книги из ГПНТБ / Поляхов Н.Н. Теория нестационарных движений несущей поверхности

(силы Н. Е. Жуковского) и слагаемые, содержащие линейным

вает формулы, аналогичные формулам С. А. Чаплыгина, опубликовал работу, которую он сам характеризует как применение работы Вагнера к случаю гармонического коле­

Считая, что вихревой след есть продолжение пластинки н простирается до бесконечности, он получает обобщенные результаты Вагнера в виде:

силы, действующей на пластинку, но при этом не точно учитывает влияние следа.

Работы С. А. Чаплыгина, Вагнера и Глауэрта представляли собой значительное достижение в области нестационарной теории крыла. Если С. А. Чаплыгин установил общие формулы для силы и момента, но ограничился при рассмотрении при­ меров лишь случаем постоянной циркуляции, то Вагнер и

молинейного движения и малых колебаний около состояния прямолинейного движения.

Теория нестационарного движения пластинки с переменной циркуляцией в постановке Вагнера и Глауэрта с некоторыми небольшими дополнениями (введение так называемых обоб­ щенных сил, выражение некоторых интегралов, встречавшихся

9

у Глауэрта, через функции Бесселя, анализ подсасывающей 'силы и некоторые другие вопросы) было дано Бюргерсом и Карманом в 1935 г. [9]. В 1935 г. также появилась работа М. В. Келдыша и М. А. Лаврентьева [10], посвященная теории колеблющейся пластинки с переменной циркуляцией. Авторы шли путем иным, чем Глауэрт, и получили для добавочной

действующих на нестационарно движущийся профиль и выражает

вихревого следа, т. е. задней кромки профиля, а звездочка указывает на сопряженную величину.

Ft = F — Fn = F — Viz

и произвести некоторые тождественные преобразования. Так для силы получим

X + i Y = i ( Y - iX) = i { Y + iX)* = j ( j zJ d z J +

10

Точки В и А лежат сверху и снизу от вихревого следа не­ посредственно за задней кромкой профиля, и, следовательно,

Так как

dW = ucdy — v cdx — да (xalx + ydy),

то

р12( ж + i(odW) = Р5 1/с -f- i<*)Z "Т /со \ ^ -|- ivaZ

Это выражение равно по величине и противоположно по знаку сумме двух последних слагаемых в формуле для X + iY.

где a — вектор записанный, как комплексное число, получим формулу (XII). Точно так же можно получить и формулу для М. Л. И. Седовым были также даны формулы для присоеди­ ненных масс и вычислены коэффициенты присоединенных масс для крыла Н. Е. Жуковского. В случае постоянной цир­ куляции Л. И. Седов показал, что

X + iY = X 0 + iY 0 + iPr W k,

Л1 = Л10нRe [— гл0*

где X 0A-iY0 и М 0 соответствуют движению без циркуляции,.

В 1936 г. [12] и более подробно в 1939 г. [13] Л. И. Седов рассмо­ трел случай неустановившегося движения бесконечно тонкого, мало изогнутого крыла, которое в первом приближении может быть заменено прямолинейным отрезком, который является ли­ нией разрыва скоростей и давлений. Вихревой след с плотностью

1 dY'

вихрей f = —— -j будет представлять собой как бы продолжение

п

этого отрезка. Используя аппарат интеграла Коши, Л. И. Седов получает формулу для силы Y и момента М, а также инте­ гральное уравнение Вагнера — Глауэрта (VI), (XI) для опреде­ ления f.

Первые слагаемые в выражениях для Y и М представляют собой силу и - момент, которые получились бы при квазистадионарном рассмотрении, когда отсутствует вихревой след,

Mk выражаются интегралами, которые содержат под своим знаком нормальную составляющую Vn скорости на профиле. Эта скорость определяется формой крыла и условиями его движения и может считаться заданной величиной.

В 1938 г. Карман и Сирс [14] опубликовали работу, являю­ щуюся вихревой теорией бесконечно тонкого, мало изогну­ того профиля, который заменяется прямолинейным вихревым

импульсов и теорему моментов, приходят к формулам для силы Y и момента М, которые имеют вид

а

Следует заметить, что определение Y^ и М^ не представ­ ляет трудностей и для нахождения их, нет надобности пере­ ходить к теории тонкого профиля. Главной задачей теории нестационарного движения с переменной циркуляцией является как раз определение тех дополнительных сил и моментов, которые связаны с потоком, создаваемым вихревым следом.

12

Что касается последних, то для них теория тонкого профиля ничего не дает, кроме слагаемых Вагнера. Этот результат можно было предвидеть заранее, так как след, являющийся лродолжением хорды профиля, вызывает на контуре в первом приближении нормальные скорости такие же, как и на хорде, и, следовательно, в выражение для этих скоростей не будет входить кривизна профиля.

Всвоей работе Карман и Сирс решают задачу Глауэрта о гармонически колеблющейся пластинке и путем использования так называемой функции Теодорсена придают решению Глау­ эрта более компактный вид, удобный для вычислений.

В1947 г. появилась монография А. И. Некрасова [15f „Теория крыла в нестационарном потоке", в которой автор

также работы Кюсснера и Чикала для случая крыла конечного размаха. В монографии рассматриваются, кроме того, случаи апериодического движения и влияние сжимаемости (метод Поссио). Эта очень хорошая и полезная для справок моногра­ фия, ввиду своей энциклопедичное™, несколько трудна для-

результатов, полученных М. В. Келдышем и М. А. Лаврентье­

автор вводит вихревую дорожку типа дорожки Кармана. Предлагаемая небольшая книга является попыткой изло­

жить теорию нестационарного движения крыла бесконечного

нконечного размаха по возможности в общей и простой форме.

Воснову кладется (при бесконечном размахе) представление

где Ф5 — потенциал обтекания плоского контура потоком, со­ здаваемым вихревым следом, и интеграл Лагранжа—Коши, запи­ санный в виде

!3

ГЛАВА /

ТЕОРИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ ПРОФИЛЯ В ПЛОСКОМ ПОТОКЕ

§ 1. Постановка задачи

Пусть некоторая плоская фигура (тело) движется в иде­ альной, несжимаемой жидкости, находящейся в плоскости х 0у0. Допустим, что скорость поступательного движения этой фигуры

равна Vc, а угловая скорость вращения ее относительно по­ люса С равна №. Предпо­ ложим, кроме того, что жидкость до того момен­ та, когда тело начало дви­ гаться, находилась в по­ кое. Свяжем неизменно с нашей фигурой систе­ му координат х у , начало которой совместим с по­ люсом С, и отнесем ее движение к неподвижной системе координат л:0у0

(рис. 1).

Движущаяся фигура будет вызывать в жид­ кости некоторое поле

скоростей V, причем это поле будет иметь потенциал Ф.

На бесконечном удалении от тела скорость V и потенциал Ф возмущенного движения жидкости следует положить равными нулю. На контуре самого тела должно при этом выполняться условие

где ds есть элемент дуги контура; dn — элемент внешней нор-

мали; ¥ — функция тока, х, у — координаты точек контура, ис, v c — проекции Vc на оси ху. Так как

cos (п х ) = d£

и

cos (яу) = - ~ ,

то интегрирование дает

причем черточка указывает, что берется контурное значейие ¥ , Потенциал Ф и функция тока ¥ представляет собой гармо­ нические сопряженные функции, поэтому, зная на контуре

функцию ¥ , мы имеем возможность определить контурное

значение потенциала Ф. Если допустить, что известно кон­ формное отображение внешности плоской фигуры на внешность круга, т. е. считать, что нам известны * и у как функции по­ лярного угла ср и радиуса г, мы можем написать, воспользо­ вавшись формулой, непосредственно вытекающей из формулы Шварца,

*1 - i fи у(ср, R) ctg

гк

ф, = - к \j *('f, #)ctg- (За)

0

2*

ф3 =- к

О

а функция Ф$ есть действительная часть произвольной анали­ тической функции Fs (z )> мнимая часть которой принимает на контуре постоянное значение. В случае наличия вокруг кон­ тура циркуляционного течения с постоянной во времени цир-

16

куляцией Г функция Ф5 будет равна ^г 6, так как в этом слу­ чае

= ъи Z-

Зная потенциал Ф на контуре круга, мы можем найти его значения и в любой точке вне круга, а следовательно, и в лю­ бой точке вне плоского контура, отображение внешности ко­ торого на внешность круга нам известно. Из формулы (3) не­ посредственно можно заключить, что потенциал Ф будет иметь вид

где ГФ4соответствует циркуляционному течению; Ф5—течению,

абсолютного возмущенного движения жидкости в некоторой

течением времени.

Рассмотрим пример. Пусть эллипс с полуосями а и b дви­ жется в идеальной, несжимаемой плоскости. Известно, что внешность окружности радиуса R отображается на внешность эллипса при помощи формул:

х = ^R -f- cos ®= a cos cp,

У = ^R — g'j sin cp = b sin <p,

где c — радиус вспомогательного круга так, что

i ± i = R; 2c’ = ( a ~ b ) R = ? ^ - .

Согласно формулам (За), будем иметь:

Вчастности, для пластинки имеем:

Ф= — a sin 6 + to^ sin 2dJ + ^ 6.

Касательная составляющая абсолютной скорости на самом эллипсе будет определяться по формуле

v = * * - - L

Rd% ds ’ R df)

где ds есть элемент длины дуги эллипса, равный

ds = Y d x 1+ dy2= Y a*sin20 + b2cos20db,

Г = 2тш {vc cos 0 + у <оаcos 20j = — 2тсa (v c — ^ ) . (4а)

Обозначим (рис. 2)

vc= — Vc sin а,

тогда получим

Г = 2яа Vc sin а «жа2.

18