Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1267 вузов, 4645 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги из ГПНТБ / Поляхов Н.Н. Теория нестационарных движений несущей поверхности

.pdf
Скачиваний:
6
Добавлен:
29.10.2023
Размер:
3.78 Mб
Скачать
☆

т о

<5

 

 

М s/

da.

Если форма

вихревого следа

позади профиля такова, что

при конформном отображении внешности профиля на внеш­ ность круга, этот след переходит в действительную отрица­

тельную полуось — £ = §,,

для

которой

6 = тс, то мы получим

M s' = ~ P

|

То(gf - \

д)

В частности, для пластинки будем иметь:

R

а

а

 

= jVg

~ pj T“c ~ V x li — a i ) d x v

Из изложенного следует, что полный момент, происходя­ щий от влияния следа для случая пластинки, будет следующий

а

Если мы имеем дело не с пластинкой, а с профилем, то в случае, когда профиль не очень толст и не очень сильно изогнут, для точек его следа можно приближенно принять

 

1

г, *1 — У"-*п2— а 2

 

 

Г

 

 

и тогда для полного момента получится выражение

[* 1“cdxi

рs с* i

<- 2)л ^ +

) Ух{1—а2

 

Я=1

rt

 

 

 

оо

 

 

+

а

(43>

 

 

 

4 Н. Н. Поляхов

 

 

49

Итак, момент относительно начала координат будет равен

M = Mk + M m + Mi + M r + M 8,

(44)

причем эти моменты соответственно выражаются формулами

(33), (41), (39), (34), (43).

Первые два момента находятся известным способом. Сле­ дующие три требуют знания плотности вихрей следа у. Определение этой величины в общем случае представляет собой весьма сложную задачу. Однако для некоторых частных случаев эта задача доводится до конца. Например, когда

тонкое

мало изогнутое крыло движется при малом угле атаки

с постоянной скоростью

 

Vc и

совершает

гармонические коле­

бания

бесконечно

малой

 

амплитуды в направлении,

перпенди­

кулярном

направлению,

 

которое

дает

нулевую

подъемную

силу при стационарном

движении (см. рис. 12).

 

 

 

§ 9. Гармонические колебания профиля

 

эта

Рассмотрим сначала неизогнутую пластинку (рис. 13). Пусть

пластинка движется

вдоль

своей длины с постоянной ско­

 

 

 

о

 

 

 

 

ростью ис и, кроме того,

х,

^

~о

-а

 

с

имеет скорость

в направ-

J

 

лении,

 

перпендикулярном

 

 

 

Рис

V,

 

 

 

 

ис. Пусть

эта скорость вы-

 

 

 

]3

 

 

 

 

ражается

формулой

 

 

 

 

=

г>0 +

 

'Щcos

4- v2sin

,

 

(45)

где v 0, Vj и v 2 заданные постоянные величины, a v — частота колебания.

Если бы явление развивалось квазистационарно, то цирку­ ляция вокруг пластинки выражалась бы формулой (4а) при ш, равном нулю, т. е.

Гл = — 2Kavc = Г0А+

Ги cos vt + T2fe sin ,

(46)

где

 

 

 

 

Г2Й= — 2tzciv2 .

 

Г0* = — 2itav0, r ift = — 2navl ,

 

При рассмотрении движения пластинки как нестационарного

процесса мы должны определять Г из условия (см. § 5)

 

 

 

Г =

Г* +

Г ',

 

(47)

где Г' выражается

формулой

_

 

 

 

 

00

 

 

 

г' =

J

Т (*ъ *) ( /

-

l) d x , ,

(48)

причем, согласно определению,

 

 

 

л

 

«

Я’ _

 

 

Т(^ь 0 =

dXl

ис di ‘

 

БО

Будем искать Г в виде, напоминающем формулу

(46), а

именно

в виде

Г = Г0 + Tjcosv^-f r 2sin it ,

(49)

 

 

где Г0,

Г, и Г2

— неизвестные величины. В некоторый момент t',

предшествующий моменту t, циркуляция Г будет тогда выра­ жаться формулой

 

 

Г == Г0 +

Tj cos it' +

Г2 sin i t ' ,

 

 

или, так как пластинка

движется

с

постоянной

скоростью ис

(см. рис. 13),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Откуда

 

 

 

 

<*с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 —

i - §

= I

[г .sin> {*■-Хлг г ) -

г>

- ^ i r ) }

=

 

= 2-

Sin it (Г, COS V Xl ~ a — r 2 Sin v Xl ~

—

 

 

 

 

l

 

“c

 

 

uc

)

 

 

COS 'it

i

s i n V Хг — a +

r 2cos

 

 

Подставляя это значение у в формулу (48), получим

 

Г' =

3 {sin it

[rjC (а) — г 2S (з)] —

COS it

[ГjS (з) +

Г2С (з)]},

(50)

где обозначено

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а =

^

(число

Струхаля)

 

 

 

 

оо

 

ие

 

 

 

 

\

 

 

 

 

____

 

 

 

 

 

5 (о) = j* ( у

^

—l j s i n o ^ - 1 )d x lt

 

 

 

'оо

 

____

 

 

 

 

(51)

 

С (а) =

J

 

= ^ -j~ lJc O S 3

(х, - l)rf^ .

 

Ha основании изложенного условие (47) примет вид

 

Г0 + Tj cos it +

Г2 sin it s= Г0* +

Г1йcos it +

Г2* sin it

+

+ 3 {sin

[rjC(a) — Г25 (a)] — cos it [Г,5(з) + Г2С(з)] 1.

Откуда,

приравнивая

коэффициенты

при

sinv^ И

COS i t ,

получаем

 

 

 

Го — Г0*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г1= Г1* - з [Г15 ( з) + Г2С(з)]

 

 

(52)

 

 

г2=

Г2* +

0 [ГХС(о) — г2S(a)j

 

 

 

 

 

 

 

и, следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

I lft

а 2ft6

=

Г,*(1

-

oej),

 

 

 

 

 

 

 

р

1 1+2aS+a2(S2+С2)

 

 

 

 

(53)

__

Г2ft ~Г °

+ T2k S )

=

Г2* (1 +

3£2),

12

1+ 2aS + a2 (52 + 62)

 

4*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

51

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, коэффициенты Fj и Г2 полностью опреде­ ляются через посредство Г,й и Г2ь которые известны, и без­ размерный параметр а (число Струхаля), функцией которого

являются величины 5

и С.

Очевидно, что, зная Гх и Г2, мы,

согласно формуле

(49), найдем значение циркуляции Г для

любого момента времени.

 

 

Из формул (52)

видно, что они представляют собой соот­

ветственно действительную и мнимую части выражения

Г, - гГ2 = Г1к - гГ2* - h (Г, - гГ2) (С - iS) ,

откуда имеем:

 

 

 

 

 

 

1

~ ~

(54)

где

 

1 + iaE* '

 

 

 

 

Г* =

Г]

^Г2,

Гй= Fjfe ^Г2£,

Е* = С — iS

Циркуляция Г (t ), выражаемая формулой (49), может быть тогда представлена в виде

точно так же

 

Г =

Г0 +

Я е { гУ Ч ,

 

 

(55)

 

r k =

r ok + Re{r*heM).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В соответствии с этим для

общности

и

краткости

записи

можно

ввести

комплексные

циркуляции

 

 

 

 

Г =

Г0 +

Г * /

 

 

 

,

 

Г* = Гой +

Г1еы ,

 

тогда

комплексная

плотность вихрей

следа будет

 

 

 

 

1 dr

 

 

г^*

Ы

•е

—ioXi

Jo

,

(56)

 

 

 

ис dt'

 

— Г е

 

 

 

■е

 

 

 

 

иг

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г =

— ЙГУ’У 0 J* е~

 

(

|

/

 

 

 

 

 

 

 

 

=

•

1'*

е

ь /

‘в

ia

 

р*

 

 

 

 

 

 

— гоГ

 

 

 

-hi,

 

 

 

 

 

 

 

Е[ =

е - а -Е

 

 

 

 

 

Точно так же будем иметь:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а вместо (48)

получим

ОО

 

 

 

 

 

 

 

____

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г =

Г* +

Г ,

 

 

 

 

52

откуда на основании (55)

Г'

г*

 

Я:

 

ь г У ’ -1Д

 

и, следовательно, как и раньше,

 

 

 

Г* _

1 + h e iaE \ *

(57)

 

 

 

Ясно, что действительная и

мнимая

части этого

выражения

даются формулами (53). Действительно, помножая

числитель

и знаменатель выражения (57) на 1 — ia(C-j-iS), получим

 

 

r ;[ i - « ( c + /s ) ]

 

Гх

*Г2 — ^+ 2а5 +

а^(52+ С2) ’

(58)

откуда и следуют формулы (53).

Итак, для того, чтобы вычислить величины Tj и Г2, а сле­ довательно, и полную циркуляцию Г, необходимо знать чис­ ленные значения функций S(a) и С (а), выражаемых интегра­ лами (51). Эти значения могут быть получены путем исполь­ зования таблиц функций Бесселя.

Начнем с исследования интеграла

ОО____

I

Его можно записать также в виде

 

 

1

 

Полагая

x r =

ch ч\, получим

 

 

 

оо

1 )dt[ - -У -.

 

 

£ * = J е~ " ch 1(ch у}+

 

 

o'

 

Таким

образом, вычисление Е* свелось к вычислению инте-

 

 

00

 

гралов вида J* е~ta ch 71ch (nrj) dy при n,

равном нулю и единице,

 

о

 

В анализе

изучены интегралы этого вида, а именно, интеграл

 

 

( _ i ) - 14 J е- '•«М ch

* , = н2> (о),

 

 

о

 

53

который называется первой функцией Ганкеля, и интеграл, комплексно сопряженный, т. е. интеграл

—h ch t]ch (ni|) di\ = H n]( (a),

который называется второй функцией Ганкеля.

Функции

и Н^п можно представить в виде

 

H y{o) = Jn (°) + iNn {o),

 

Н f (о) = Jn (о) — iNn (о),

причем Jn (a),

являющаяся действительной частью, называется

бесселевой функцией первого рода, а Nn (a) — функцией Ней­ мана (бесселевой функцией второго рода). Для обеих этих функций при различных значениях индекса п существуют точные таблицы.

На основании изложенного имеем:

 

 

 

 

 

*

j [Я,2)(а) + Ш % \4

 

 

(59)

 

Е1

 

 

или же

 

 

 

П

 

 

 

 

Е* =

ешЕ\ = С — iS =

 

 

 

 

~2 •Л (°) + N 0(a) —

 

 

— i

(а) — Л (a))

_1_

 

 

 

 

to’

 

 

отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

C

f

КЛ +

N 0) COS a - f

(Л/j -

Л) Sin a],

(60)

S = - j [ ( N 1-

/ 0) cos з -

(Д +

N0) sin a].

 

Эти формулы позволяют найти величины

С и S ,

так как

для функции Jn и N n существуют таблицы

и, следовательно,

определение Tj и Г,

по формулам (53) не представляет труда.

На основании

(59),

выражение (57)

для

Г* можно

записать

в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р*

 

 

 

 

 

(61)

отсюда вытекает, что — см. формулу (56) —

 

 

 

 

 

/у

Г

 

 

 

(62)

 

ТО) * i) = —

 

 

 

 

 

 

 

*' % а[нр-1Н?>]

 

 

Б4

Поэтому сила

Fs ,

выражаемая,

как мы

знаем, формулой

 

 

 

 

а

а2

 

 

 

 

представится в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ы

 

:,dx,

 

 

 

 

Ys = pucRe

2Vke‘

 

 

 

 

 

|*[я<2>+ ш<2>] j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

= pucRe |rle " '-F (5)} = pucRe {f* • F (a)|,

(63)

где

F (a)

равно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(o)

 

e - l°x'dxi

 

 

 

 

 

 

Y x \ - 1

 

 

 

 

 

\ [ H f + iH^\

 

 

 

 

 

 

Г*b = nr* he .

 

 

 

 

 

Для того чтобы явно выделить влияние Г£,

функцию

F(o)

можно заменить функцией вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/= Н Д - 1 = /Д а ).

 

 

 

 

Тогда

будем

иметь:

 

 

 

 

 

 

 

У* - - PUcRe (f *} + pucRe {f

 

(«)} •

 

Если обозначить

Fi (a) => m (a) +

in (a),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то,

имея в виду,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

fft = (Ий — iVtk) еы = Tift cos 'it +

Г2к sin it +

 

получим

 

+ i (Г,* sin it — T2k cos it),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГfcE, (a) =

(Гik cos -it -f- T2fe sin v^) m — (Г^ sin it — T2k cos it) n +

 

+ * [(Г\k sin

— T2k cos vt) m -}- (Г ^ cos it +

Г2* sin it) n\

 

и, следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

Ys = — pu,c (Г,* cos it 4- Vtk sin it) +

 

 

 

+

P«c \Y \km + Г2kn) cos it -f- (Гikm ~ r ift7i)sinv*] .

(64)

Значения функций m(a) и «(о),

являющихся

действитель­

ной

и мнимой

частями функции

Fx (а),

которая называется

55

функцией Теодорсена, приведены в таблице. Наличие этой таблицы позволяет, на основании формулы (64), легко подсчи­ тать значение силы Ys.

з

т(а)

л(а)

3

/я(а)

л(а)

оо

0,5000

0,0000

0,56

0,5857

0,1428

10,0

0,5006

0,0124

0,54

0,5895

0,1453

5,0

0,5024

0,0246

0,52

0,5936

0,1480

4,0

0,5037

0,0305

0,50

0,5979

0,1507

3,0

0,5063

0,0400

0,48

0,6026

0,1535

2,5

Р.5087

0,0473

0,46

0,6076

0,1563

2,0

0,5130

0,0577

0,44

0,6130

0,1592

1,5

0,5210

0,0736

0,42

0,6187

0,1621

1,2

0,5300

0,0877

0,40

0,6250

0,1650

1,1

0,5342

0,0936

0,38

0,6317

0,1679

1,0

0,5394

0,1003

0,36

0,6390

0,1709

0,98

0,5406

0,1017

0,34

0,6469

0,1738

0,94

0,5431

0,1047

0,32

0,6556

0,1766

0,90

0,5459

0,1078

0,30

0,6650

0,1793

0,86

0,5490

0,1112

0,28

0,6752

0,1819

0,82

0,5523

0,1147

0,26

0,6865

0,1842

0,80

0,5541

0,1165

0,24

0,6989

0,1862

0,78

0,5560

0,1184

0,22

0,7125

0,1877

0,76

0,5581

0,1203

0,20

0,7276

0,1886

0,74

0,5602

0,1223

0,18

0,7442

0,1887

0,72

0,5624

0,1243

0,16

0,7628

0,1875

0,70

0,5648

0,1264

0,14

0,7834

0,1849

0,68

0,5673

0,1286

0,12

0,8063

0,1801

0,66

0,5699

0,1308

0,10

0,8319

0,1723

0,64

0,5727

0,1330

0,08

0,8604

0,1604

0,62

0,5756

0,1354

0,06

0,8902

0,1426

0,60

0,5788

0,1378

0,04

0,9267

0,1160

0,58

0,5822

0,1402

0,02

0,9637

0,0752

В заключение заметим, что

сумма

Y k + Y s , если

учесть,

что

 

 

 

 

 

Yk =

рГ*ис =

рГ0мс + рис (Г,йcos

-f- Г2k sin v^),

 

будет иметь

вид

 

 

 

 

Y k + Y s = ?uc[г о + (г

+ г 2*л) cos vt +

(Гikm — Гjkn) sin v/] .

 

 

 

 

 

(65)

§10. Применение вихревого метода

Вслучае бесконечно тонкого профиля (т. е. дуги) формула для дополнительной циркуляции Г', найденная нами при помощи конформного отображения, может быть найдена не­ посредственно, если использовать вихревой метод. Помимо определения Г', этот метод позволяет найти также плотность

слоя присоединенных вихрей, входящих в выражение для /?,-

и

56

Действительно, представим себе, что нам дан мало изогну­ тый, бесконечно тонкий профиль (дуга), позади которого тя­ нется вихревой след, мало, отклоняющийся от прямой, которая является продолжением хорды профиля (см. рис. 14). Покроем мысленно нашу дугу непре­

рывно

распределенными

по

 

У

ней вихрями с плотностью

fn,

 

-Vc

а линию

следа — вихрями

с

 

 

плотностью Y- Так как рассмат­

 

 

риваемая

дуга и

ее

вихревой

 

 

след очень мало

уклоняются

Рис.

14.

от оси абсцисс, то при вы­

числении

индуктивных скоро­

слой расположен на оси х г

стей можно считать, что вихревой

и что скорости в точках дуги в

первом приближении равны

скоростям в точках,

являющихся

проекциями

точек дуги на

ось х х.

Условие непроницаемости профиля в этом случае можно

записать в виде

 

 

 

 

 

Д- во

 

 

 

 

•f-d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 С

r n (x i > t) d x 1

т/

(

1

р 7 (xlt t) dxx

 

(66)

 

2* J

* i - * i

Vcn +

2 ,)

Xi_ x[

’

 

 

 

— a

 

 

 

 

 

 

- i -a

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vcn =

К sin (a — &') =

Vcf

(*;,

t).

 

 

Делая известную замену переменного

 

 

 

 

 

 

 

х г = — a cos 0,

dx j =

a sin 6 db,

 

 

полагая

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т п= 2К

 

c t g у

+

Ап2

s in

ra6j

 

(67)

и принимая во

внимание, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ж

cosCOS п0 М

 

sin nO'

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

( 68)

 

 

J cosCI 0—cos t

 

sin 0'

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вместо (66)

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л. -

2 A. c o s*»'=/ (

Г , t)+ 2д -1

 

 

 

 

n = 1

= f ( V , t )

+

Aas (0', t) . “

 

 

(69)

 

 

 

 

57'

Отсюда имеем:

A, = i j

ПК n +4vc]

^ t ^

db',

 

О |_

 

а

 

 

 

 

 

 

 

cos ив' dQ',

 

+Л

 

 

 

 

Г =

J Тп(*1.

t ) dxi “

2naVc (Ло +

 

 

—а

 

 

 

 

 

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

Г — 2aVr j

/(&', 0(1 -

cos в')dB' 4-

 

 

О

 

f 0-coseorffl-

 

x - L f w j c

t ) d x

(70)

+

2^

CJ

 

 

Х1- Х[Ю

 

Если бы вихревой след отсутствовал, то отсутствовало бы второе слагаемое в квадратной скобке формулы (70). Поэтому можно утверждать, что величина

2aVc j / ( 0 ', 0 ( 1 - c o s 6') d 6' = r*

есть квазистационарная циркуляция, а величина

(1 — cos 0') d%’

(71)

~

есть добавочная циркуляция, которую нужно наложить на профиль, чтобы выполнить постулат С. А. Чаплыгина при на­ личии вихревого следа.

Вычислим интеграл

 

 

 

J _

С (1—COS0')М'

 

 

 

 

 

 

а J X i — x[(V)

 

 

Имеем:

 

 

 

 

 

/ =

J *

(1 — cos 6') flf0'

С

(1 - cos Ъ')М' n

, - J

rf0'

 

a J

JCj + a co se'

J

Xl + cos0'

1 J

Xl -+- cos <

Сделаем замену переменного, положив

* 8' z = tS У>

58

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности