книги из ГПНТБ / Поляхов Н.Н. Теория нестационарных движений несущей поверхности

Ti^i

V,

x t — х.

где "fi = K0(xl, \ ) у . Отсюда видно, что при большом, но ко­ нечном удлинении влияние вихревого следа эквивалентно влия­ нию вихревого следа с плот­ ностью у,, получающегося у крыла бесконечного удлинения.

Выясним теперь величину и

направление скорости Vi, соз­ даваемой свободными продоль­ ными вихрями. Будем считать, что углы атаки малы и, сле­ довательно, можно предполо­ жить, что указанные вихри со­ впадают с плоскостью плас­

тинки, и скорость Vi перпен­ дикулярна ей. Особенностью рассматриваемой нами задачи является то, что циркуляция Г свободного бокового продоль­ ного вихря должна изменяться

вдоль него, т. е. этот вихрь должен быть вихрем с перемен­ ной циркуляцией. Это обстоятельство следует из того, что вводимые нами присоединенные вихри у„ (■*!, t) должны в каж­ дый заданный момент времени образовывать с свободными вих­

69

Так как циркуляция Г изменяется во времени, то позади зад­

вида и образуют пелену свободных поперечных вихрей, с ко­ торой мы встречались в случае пластинки бесконечного разма­ ха, движущейся нестационарно.

Участок свободного бокового вихря с циркуляцией Г(^, Xj), тянущийся от задней кромки до бесконечности, будет вызы­ вать в точке N' с координатами х ', 0, z' скорость

СО

4к J [(*;-*!)* + О * -г ')’]*'*

a

(83)

Второй концевой вихрь даст скорость

70

1 +

хг—а

Вслучае гармонического колебания пластинки, как и i случае бесконечного размаха, можно положить

Г - Г * « ' "+г„.

откуда

х . —х-

71

о

Участки свободных вихрей, тянущиеся от — а до + а и обладающие циркуляцией Г (Xj, t ) f дадут в точке N' сечения

z' — 0 скорость

Ч-Л

Дг'/о =

На основании теоремы о среднем получим

где Гт есть некоторое среднее значение Г (Xj, t). При больших удлинениях величина Дт^о будет иметь значение, близкое к

_ Jj »JL

2ка

небрегает и влиянием добавочной скорости Дг/г-, которая

72

ний для отказа от них. При этих условиях уравнение непро­ ницаемости пластинки можно записать в виде

В соответствии с этим можно утверждать, что полная цир­ куляция Г может быть представлена в виде

Г = Г£ + Г' + Гг-.

Величину мы находить умеем. Найдем теперь Г' и Гг-. Первая из этих величин определяется совершенно так же, как

В случае гармонических колебаний в направлении, перпенди­ кулярном плоскости пластинки, для полной комплексной цир­ куляции получим'

Г =—iaF*eM-eh j К0fo, X,) e~hx- ** + 1 —1jdxv (89)

Наконец, величина Ггнайдется по формуле типа формулы (70), в которую следует добавочно ввести слагаемое

• 2aVc ^ Даг(1 — cosb')db',

где

Г * рМ

Таким образом, будет иметь:

Г/ = — eMF0(a, Х2) — f-0

Л1

Собирая вместе все найденные циркуляции, получим

7а

откуда

где

Ех

1

Определение действительной части Г*, которое может интересовать нас при решении конкретных задач, не пред­ ставляет труда, если заранее подсчитаны величины C\S\, Лх и Дх, зависящие от удлинения Xj и параметра а. Таким образом, циркуляция Г, постоянная по размаху пластинки, определяется просто. Заметим, однако, что если бы мы начали строить такую пластинку с постоянной циркуляцией, согласно форму­ лам (90), то она получилась бы перекрученной, причем

ворить уравнению непроницаемости при z' Ф 0, необходимо определить угол а из формулы (87), т. е. взять его в виде

(93)

74

откуда и следует, что пластинка будет перекручена. Если мы хотим, чтобы она была не перекручена, мы должны предпо­ ложить, что 7П есть функция не только от х х но и z ', т. е. мы приходим к пластинке с переменной циркуляцией.

§ 13. Пластинка с переменной циркуляцией по размаху

Будем считать пластинку по-прежнему прямоугольной и попробуем удовлетворить основному условию непроницаемости, взяв плотность вихрей fn в виде 7п = /(z)-Tm (Xj), где f ( z ) есть безразмерная функция, на которую мы наложим обычное условие для случая конечного размаха, а именно условие, что /( г ) обращается в нуль на концах, т. е. при z — ± L . Совер­ шенно очевидно, что циркуляция около какого-либо сечения пластинки будет выражаться формулой

Г = /(* ) J Тот (-*i) d x x —f (z)’Tm.

Если пластинка имеет большое удлинение, то мы можем исходить из предположения, что скорость, вызываемая в точке

x v 0 сечения z' вихрем, который проходит через точку N,

будет такая же, какую вызывает в этой точке вихрь, который имеет постоянную по размаху циркуляцию, равную Гm-f(z'). При этом предположении получим

— a

Переходим теперь к установлению скорости, вызываемой свободными продольными вихрями. Продольный вихрь, кото­ рый начинается (см. рис. 16) в точке (Xj, 0) сечения z и яв­ ляется как бы продолжением присоединенного вихря, обладаю­ щего циркуляцией YnC*i, z ) d x u имеет циркуляцию

Циркуляция свободного продольного вихря, тянущегося вдоль прямой у = 0, z = const, будет изменяться вдоль его длины и равняться при — а < хх < а

75

Непосредственно за задней кромкой циркуляция продоль­ ного вихря будет

При большом удлинении X мы пренебрежем влиянием продольных вихрей, имеющих протяженность от — я до + а, а также пренебрежем в этом же промежутке изменениями индуктивной скорости, вызываемой свободными, продольными вихрями и вычислим индуктивную скорость в точке N' (а, 0, г'). Для этой скорости будем иметь:

dvi

rfF (xlt z, t) (z — z') dxx _

' 4tc j [(„_*,)* + (* -z ')2]3/2 “

Полная скорость Vi будет тогда выражаться формулой

76

С в о б о д н ы е п о п е р е ч н ы е в и х р и в р а ссм а т р и в а ем о м н ам и с л у ­ ч а е б у д у т т а к ж е и м ет ь п е р е м е н н у ю в д о л ь с в о е г о р а зм а х а

77

Если бы циркуляция была распределена по пластинке согласно закону полуэллипса, то мы имели бы

/ ( g ) _ / - ( f )1

/Р О

/ - 0 ’ '

или же, полагая, что z = — L cos®, получим

/ ( г ) _ sin <р

В более общем случае распределения циркуляции мы будем иметь:

/( z ) = ^] Ап sin 1щ

Т1—\

и, следовательно,

78