книги из ГПНТБ / Поляхов Н.Н. Теория нестационарных движений несущей поверхности

Если пластинка вращается не вокруг своей середины, а от­ носительно произвольного центра 0 (рис. 3), то в этом случае можно считать, что движение состоит из поступательного движения со скоростью Vc, равной W?0, и вращения около середины с угловой скоростью w < 0. Отсюда вытекает, что

l / = ( l / csinacos0 + f cos +

Если потребовать, чтобы скорость на левом конце была ко­ нечна, получим

В случае, когда передний конец обращен в сторону вог­ нутости, в полученной формуле следует а заменить на — а. Предыдущую формулу удобно написать в виде

а)1\

Sln0t — 4 ^ ) ’

где

I — 2а.

При малых углах имеем:

Г = kIVc(a - ’ao).

где

____ l_

— 4tfo ‘

Такой формулой выражается циркуляция около профиля, движу­ щегося поступательно со скоростью Vc и имеющего угол атаки нулевой подъемной силы, равной а0.

§ 2. Случай движения с переменной циркуляцией

Если на движущийся профиль наложена циркуляция, изме­ няющаяся с течением времени, то позади этого профиля должен образовываться так называе­ мый вихревой след, представ­ ляющий собой систему вих­ рей, оси которых перпендику­ лярны плоскости движения.

Действительно, представим се­ бе, что перед движущимся про­ филем находится некоторый контур С (рис. 4). Циркуля­ ция по этому контуру будет равна нулю, так как в жид­

кости, по предположению, отсутствуют вихри. Представим себе, далее, что при своем движении профиль входит в сопри­ косновение с контуром С, который деформируется и принимает форму habcdefh, изображенную на рис. 5а.

Так как циркуляция Г0 по контуру С равна нулю, то

Если предположить, что непосредственно за задней кромкой точки h и b совпадают, то циркуляция ТНаь будет являться циркуляцией вокруг профиля, которую мы обозначим через Г. Таким образом, получим, что

г + г 1= о,

где

Tj = ^'balefh-

При дальнейшем движениии профиля контур hab перейдет в некоторый контур hh'ab'b, и предыдущее равенство перейдет

вследующее (рис. 56):

Г+ 8Г + Г, + Гх= О,

где ST есть приращение циркуляции Г, а

1 s ~ Г tih’bb' ■

Циркуляция г ь взятая по контуру bcdefh, при этом не изме­ нится, так как для этого контура должна выполняться теорема Томсона, а потому будем иметь:

г* = - гг.

Из этого равенства видно, что если циркуляция вокруг взятого профиля изменяется в процессе движения, то в области hh'b'b

эквивалентную системе непрерывно распределенных по ней точечных вихрей (рис. 6). Найдем плотность этих вихрей. Предположим, что циркуляция Г получила бесконечно малое приращение dT за промежуток времени dt, в течение которого

20

задняя кромка профиля прошла расстояние, равное ds, тогда плотностью вихревого слоя будет называться величина

В дальнейшем, имея в виду некоторое упрощение задачи, мы будем предполагать, что в неподвижной системе отсчета вихри следа остаются неподвижными, а их плотность f — неиз­ менной.

§ 3. О силах, действующих на плоский контур при нестационарном движении

Чтобы определить силы, действующие на плоскую фигуру при нестационарном движении, необходимо сначала установить выражения для гидродинамического давления р, имеющего место в точках этой фигуры.

Воспользовавшись интегралом Лагранжа, для случая от­ сутствия массовых сил получим

где V — скорость абсолютного возмущенного движения жидко­ сти. Считая, что жидкость в бесконечном удалении от тела не возмущена, получим, что функция f ( t ) приводится к по-

Р

стоянной — . Таким образом, будем иметь:

Потенциал Ф0абсолютного возмущенного движения жидкости

21

Но

X — — ^ р dy — —pj \{ис — соу) и + (г>с 4- сох) г»] dy

+ 1 | ( и 2+ ^ + 2 ^ ) с / у .

L

( 6)

У= J pdx —р | [(ис — о>у) и -(- (^с + шх) -и] dx —

д'Ф

Тj ( n 2+ ^ + 2 ^ W x ,

где

иинтегралы берутся по контуру плоской фигуры. Замечая, что

=U dx + ^ dy = — -nafx + мс7у

22

и принимая во внимание, что на контуре выполняется условие

dW = (ис —- му) dy — (vc -f шх) dx,

получаем

(ис —- шу) dy = (vc + ил:) dx — vdx -f- udy

Если подставить эти выражения в формулы (6), то будем иметь:

X = — pvc Г — реи J х 8ф + -J J [(-ц2— и3) dy + 2uvdx\ -f-

и, следовательно, интеграл

Г = j* (udx + v dy) — j 8Ф

есть циркуляция но контуру плоской фигуры. Первые слага­ емые написанных формул представляют собой проекции силы pTVc (силы Н. Е. Жуковского) на оси подвижной системы ху. Направление этой силы получается путем поворота направления скорости поступательного движения плоской фигуры Vc на прямой угол в сторону циркуляции.

Вторые слагаемые полученных формул представляют собой силы, связанные только с вращением фигуры. Следует отме­ тить, что эти силы существуют даже тогда, когда циркуляция Г равна нулю. Действительно, известно, что конформное отобра­ жение внешности круга радиуса R на внешность плоской фи­ гуры дается формулой

л—О

23

при этом круг считается лежащим в плоскости С- Для контура плоской фигуры будем иметь:

Хог = — р«>Г J х йФ± = — рош0Г

L

( 10)

= — р«>Г J у йФ± = — ртЬ0Г

L

Откуда полная сила /?шг будет выражаться формулой

Rmг = ршГ У а 2+ Ь\ = рГа)с0.

Выражения типа

J хйФь ^ y d Ф,- (i= 1, 2, 3),

L L

вообще говоря, неравны нулю, что приводит к наличию силы R„ даже в случае, если Г равно нулю.

Интересно также отметить, что сила /?шг обращается в нуль при наличии циркуляции, если фигура вращается вокруг центра, для которого а0 и Ь0 равны нулю. Все изложенное хорошо иллюстрируется на примере эллипса. Предположим, что Ф5 равно нулю, в этом случае имеем:

Ф1= — b cos 6, Ф2= — a sin 0, Ф5 = — j (а2 — b3) sin 20

х = a cos б, у = Ъsin 0, а0 = b0 — 0.

Отсюда следует, что /?шг равно нулю и

Ха = — р« J jc ^Ф = «pm a2 vc,

L

= — ро> [у йФ = — -кра) Ь%ис.

L

В частности, для пластинки получим

X a = pKmcPvc\ Уа = 0.

24

Силы Н. Е. Жуковского в этом случае, при постоянной во времени циркуляции, будут

X j — — рГ vc — pv2c 2~а — гжша*ъс, Yj — рГ ис ~ — рucvc2ка -)- р7гю агис.

Переходим теперь к оценке других слагаемых. Рассмотрим

Очевидно, что величины т-^ имеют размерность массы и потому могут быть названы „присоединенными" массами. Не­ трудно видеть, что силы Х т и Ym обращаются в нуль при равномерном движении тела и совершенно не зависят от цирку­ ляции Г. В частности, для эллипса

Ф, = — bcos6, Ф2= — a sin6, Ф3= — а ~ b■sin 26,

dx — — a sin 6db, dy = b cos 6db,

следовательно,

mn = — p J Фidy — pb1J cos'2bdb — ръ b2,

= P j*Ф2dx = pa2j" sin26db = ртш*

ml2= m13= mn = mK = 0.

25

§ 4. Исследование сил, связанных с вихревым следом

и входящие в формулы (7). Покажем, что силы, выражаемые этими интегралами, носят характер индуктивных сил. Будем предполагать, что вихревой след, сходящий с острого конца профиля, представляет собой линию разрыва тангенциальных скоростей. Вводя натуральную систему координат, оси которой направлены по касательной и нормали к линии следа (рис. 8),

получим

и — iv — (vt —i v n)

26

Рассмотрим интеграл

I = \ (и — iv)%dz,

i

взятый по замкнутому контуру I (рис. 8). Этот контур будем мыслить состоящим из контура АВС самого профиля, из уча­ стка CD, ^идущего по следу с верхней его стороны, участка

Рис. 8.

DE, где следа нет, окружности EGF, радиус которой можно взять сколь угодно большим, участка FH, совпадающего с ED, и, наконец, участка НА, идущего по следу с нижней его сто­ роны. Так как внутри контура ABCDEGFHA нет никаких особенностей, то

1\{1) = ГЦАВС) + / (CD) + Г/(£>£)Ж / (EGF) + / (FH) + / (НА)= 0.

Но интегралы, взятые вдоль DE и FH, друг друга уничтожат, так как вдоль DE скорость, а следовательно, и подынтеграль­ ная функция не терпит разрыва. Интеграл по окружности EGF будет стремиться к нулю при неограниченном возрастании ее радиуса и предположении, что скорость возмущения имеет на

2Т

I (ABC) — j (u — iv y dz = — J (a — iv )2cfz — j (« — ivy dz =

нормальные составляющие скорости не терпят разрыва, получим

2 К в + ^/я); < =

суть скорости на самом следе. Переходя к проекциям и и v > получим

I (АВС) = —2 J х(«* — iv*) ds,

CD

так как

и* — iv* — (v* — iv*n) e~ib и dz — dsem.

На основании изложенного выражение для силы

причем точка D может мыслиться лежащей сколь угодно далеко.

28