книги из ГПНТБ / Цыпкин Я.З. Лекции по теории автоматического регулирования. Элементы теории импульсного регулирования
.pdfОтметим в заключение этого раздела, что введение импульс ного регулирования может явиться сильным средством стаби лизации систем, если частотная характеристика линейной час
ти, начиная с некоторой частоты, проходит через / и IV квад ранты (фиг. 29). Такой частотной характеристикой обладают,
например, системы с запаздыванием, системы с распределен ными параметрами и т. д. Этот факт непосредственно вытекает
из указанного выше способа построения по IF(/(o) (см. фиг. 29). Интервал регулирования при этом выбирается
из условия
3. Процесс регулирования в системах импульсного регулирования
Рассмотрим 'уравнение системы импульсного регулирова ния (первого или второго видов)
|
|
|
ли?)- |
|
Его можно привести к виду |
|
|
||
|
|
Я* (а) |
|
(64) |
|
|
|
|
|
где *H(q) |
—многочлен степени Л, |
G*(q) |
—многочлен степе |
|
ни I, соответствующий характеристическому уравнению. |
||||
Предположим, что х0[п] имеет |
вид |
единичного скачка, |
||
то есть |
|
|
|
|
|
1 |
при /1—0, |
1, 2, |
|
|
0 |
при л<0; |
|
|
тогда входная величина моменты времени будет
*н (0)
импульсного элемента в дискретные определяться выражением*
i |
- . |
|
v |
н* (q ) |
(65) |
1 |
---------- —— |
|
»-о |
_]) g* (цч ) |
|
* См. приложение на стр. 81—82.
41
где 7» — основные корни характеристического уравнения, то есть основные полюсы передаточной функции замкнутой си
стемы (основные корни уравнения |
(q)~*G |
0), а |
|
|
|
||
*G |
) = |
rfG* (7) 1 |
Г d0* |
п |
1 |
~ |
|
J?-"?» |
— j |
— e~q |
|
. |
|||
|
|
dq |
|
|
|||
Эта формула определяет процесс регулирования в моменты съема.
Если система устойчива, .то действительные части основных
корней характеристического уравнения *(q)=QG |
отрицатель |
||||
ны, и все слагаемые в (65), содержащие |
eq'>n |
, |
с ростом п |
||
будут стремиться к нулю. Предел, к которому стремится |
|||||
будет равен |
|
|
|
|
|
fool = "IV" |
= "(0)*G |
= (0)»+^* |
’ |
(66) |
|
Эта величина характеризует статическое |
(установившееся) |
||||
отклонение входной величины импульсного элемента. Значе
ние х1Х[оо] отлично |
от нуля при *117 |
(0) * [оо] и обращается в |
нуль, когда 1(0)=*Г |
<х>. Последний |
случай имеет место, на |
пример, когда исполнительное устройство содержит интегри рующее звено.
Построение процесса по формуле (65) связано с необхо
димостью вычисления корней характеристического уравнения
(q)*G —0, что при Z>3 становится чрезвычайно громозд кой операцией.
Приведем иное выражение процесса, свободное от этих не достатков и позволяющее построить процесс при любом воз
мущении.
Если передаточную функцию замкнутой системы предста
вить в виде
= b^b^. . |
|
|
|
G* (Я) |
a0-\-aleq+ . . . |
’ |
|
то, разлагая |
ее в ряд по степеням е~ч можно |
показать, |
что |
*.,(«] = 5 Fk.x0[n-(l-la+k)], |
(67) |
||
|
*-0 |
|
|
42
где коэффициенты Гk определяются из рекуррентного соот ношения
*/~ |
'■—- |
I |
7"а—ц |
• Лс—р. |
(68) |
| |
|||||
*(&/,_ = 0 при |
|
р.-о |
при |
♦ |
|
А>/„ |
ai-p = 0 |
!<■>>/). |
|
Таким образом определение процесса регулирования в мо
менты съема t=n сводится к вычислению коэффициентов Гк
Выражение (67) определяет процесс регулирования (для
t=n) при любой форме х0[га]. Если Хо[п] имеет вид единичного скачка то, х0[п—(I—/г-М)] равно единице при k < п—1-\-12 и нулю при k^>n—и значения процесса находятся простым суммированием коэффициентов ГК. При заданных значениях
параметров системы вычисление процесса по выражению (67)
не представляет труда.
Можно, наконец, определить процесс графоаналитическим
методом |
по частотной характеристике. Для этой цели по |
||
И*(/(7о) |
указанным выше способом |
строится вещественная |
|
частотная характеристика *В(со). |
Если представить ее в виде |
||
суммы типовых трапециодальных |
характеристик (фиг. 30), |
||
то искомую величину Гк можно выразить в виде
Д/ sin 10, k \ j sin (Av k) X
Г1-12+к— 2j A, I - k |
j I |
j- |
(69) |
Здесь А, есть площадь трапеции. |
Остальные |
|
обозначения |
|
sin у |
|
определяем |
ясны из фиг. 31. Пользуясь таблицами —-—, |
|
||
Гк, а затем, как указано выше, интересующий нас процесс
Х,х [Л].
43
4. Косвенные методы оценки процесса в системах импульсного регулирования
Как и в теории непрерывного регулирования, для выбора параметров системы автоматического регулирования важную роль играют косвенные методы оценки процесса регулирова ния, не требующие построения последнего. Мы вкратце рас смотрим три таких оценки: степень устойчивости, степень ко лебательности и интегральные оценки.
Степень устойчивости
Чем больше по абсолютной величине действительные часта
полюсов q? , тем быстрее затухают составляющие процесса
еч'>п с ростом п. Как и в случае систем непрерывного регу лирования, быстрота затухания процесса устойчивой системы
может быть охарактеризована абсолютной величиной действи тельной части ближайшего к мнимой оси комплексной плос
кости q корня характеристического уравнения
G»(0 = Q*(<7) + *(?)P = O. |
(70) |
Эту величину мы назовем степенью устойчивости и обозначим
ее через £, так что
£ = min|Re<7»| |
(71) |
(фиг. 24).
Степень устойчивости £ является относительной величиной, так как процессы выражаются в функции относительного вре
мени t=n.
Абсолютная величина степени устойчивости, очевидно, будет равна
(72)
‘р
Для определения степени устойчивости достаточно в пере
даточную функцию разомкнутой системы импульсного регули рования W*(q) подставить^—g вместо q, и полученную таким образом передаточную функцию рассматривать как передаточ ную функцию некоторой фиктивной системы, граница устой
чивости которой соответствует линии, равной степени устой чивости исследуемой системы. Точно также, как и в теории непрерывного регулирования, задача сводится к иссле
44
дованию устойчивости фиктивной системы. Последнее же мо жет быть проведено на основании критериев устойчивости, при веденных выше.
В отличие от линейных систем непрерывного регулирова
ния, обладающих всегда конечной степенью устойчивости, в
системах импульсного регулирования степень устойчивости мо жет достигать бесконечности. Бесконечная степень устойчиво
сти соответствует тому, что действительные части корней урав
нения G(q)* |
—0, которое мы выпишем в явном виде |
|
|
*G (д) = atel9 -f- ai-i |
. . . -^ще9 4- a0 = 0, |
|
|
равны — oo. Очевидно, что |
условия, при которых достигает |
||
ся бесконечная степень устойчивости, имеют вид |
|
||
|
а0 = at — а2= . . . = ai—i — 0, |
(73) |
|
так как в этом случае все корни уравнения
G* (д) = а^19 = О
равны — <х>. Если задана передаточная функция разомкнутой системы.
Р* |
(?) __ |
br>+b'ie9+ • • ' |
• + 6/,—1 е(Л 1)g+fy е1'9 |
|
(74) |
|
*Q (У) |
а^-1-а'1е9+ . . |
.+^_j e^l~^9 -t-aj elq ’ |
|
|||
|
|
|||||
то условия |
(73), при которых |
достигается бесконечная |
сте |
|||
пень устойчивости, согласно (70) |
и |
(74), примут вид |
|
|
||
«о = — Ьо‘> |
а\ = ~ Ь'б |
• |
• - «;_i = |
1 |
(75) |
|
При бесконечной степени устойчивости процесс регулиро вания при возмущениях вида единичного скачка заканчивает
ся в конечное число интервалов регулирования. |
|
|||
Действительно, если a0=ai=tZ2=:- - .= |
«z-i |
—О, то из |
||
рекурентного соотношения |
(68) получаем |
|
|
|
Ь. |
и |
|
|
|
Гк = —— при k<l2 |
|
|
||
/\ = О |
при |
k > /2, |
|
|
И в этом случае по формуле (67) |
будем иметь |
|
||
п—1-1, |
|
|
|
|
S -^--1 [n—fc—/+/,] |
при |
Л<1 |
||
Л-0 |
|
|
|
|
1 Часть из коэффициентов а(- и bt может быть равна нулю.
45
и
|
|
t |
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
b.k |
|
|
|
|
|
||
|
S~ai ~ ~ 14-IF* (0) ПРИ |
|
|
|
|
|
|||
|
*-o |
|
|
|
|
|
|
|
|
ж4х [га] |
при п>1 не зависит от л |
|
|
|
|
|
|||
В частности, если *U7 |
(0)=<х>, хвх (п)=й при п>1. |
|
|||||||
Отсюда мы заключаем, что в системе с бесконечной сте |
|||||||||
пенью |
устойчивости |
процесс |
регулирования |
оканчивается по |
|||||
|
|
|
|
истечении |
конечного |
чис |
|||
|
|
|
|
ла интервалов. |
|
|
|
||
|
|
|
|
Условия (73) |
или (75) |
||||
|
|
|
|
назовем условиями конеч |
|||||
|
|
|
|
ной длительности процес |
|||||
|
|
|
|
са регулирования. |
|
||||
|
|
|
|
Параметры, |
|
удовлет |
|||
|
|
|
|
воряющим этим условиям, |
|||||
|
|
|
|
можно назвать оптималь |
|||||
|
|
|
|
ными с точки зрения бес |
|||||
|
|
|
|
конечной |
степени устой |
||||
|
|
|
|
чивости. Конечно, не для |
|||||
|
|
|
|
всякой |
системы |
сущест |
|||
|
Процесс |
|
|
вуют оптимальные |
пара |
||||
|
|
|
метры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поясним |
физически |
||||
|
|
t |
|
смысл |
бесконечной |
сте |
|||
О |
Воздействие |
|
пени устойчивости. |
|
|||||
на цепь |
|
|
Рассмотрим |
|
регули |
||||
|
|
|
|
руемый |
|
объект, описы |
|||
|
Фиг. 32. |
|
ваемый |
|
дифференциаль |
||||
порядка. На фиг. |
32, а |
|
ным уравнением |
первого |
|||||
этот объект представлен |
|
в |
виде |
||||||
электрической цепи |
RC. |
Напряжение Ut на |
|
емкости сравни |
|||||
вается с эталонным напряжением Ео, и разность их воз
действует на |
импульсный |
элемент. |
Импульсный эле |
||
мент |
воздействует |
на |
вход цепи RC импульсами, |
||
высота |
(или длительность) |
которых |
зависит от разности |
||
Ео— Uc. Можно подобрать |
параметры |
импульсного элемента |
|||
(£и, у) |
так, |
чтобы |
процесс регулирования заканчивался в |
||
течение одного интервала f=l, как это показано на фиг. 32,6 (кривая /). При иных значениях его параметров процесс не
будет заканчиваться при /=1 (кривая 2, 3). |
1 |
46
Степень колебательности
По аналогии с системами непрерывного регулирования на
зовем степенью колебательности ц устойчивой системы им
пульсного регулирования абсолютную величину отношения мнимой части ближайшего к оси корня характеристического
Расчет степени колебательности может быть также сведен
к исследованию устойчивости некоторой фиктивной системы.
Так, например, |
если подставить |
q = — $ + /ш= |
=<» I/— ~где т; =-£-=const, в G(q)* |
то, применяя критерий |
|
Михайлова к |
j |
177) |
|
|
|
не трудно определить, обладает ли система заданной степенью колебательности или нет, и подобрать параметры при которых степень колебательности равна или не меньше заданного зна
чения. Отметим, что степень колебательности относится к ре -
шетчатым функциям, то есть дискретным значениям процесса в моменты съема.
Аналоги интегральных оценок
Динамические свойства переходного процесса, то есть
процесса регулирования, возникающего вследствие возмуще
ния вида |
единичного скачка, |
можно |
оценить величинами |
|
ОО |
ОО |
|
|
|
|
[ц] Х1х [оо]>; /2 |
— |
И %вх [°°])> |
(78) |
Л —О |
|
Л—О |
|
|
которые являются аналогами интегральных оценок в теории непрерывного регулирования.
47
В тех случаях, когда статическое отклонение
что часто встречается в системах импульсного регулирования,
ОО |
|
• |
(79> |
Л = £хвх№ |
Л |
*,’,[«]• |
|
Л-0 |
|
л-0 |
|
7i выражает собой площадь, |
заключенную между ступенча |
||
той функцией, образующейся из решетчатой функции |
, и |
||
установившимся значением ее, то есть площадь отклонения сту
пенчатой функции от ее предельного значения (фит. |
34, кри |
||
вая 1 35, кривая 2). |
|
этого отклонения |
|
/2 выражает собой площадь квадрата |
|||
(фиг. 34,2 и 35,2). |
|
|
|
Отметим, что Ц и /2 являются относительными величинами. |
|||
Для получения абсолютных величин |
их |
следует умножить |
|
на Тр. |
|
|
|
Согласно теореме о площади (см. приложение), |
|
||
СО |
• 1+Иг»(7)]9_0- |
(80) |
|
Л = S Хвх Н=^„(0)= |
|||
л—о
Очевидно, что It может быть пригодна для оценки неко лебательных процессов.
48
Оценка /2 лишена этого недостатка.
Приведем выражения, позволяющие вычислить /2 непосред ственно по коэффициентам передаточной функции замкнутой системы.
Пусть
И* (q) *Н (а) (е«—1)
где X* (q)—изображение единичного скачка (в этом |
случае |
|||
Хвх 1°°] |
g* |
(0) — $ )’ |
|
|
*G (q) |
|
|
|
|
характеристическое уравнение |
и |
|
|
|
|
|
|
■о» |
|
тогда при /=/2= |
|
|
|
|
|
4 |
л |
|
|
|
ао |
|
(81) |
|
|
|
|
||
2 ------ |
Uq |
2 2 |
9 |
|
|
|
а1-ао |
|
|
До |
|
|
|
|
при /=/2=2 |
|
|
|
|
(^+4)1::°* |
— 2dxd0 |
д» а1| |
|
|
|
|
Др Д|1 |
|
|
______ [Др Да |
|
|
||
Лр О
о at at Op
Оаа в] а,
аг at Q
(d^-|-dp) (Да+Др) '^dodjat
(82)
(Да—Др) 1(Д»+Др)’—Д?)
72 является функцией параметров системы импульсного регулирования. Значения параметров, при которых /2 дости гает наименьшего значения, назовем оптимальными с точки зрения этой оценки. /2 можно также определить графически по
4—1869 |
49 |
частотной характеристике замкнутой системы. Можно пока зать, что
Н* (!<*) 3 |
(83) |
dwt |
|
G* (j<o) |
|
то есть /2 равно площади квадрата модуля |
Цш) ' |
G* |
5.Коррекция импульсных систем регулирования
Для улучшения динамических свойств импульсных систем можно воспользоваться методом непрерывной или импульс ной коррекции.
Непрерывная коррекция сводится к изменению непрерыв
ной части путем введения в нее внутренних связей.
Импульсная коррекция сводится к введению дополнитель ной импульсной цепи или так называемого импульсного фильт
ра, преобразующих по определенному закону входную после довательность импульсов в выходную.
Схема такого импульсного фильтра представлена на фиг. 36. Он состоит из последовательно соединенных элемен тов запаздывания, время запаздывания которых равно интер валу повторения, с которых с определенными коэффициентами веса снимаются сигналы и суммируются. Одна из сумм этих сигналов подается обратной связью на вход.
Передаточная функция импульсного фильтра равна:
,_ ?о + М~« + М-2Ч* -. . .4Л е~'я_____
д Q |
1-Но +“i е~’•+ajе~2,4- . . .-{-вр |
(84) |
||
ИЛИ |
|
|
|
|
f,. I |
, __ |
+ Рр_1 + • • |
• + W |
(85) |
д 7 |
% + %-i е’ 4- . . . |
-Ь (1 +а )evb |
||
Часть из коэффициентов здесь может быть равна нулю. |
|
|||
При включении импульсного фильтра в цепь межд] |
им- |
|||
пульсным элементом |
и непрерывной |
частью передаточная |
||
функция разомкнутой системы будет равна |
(86) |
|||
|
|
K'd(q}W*(q) |
|
|
и, значит, передаточная функция замкнутой системы может быть представлена в виде:
1\з \Q) —— |
a |
™ |
(87) |
|
^+K‘d\q)W^q) |
|
|
50