книги из ГПНТБ / Цыпкин Я.З. Лекции по теории автоматического регулирования. Элементы теории импульсного регулирования

Здесь решетчатая функция г [п — т\

соответствует

г (t — т)

при

t = п.

Отметим, что

при т = п

г [п. — т\ = г [0] = h (0).

(10)

Подвергая обе части (9) дискретному

преобразованию

Лапласа

(то есть умножая обе части

его

нае"9" и суммируя

обозначая:

(Н)

D

получаем фундаментальное соотношение между

изображе­

=

(!2)

Величину *(q),W

представляющую собой

отношение изобра­

жения выходной

переменной к входной,

по аналогии с си­

Передаточная функция (</),№*

как это следует из (11),

ОО

*Й7 (q) = ka J г [л] е~«п

(13)

л-0

или, если принять, что обычно

г [0] = h (0) = 0;

тогда получим

IT*(?)=£

HS г\п\е-ча.

(14)

Л-1

Рассмотрим теперь

системы

импульсного

регулирования

второго вида.

В этом случае

h (t — tn)

-

при tn < t < т +• ут

(15)

г (t — т) =

_

_•

где

И] |

(16)

«

момент времени t=n на основании

принципа суперпозиции

(фиг. 15) будет равна

п

х,ых Н = ka

S sign хвх [m] -г [п — т\,

(17)

т—0

где

— 1

При

хвх [/п]

< 0

sign хвх И

(18)

=

при

хвх [/п]

> О

+ 1

Далее мы будем предполагать, что

т/п = х| хвХ [/п] |

< 1,

(19)

после разложения h. (t — т — ?„) в

ряд по ут и удержания

лишь первой степени

г (t — т) — h (£ — tn) — h (t — tn —

=: т^-А/ {t — m) (20)

п

х,ыЯ [«] =

S Х,х рп] - А/ \п - т].

(21)

т=0

Сопоставляя (21)

с

(9), заключаем, что при условии

(19)

системы второго

вида

эквивалентны системам первого

типа

зультатов

для

систем

импульсного

регулирования

первого

вида при

1

и замене у на х.

Этим обстоятельством мы

далее и

воспользуемся.

функции

W(q),*

опреде­

Для

вычисления передаточной

ляемой формулой (14),

найдем вначале

г (0 = h (Г) — h (F— у).

(22)

Так как

_

Р(0)

V

укч

е

a

t

•

‘23>

* W = -W + .-I

1

то

I

1-е-^Т

-

P(q4)

.

(24)

___——

--------------

Q (7,)

V '

V"S1

док суммирования после

элементарных

вычислений и при­

менения формулы

суммы геометрической

прогрессии,

по­

лучаем

(25)

где

1-1

1-е"’’т

r _ Р(7,)

(26)

Q' (<7,)

я, >

•

А = Аиу.

Если один из корней,

например

,

равен нулю, то сла-

гаемое, соответствующее

v ~1

должно

быть заменено

на

Р(7/) 1-е-?п

е<и

_

Р(0)

1

(27)

Л <?'(?,)’ 4tt

'

e4-eqi

~~

Q' (0)

’в»-!’

Если для систем второго вида, согласно сказанному выше,

сохраняется выражение

(25), то теперь

при

W(q)-e~^,

(29)

где

----- относительное время запаздывания.

О при

(30)

гх (t) =

г (t — т) при

t > г

лучим выражения для *(q);W

в этом случае при

k — 1 < т

k — у

i

W^(?)=*X

,

(31)

где С, определяются

выражениями

(26)

или (28),

или,

при

k — у < т < ft,

i

( (Я-рЯ-* U—т)

1

-г

S

(32)

с,

(------—----- г*«;

•>-1

Р(яч)

(33)

Q'(?,)•?,

’

Заметим, если

<77=0,

то слагаемые,

входящие

в

(32),

при v=l после раскрытия

неопределенности будут иметь вид

Р(0)

(

,

-

1—7

)

(З4)

Q’

(0)

{

(^

~ х) — еЯ—1

}

Таким образом для

систем импульсного регулирования

первого

и второго видов уравнение

разомкнутой

системы

равно

(39)

Для систем импульсного регулирования третьего вида урав­

нение разомкнутой системы запишется аналогично

(<?) =

{ Ф (хвх [«])},

(40)

где Ф(

-£eJr)—релейная

характеристика

(фиг. 16),

a *W(q)

—1

Фиг. 16.

Фиг. 17.

гулирования W(q)* .

Как видно из приведенных выше выраже­

ний, W*(q)

является функцией еч.

Так как еч+2™й =^ечг то W* (q -/n/)*f-2

= *(q),W

то есть

Я7* (<?) является

периодической

функцией

вдоль

мнимой

оси плоскости q.

Вследствие этого *(<7)1Г

имеет I полюсов е9-» и

бесчислен­

ное множество полюсов q, отличающихся от q-,

на

+2лт/.

Назовем

полюсы,

расположенные

в

полосе

—л<//п<7 <

W*

(а)

(41)

Если значение Х* вых

из

(41)

подставить в

(6), то получим

уравнение относительно

входной

переменной импульсного

элемента (сигнала управления)

*?/<?) ~ 1

(q)

Л) (^)-

(42)

Уравнение относительно изображения любой величины ли­

нейной части системы, например А* '

1 (q), легко

найти, опреде-

Ллосюсть д

Действительная

ось

-аг

Фиг.

18.

лив передаточную функцию

Кх

(q),

соответствующую участку

w =

<»>

(43)

При */С (<у) = W* (q) или

(q) — 1 мы приходим к

пре­

третьего типа

получим после подстановки в (40) значения

из (4)

или Хвых (q) из (6):

х:.. w) =

[«] - i"i)i

(«)

или

№ {Ф [х,х [«]] }

(46)

=

мы и подстановкой р = 1Р привести ее к

безразмерной пе-

ременной q. Тогда

2. По этой передаточной функции

определить пере­

разом по /С1(<?)

определяется KA(q)* .

3. Подставить

*И(<?)/

в соответствующие тому или иному

типу систем уравнения (41), (42), (45), (46) [или (43)].

Приведенные

уравнения описывают процессы в моменты

дем

останавливаться.

Если в

выражения передаточных

функций

разомкнутой

W*(q)

или

замкнутом №% (т) систем

импульсного

регулирова­

Для

построения частотной

характеристики

разомкнутой

системы

импульсного регулирования U7*(/co)

можно восполь­

зоваться выражениями как (37)

или (38), так и

(25). Во мно­

лагая

в них

получим после простых

преобразований

выражения для

частотных

характеристик

(/<») = *

S

w у («> + 2кА)]

------X

ks —оо

«о 4-

~

-------------------— 7

X е~

Т,

(47)

если система первого вида и

ОО

ЯШ(“> + 2^)],

(48)

W* (>) =k

S

—ОО

если система второго вида.

характери­

Формулы (47) и (48) определяют частотную

стику

разомкнутой

системы,

импульсного

регулирования