книги из ГПНТБ / Цыпкин Я.З. Лекции по теории автоматического регулирования. Элементы теории импульсного регулирования
.pdfW* (/co) через частотную характеристику ее линейной части
W (/«>)_ |
при различных значениях частоты. Поэтому |
||||
W* (/ш) |
может быть построена следующим |
образом. Рас |
|||
смотрим |
вначале |
выражение частотной |
характеристики |
||
*U7 (/<») |
для систем |
второго типа (48). Пусть частотная ха- |
|||
рактеристика линейной части |
|
||||
W (/®) имеет |
вид, |
показан |
|
||
ный на рис. 19а. Сплошная |
|
||||
кривая |
соответствует |
<в>0, |
|
||
а пунктирная |
кривая |
сим |
|
||
метрична ®<0. Задаваясь значением интервала регу лирования Тр, нанесем на
частотную характеристику ^вместо значений со значения
<о, исходя |
из соотношения |
<» = Тр . |
При изменении |
интервала регулирования Тр
оцифровка со будет изме няться.
Задаваясь теперь значе нием ® = W, < тс, отмечаем на частотной характеристи
ке линейной части W (/<«)
точки (фиг. 19 б).
Wj, Wj — 2тс, Wj—4тс, . . . , а>1-|-2'тг, (Dj-plTC, . . , и Т. Д.
Сумма векторов, приведенных из начала координат к этим точкам согласно (48), определяет значение искомой частот
ной характеристики *W (/«>) при о> = <»! (фиг. 196).
Эти векторы можно складывать не геометрически, а сум мировать отдельно действительные и мнимые части (фиг. 20),
смещенные на +2&л вдоль оси частот, как это показано на фиг. 21,_Жирными_линиями на фиг. 21а и б показаны значе
ния (*Ссо/ ) |
и V*(co). |
Величина W* (/со) находится по формуле |
||
|
U7* |
(>) = *U |
(®) + jV* |
(®) |
Так как при достаточно больших со модуль частотной ха |
||||
рактеристики линейной части |
W (/со) |
обычно стремится к |
||
31
Re
Фиг. 21.
ПЛ W (jai)
пл W*(JlS}
Фиг. 22.
32
нулю, то в сумме (48) можно ограничиться небольшим числом слагаемых, часто равных двум
*U7 |
= |
*U7 (>)+ |
- 2тг)]} |
(49) |
В этом |
случае |
построение W* |
(/ш) особенно просто |
|
(фиг. 22). В каждой точке о>1<тг частотной характеристики
линейной части системы |
W (/«>), |
как из |
начала |
координат, |
||||||
проводится вектор W [/ ((!>!—2тс)], |
как |
показано |
на фиг, 22. |
|||||||
Для систем |
импульсного |
регулирования первого вида от |
||||||||
личие в построении IF* |
(До), |
как видно из |
(47) состоит лишь |
|||||||
в повороте соответствующих векторов на углы |
|
|||||||||
— , |
„ , |
|
|
|
|
|
|
|
о 4- 2»# |
|
|
|
|
|
|
„ |
|
Sin----Л----_ г |
|||
е> |
— т и |
умножении |
|
|
|
|
2 |
,. |
||
-------- |
модулей на |
—=---------------- (k = |
||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
ш |
+ 2я£ |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
. |
<0 + 2л4 |
|
|
|
|
=0, 1, 2 . . . |
). Величина |
sin |
---- -------- 7 |
|
|
|||||
—=--------------- определяется по |
||||||||||
|
|
|
|
|
ш 4- 2пй |
|
|
|
||
|
sin у |
|
|
—2— 7 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
таблицам ■——. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Частотные характеристики замкнутой системы импульсно |
||||||||||
го регулирования К* 3 |
(/“») |
получаются |
из |
передаточных |
||||||
функций K3(g)* |
после замены в |
них q на /со. |
|
|||||||
Вводя нормированную частотную характеристику |
||||||||||
|
|
|
|
ч |
IF* (Л) |
|
|
|
||
|
|
U7* (/<«)-=---- |
|
|
|
|||||
где k—общий множитель, |
не зависящий |
от частоты. Запи> |
||||||||
шем выражения_для частотной характеристики замкнутой сис
темы при |
(/w) = 1 и К\ |
>)*(/> =№*(/©): |
|
К* 3'J ' |
1+^IF*(» |
|
К* |
(50) |
|
3t |
*1+AIF (/со) |
Так как частотные характеристики К* (/ш) и *W (/со) в этом случае связаны между собой однозначно, то легко по частотной
3—1869 |
33 |
характеристике ГР7* (/со) геометрически построить частотные
характеристики замкнутой системы/С-Д/ш), как это произво
дится в теории непрерывного регулирования. Из фиг. 23, на
|
|
которой |
изображена |
частотная |
||
|
|
характеристика 1^(/*а>), |
очевид |
|||
|
|
но, |
что |
для данного значения © |
||
|
|
|
*U7 |
(/ш) = об, |
— аю. |
|
|
|
Сумма этих векторов равна |
|
|||
|
|
об = ^4- ^6=-L |
W* (/ю) |
|||
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
Таким образом, при заданном зне |
||||
|
|
чении со |
|
|
|
|
... ! |
-т |
оо |
. ао |
• |
|
(51) |
|
= Z = |
|
||||
|
|
09 |
|
|
|
|
где ао и аб&- модули, |
а 0 |
и <р — фазы векторов ао и аб. |
Мо |
|||
дуль частотной характеристики Кз1(р>) замкнутой системы |
им |
|||||
пульсного регулирования равен отношению постоянного от резка ао к отрезку аб, а фаза равна углу между векторами
ао и аб. Из этого построения можно также получить вещест
венную и |
мнимую частотные характеристики. Так как |
|
|||||
|
|
IК* |
(/^)I* е-/ |
= в;(.■)4-/Л1;й |
|
||
ТО |
— |
—- |
ао COS Ф |
90 |
|
||
|
(52) |
||||||
В\ (.) = I *K at (J-) I соз f |
|
|
|
||||
|
— |
|
— |
ао sin • |
ов |
(53) |
|
сИ; (ю) = — | *К |
(/«>) | sin <р |
----------- ------- = —. |
|||||
Все эти построения почти без изменений остаются при вы |
|||||||
числении |
K* 3t (/w) |
по |
обратной |
частотной |
|
характеристике |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
*W (ju)
Частотные характеристики используются далее для ана лиза устойчивости и качества систем импульсного регулиро вания.
34
2. Устойчивость систем импульсного регулирования
Под устойчивостью системы понимают |
свойство ее воз |
||
вращаться к стационарному состоянию |
после прекращения |
||
возмущения, вызвавшего |
изменение этого состояния. В слу |
||
чае систем импульсного |
регулирования |
это |
свойство отно |
сится к рассматриваемым дискретным значениям некоторой величины (например, входной величины импульсного элемен та или выходной величины линейной части системы) в момент съема, описывающейся ступенчатой функцией.
Пусть решетчатая функция х[п]—хст [ п\ характеризует стационарное состояние системы импульсного регулирования первого или второго видов1. В частности хет[п] может быть постоянной. Если по какой-либо причине состояние системы
изменится, то после устранения этой |
причины х[п] |
изменится |
|
и будет равным |
|
|
|
х [л] = хсп [я] + [л]. |
|
||
Величина дх[п], характеризующая |
свободные |
колебания |
|
системы, может быть представлена в |
виде |
|
|
|
i |
|
|
8х [л] = |
d, e4tп. |
|
|
|
V=1 |
|
|
где d, — постоянные числа, |
a q-, — основные полюсы пере |
||
даточной функции замкнутой системы, то есть основные корни уравнения
*(<?) |
=1 + (7)*Г |
= 0. |
(54) |
||
Если представить W*(q) |
в виде |
|
|
|
|
|
|
*р («) |
|
|
|
то q* будут основными корнями уравнения |
|
||||
g(7)* |
= (9)4Q* -^(<7)= |
o, |
|
||
которое является аналогом |
характеристического |
уравнения. |
|||
Очевидно, система |
будет устойчива, |
если бх[п] |
с ростом |
||
t—n стремится к нулю, а для этого необходимо и достаточно,
чтобы все |
основные |
корни |
характеристического |
уравнения |
|
G*(q) —Q |
или, что |
то же, основные |
полюсы, передаточной |
||
функции замкнутой |
системы |
имели |
отрицательные действа- |
||
1 Далее, если не оговорено противное, |
рассматриваются |
только эти |
|||
системы, относящиеся к линейным системам. |
|
||||
3« |
|
|
|
|
35 |
тельные части или, иначе говоря, чтобы они лежали в левой части полосы —п^тс! < л (фиг. 24).
В отличие от теории непрерывного регулирования в тео рии импульсного регулирования, таким образом, роль левой
части плоскости корней играет левая часть полосы—л<4т</< <ir, Re</<0 (фиг. 24).
Так как основные полюсы IF*(<y) совпадают с полюсами
W(q), то мы приходим к заключению, что если линейная часть системы импульсного регулирования устойчива, то устойчива и сама разомкнутая система импульсного регулирования. Иначе говоря, добавление импульсного элемента к разомкну-
|
той |
системе |
|
непрерывного |
||
|
регулирования |
не изменяет |
||||
|
устойчивости. Это заключе |
|||||
|
ние физически очевидно.. |
|||||
|
Для исследования |
устой |
||||
|
чивости |
замкнутых |
систем |
|||
|
импульсного |
регулирования |
||||
|
применяются |
|
критерии ус |
|||
|
тойчивости, |
|
позволяющие |
|||
|
миновать |
громоздкую опе |
||||
Фиг. 24. |
рацию |
непосредственного |
||||
|
вычисления |
корней |
харак |
|||
Приведем формулировки |
теристического |
уравнения. |
||||
этих |
критериев |
|
устойчивости, |
|||
которые аналогичны критериям устойчивости систем непре рывного регулирования1.
Аналог критерия Рауса — Гурвица
Пусть
G* (q) = ate1^ -f- aj_i eU-O? -ф. . . y. — a^e<i -ф- at = 0. |
(55) |
|
Обозначим |
|
|
i |
|
|
n-c |
|
|
•■■+(- И*-’ ( 4-1 ) ( ' 1' )+<-»'(*)]. |
(56) |
|
,f p \ |
p! |
|
где ( k ) = -щ- |
------биномиальные коэффициенты. |
|
1 Доказательство этих критериев можно найти в книгах: Р. Ольден
бург |
и |
Г. |
Сарториус, |
Динамика автоматического регулирования, ГЭИ, |
1948; |
Я. |
3. |
Цыпкин, |
Теория импульсных систем, Физматгиз, 1959. |
36
Для того, чтобы система была устойчива, необходимо и
достаточно, чтобы выполнились условия
Ь0>0- ь^о,
ит. д.
Враскрытом виде Для Z=I
ь3 |
- м |
о л |
ю |
|
b0 b2 |
>0, |
о О |
ея |
>0 |
|
|
« |
« |
m |
эти. |
условия |
имеют |
вид: |
|
b3-=0-1—а0.
и, следовательно,
а»-|-а0>0, а1-а0>0.
Для Z—2
bf=2 (а2 а0),
b2 а2 — а2 Яд,
и, следовательно,
a»4"ai4-'ao>O a3—aQ>0
а,—Я14-Яо>О .
Для 1=3:
^о—азЧ~а2~1~а1~1~ао> bt=3 (а3—a0)-j-at—at, b2=3 (о3+^о)^а2—alt b3=a3—a2+a3—a0.
и, следовательно, после упрощений
аз ■b°24"ai+ao>O
Я0>0
аз~ао+а»ао—a3a»>0
Аналог критерия Михайлова
(57)
(58)
(59)
(60)
|
Подставим |
q= Ju> в многочлен *G (q), где ш=«>Тр. Тогда |
||||
*G |
(jw) = а,е1>ш 4~ ai—\ е<-1-,‘'>‘ш |
.+ Л1£/ш4- а0, |
(61) |
|||
U* |
(ш)=а[ cos Zw-}-az_i cos (Z— 1) *w-f |
■ • • |
+ai cos (U+ao |
(g2) |
||
V* |
(w)z=al sin Z(o-|-az_i sin (Z—1) a>-|- , |
. . |
-|-ai sin w |
|
||
действительная_и мнимая части *G |
(/и), *U |
(«>), и V* |
(«>), ji |
|||
значит, и *G |
являются периодическими_функциями «> |
|||||
и- |
полностью |
определяются изменением |
ш в интервале |
|||
37
При изменении ® в этом интервале вектор G(/a>)* описы вает своим концом кривую, которая называется характеристи ческой кривой или годографом. Для того, чтобы система им пульсного регулирования была устойчива, необходимо и доста
точно, чтобы при возрастании о> от 0 до л характеристическая
кривая, начинаясь с положи |
||||
тельной |
части |
действительной |
||
оси, последовательно обходила |
||||
21 квадрантов против |
часовой |
|||
стрелки, |
где I — степень харак |
|||
теристического уравнения, или, |
||||
что эквивалентно, |
если |
t/(co)* |
||
и V((o)* |
имеют |
в |
интервале |
|
—л<со < л/ вещественных и |
||||
перемежающихся корней и при |
||||
На фиг. |
25 приведен |
О *(0)>0,(/ |
*'(0)>0У |
. |
||
примерный вид характеристических |
||||||
кризых, |
соответствующих устойчивым |
системам для / = |
||||
=1, 2, 3, |
4. |
На фиг. 26 |
изображены |
характеристические |
||
Фиг. 26.
* То есть между двумя соседними корнями уравнения £/*(<■>) -»0 находится корень уравнения У*(ш) =0.
38-
кривые *G (Jvt>) и |
*U |
(ш) и V* |
(<d) |
для устойчивой и неустой |
||
чивой систем при 1=5. |
|
|
|
|||
Из рассмотрения характеристических кривых вытекают не |
||||||
обходимые условия устойчивости: |
|
|
||||
*О |
(0) = *U |
(0) = al -f- at-i 4* |
. . . -f- a, -ф- а0 > 0 |
|||
и |
|
(it) = (— l)z at |
|
L > 0 |
|
|
*G |
(Jit) = *U |
|
при четном / |
|||
4- (— 1)'“’ ai-i 4- |
♦ • • —• at+ao| < 0 |
при нечетном I |
||||
Приведенные |
формулировки |
критерия |
аналогичны 'изве |
|||
стному критерию Михайлова для систем непрерывного регу
лирования.
Аналог критерия Найквиста |
|
Если в передаточную функцию W*(q) |
подставить q=ja), |
где w=u> Тр —относительная частота гармонических колеба
ний, то получим частотную характеристику разомкнутой си стемы импульсного регулирования
|
W* |
(/ш) = Д* |
(ш) 4- */5 (ш), |
(63) |
где A* |
((d) и Б* |
(о»)—действительная и мнимая_части. |
При |
|
изменении ш от 0 до « конец вектора W* (/«>) описывает |
||||
кривую, |
которая |
называется |
годографом частотной харак |
|
теристики.
Предполагая, что разомкнутая система импульсного регу лирования устойчива, то есть что устойчива линейная часть системы, можно сформулировать критерий устойчивости сле дующим образом:
Система импульсного регулирования устойчива, если годог раф частотной характеристики не охватывает точку—1; /0.
На фиг. 27 изображены годографы частотной характери стики, соответствующие устойчивой (фиг. 27а) и неустойчивой
(фиг. 276) системам импульсного регулирования.
Если разомкнутая система импульсного регулирования ней
тральна, т. е. передаточная функция содержит s полюсов, рав* -
ных нулю, то формулировка критерия устойчивости останет ся без изменений; только при построении частотной характе ристики следует дополнить ее дугой бесконечно большого ра
диуса, соответствующей углу—s-j- (фиг. 28). Кривая 1 соот
ветствует устойчивой замкнутой системе, кривая 2—неустойчи
вей.
39
Наконец, если разомкнутая система импульсного регули рования неустойчива, то есть передаточная функция линейной части системы имеет s полюсов с положительной действитель ной частью, то:
система импульсного регулирования будет устойчива если годограф частотной характеристики охватывает точку—1; /О
в положительном направлении (то есть против часовой стрел ки) s/2 раз. При s—0 мы приходим к предыдущей формули
ровке.
Отметим, что для нормированной частотной характери стики роль точки —1;/0 играет точка---- /0.
Частотная характеристика не нормированная (]&)№* |
или |
||
нормированная IF* (/со) вычисляется по приведенным выше |
|||
формулам аналитически или |
графически, |
исходя из |
частот |
ной характеристики линейной |
части, как |
это было |
описано |
на стр. 30—33. |
|
|
|
40