книги из ГПНТБ / Поляхов Н.Н. Теория нестационарных движений несущей поверхности

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ А. А. ЖДАНОВА

Н. Н. поляхов

ТЕОРИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ

НЕСУЩЕЙ ПОВЕРХНОСТИ

ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛЕНИНГРАДСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

1 9 6 0

ВВЕДЕНИЕ

Кирхгофф [1], а также Томсон и Тэт [2] по-видимому впервые поставили и частично разрешили задачу о неустановившемся движении твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости. Ими была установлена структура потенциала ско­ ростей возмущенного движения жидкости, вызываемого телом, и получены выражения для сил и моментов, действующих со стороны жидкости на это тело. Указанные авторы рассматри­ вали случаи только однозначного потенциала так, что цирку­ ляционный поток около движущегося тела отсутствовал.

Кирхгофф показал, что потенциал возмущенного движения жидкости, вызванного движущимся в ней телом, может быть представлен в виде

ражениях для сил имеют размерность массы и потому называются присоединенными массами. Точно так же множители, стоящие в выражении моментов при величинах, имеющих размерность углового ускорения, называются присоединенными моментами инерции. Как присоединенные массы, так и при­ соединенные моменты инерции зависят только от геометрической

3

формы тела. Вычисление их довольно громоздко, но для некоторого вида тел, например для эллипсоида, доводится до элементарных формул.

В1922 г. Прандтль [3] сформулировал для плоскости задачу

онеустановившемся движении профиля при переменной циркуляции, указав, что в этом случае позади профиля должен

решение этой задачи Прандтль охарактеризовал как задачу безнадежной трудности.

Первое приближенное решение задачи было дано в 1924 г. Бирнбаумом, [4] который рассмотрел бесконечно тонкую слабо изогнутую пластинку, движущуюся с постоянной скоростью U вдоль оси х и совершающую гармонические колебания в на­ правлении оси у и вращательные гармонические колебания около начала координат. Считая, что амплитуды колебания весьма малы, Бирнбаум предположил, что вихревой след

щая сила.

Для того, чтобы формулы для X и Y имели указанный вид, Бирнбауму приходилось предположить, что непосредственно около бесконечно тонкого профиля, кроме присоединенных вихрей, существуют еще свободные вихри с некоторой плот­ ностью s. Эту плотность следует определить так, чтобы удовлетворялись основные уравнения гидромеханики. Так как в относительном движении полная нормальная к профилю скорость равна нулю, то для относительной скорости касатель­ ной к профилю сверху и снизу от него получим

4

Потребовав, чтобы силовые воздействия на профиль были связаны только с присоединенными вихрями, подчиним плот­ ность е условию

тогда получим (II), откуда вытекают формулы d X = pv*rids,

dY= pu*v\ds.

Для слабо изогнутого профиля, имеющего малый угол атаки, можно принять

ds ^ d x , V * z z U = const, v* = v' — v,

где v — постоянная скорость, И потому получим

5

Y = p[ j +f ridx = ?UTi],

V

где a = — — есть мгновенный угол атаки.

Уравнение (III) примет при этом вид

или

rfe _ _дг\ (х, t)

Таким образом, для любого момента времени t изменение плотности присоединенного вихря равно (с обратным знаком) изменению плотности свободного. Так как в относительном движении присоединенный вихрь неподвижен, а свободные движутся с относительной скоростью U, то свободный вихрь будет последовательно проходить мимо присоединенных, начи­ ная от передней кромки. Если к моменту времени t свободный вихрь имеет координату х, то это значит, что от некоторого присоединенного вихря т] с координатой х ' он удалился на расстояние х — х', затратив на это перемещение время

Отсюда следует, что

И

X

в(х, t) = — ~ j^ T j (V, t — x- ~ ^ d x ' .

—a

После того как свободный вихрь прошел заднюю кромку, его интенсивность на расстоянии £ от начала координат для момента времени t будет равна

Заметим, что в абсолютном движении вихри следа непод­ вижны, а пластинка движется вдоль оси х со скоростью U.

Условие непроницаемости контура будет иметь вид

6

на касательной к линии профиля к оси х г; v x— индуктивная скорость, вызываемая свободными вихрями.

Бирнбаум решил это уравнение для случая гармонических колебаний, но решение его весьма громоздко.

В дальнейшем усовершенствованию решения Бирнбаума был посвящен ряд работ Кюсснера, которые позволили значи­ тельно продвинуть вперед задачу о нестационарном движении крыла.

Весьма интересной работой оказалась вышедшая в 1925 г. работа Вагнера [5], который рассматривал случай прямолиней­ ного неустановившегося движения пластинки, наметив в конце работы некоторые соображения относительно случая ее вра­ щения. Он изучает обтекание прямолинейной пластинки поступательным потоком и потоком, вызываемым вихревым следом. Применяя способ конформного отображения и выполняя

достигая постоянного значения за малый промежуток времени, остается далее постоянной и б) в случае равноускоренного движения, которое началось из состояния покоя.

Общие выражения для сил и моментов Вагнер устанавли­ вает на основе теоремы импульсов и теоремы моментов. В случае неизогнутой пластинки, для которой им было изучено обтекание, вызываемое вихревым следом, Вагнер получает следующие выражения для нормальной силы и момента отно­ сительно середины

где v„ = К» sin а есть относительная скорость, перпендику­ лярная пластинке и равная (с обратным знаком) скорости перемещения пластинки vc в направлении оси у. Из формулы (VII) видно, что

V = Y k + y s,

М = Mk + Ms,

7

где индексом k отмечены величины, относящиеся к движению

вотсутствии следа, т. е. к квазистационарному движению.

В1926 г. С. А. Чаплыгин [6] устанавливает общие формулы для сил и моментов, которые действуют на плоскую фигуру, движущуюся в идеальной несжимаемой жидкости произволь­ ным образом. С. А. Чаплыгин вводит систему координат х, у, неизменно связанную с плоской фигурой, и предполагает, что она движется поступательно с некоторой скоростью Vc и вра­ щается вокруг начала координат с угловой скоростью <•>. Воспользовавшись интегралом Лагранжа — Коши для абсолют­ ного движения жидкости и преобразовав его так, чтобы в него явно входил квадрат полной относительной скорости, С. А. Чап­ лыгин для главного вектора сил давления получает следующее выражение:

Л = F — Fn,

причем F — потенциал возмущенного движения жидкости, а

А„ = (ис— ivc) z.

Для момента С. А. Чаплыгин получает выражение

+ pS (x v c— уис) + pSco (хис+ y v c) — 2р®/0. (IX)

Несколько позднее аналогичные формулы были получены Карафоли [7] (1928 г.) и Глауэртом [8] (1929 г.). Существует мнение, что формулы С. А. Чаплыгина установлены для случая постоянной циркуляции. Мнение это совершенно оши­

8