] = F*(0) = S.

л—О

S определяет площадь соответствующей ступенчатой функтйти

Найдем

изображения некоторых решетчатых функций:

Это так называемая единичная

решетчатая функция

(фиг. 61). Применим формулу (124),

полагаяв ней k—\ и

—— -----—— — 1(а0 — 0),

(131)

— 1

eQ — 1

°{Я>* = ОИ-

аа \e e

(

da

)

_

еч.^

(133)

(q)=*F

*G (q)

,

(134)

и степень

v

’

где Н* (q) и (q)*G

суть полиномы по eq

*И (q)

не выше степени (<?)*G .

Формулы разложения.

полюсов [эти I

Пусть F(q)*

имеет I

полюсов

являют­

ся корнями уравнения *(q)G

—О]1.

Тогда *(q)F

можно представить

в

виде

*(q)=F

Н*

(?) _ у

с-

*G

(?)

»-1 еч — е«’

если полагать, что среди

корней уравнения 0*(<?)-«вО крат­

При

д — д^

*G(^|

1) = 0. Раскрывая

неопределитель-

ностб,

получаем

^(*

и)

==^(?1х)

(135)

dG(q)*

'

(?*О

и j ’

de4

J?-?)».

где точка над *G

означает

дифёренцирование по

еч. Таким

образом, разложение принимает вид

*Н(

?) = у *(?Я у)

1

(136)

с*

(л)

Zj g(?„)*

eq _еуГ»

Замечая, что1

1

еч

п

?

<л-1)

v

------------—.-------------

== g

,

еЧ — ё'

еЧ — ё1''

получаем, переходя

от изображения

к

оригиналу,

дп] = V ..

Лл

(137>

V—1

Рассмотрим еще важный случай, когда *F(q)

имеет по­

люс q—0-

F^g)==^)._^-----.

(138>

G*(g)

еч—l

1 См. таблицу оригиналов и изображений на стр. 92; здесь использо­

вана теорема сдвига.

1

В этом

случае, пользуясь формулой (1^6), получаем

(Н*у)

е9__ у

)

_______ е9______

(139)

G*(q)

е9 — 1

*G(q,

)

(«?7-/»)(<??—1)

*

Замечая,

что*

7

о

__ е9_______ ___

1

(

е9________ е9

—1) .

1—/ф17—1

е9 — е<7, |°*

Ч- (1 -г’.")

1 — е

•

и, переходя

от изображения к оригиналу, получаем

V—1

1

/

Полагая в

формуле (118) q — 0,

имеем

/7*(0)

у

*(1Н Ч)

(0)*G

V—1

(^* -1)с 7< )

Следовательно,

окончательно

Пд[ = gWL + у

>

е-л

(Ш)

1

1

*G(0)

1

(Л—l)G*fa,

)

V 7

V = 1

Интегрированием в пределах от о—/л

до cr-j-pt выражения

(ПО) можно показать, что имеет

место

формула обращения

Co-l/lt

f[n]=D-'{5*(9)} =

(q)*F -e

9ndq.

(142)

1 См. таблицу оригиналов и изображений на стр.

92.