книги из ГПНТБ / Автоматизированная система обработки и интерпретации результатов гравиметрических измерений

.80

2. Определение глубины аномальных масс.

Если глубина залегания возмущающего тела значительна и ано­ мальное гравитационное поле имеет слабовыраженный размытый сигнал, то вычисление массы тела по Ѵ2 (0) при отсутствии досто­ верных сведений о нормальном уровне регионального фона может дать погрешности в массе в несколько десятков процентов. Теоре­ тические оценки и расчет на моделях показали, что точность опреде­ ления массы трехмерного тела, ограниченного по глубине, по ано­ малии Ѵг может быть повышена на порядок, если использовать функцию Ѵг (z) | 2 > 0 , продолженную в область нижнего полупро­ странства. Если же аномальное тело имеет по сравнению с горизон­ тальной мощностью значительную протяженность на глубину, то эффективность определения мас-

Несколько позже В. А. Анд­ реев писал, что изломы, угловые перегибы возмущающего объек­ та представляют собой « . . . осо­

бые точки для соответствующих гармонических и образуемых ими ана­ литических функций» [3]. В этих точках производные гравитацион­ ного потенциала скачкообразно меняют свою величину, обращаются в бесконечность и т. д. Положения этих особых точек или источни­ ков, определяющих структуру аномального потенциального поля, принципиально определяются однозначно. Исследованиями [23, 28, 92, 94] были выделены типы особенностей потенциальных функций и установлено местоположение особых точек относительно заданного контура двухмерного тела. При этом выделяются следующие типы особенностей: полюсы первого и более высоких порядков, алгебраи­ ческие точки разветвления, степенно-логарифмические и логариф­ мические точки разветвления. Было установлено, что для моделей, ограниченных ломаными, особенности находятся в вершинах, для призмы — в угловых точках верхней грани, для тел, ограниченных гладкой аналитической кривой (например, эллипс), — внутри кон­ тура. Сферическая форма характеризуется полюсом первого по­ рядка. Для трехмерных тел произвольной формы понятие особой точки и ее связи с формой пока не установлено.

При определении регуляризнрующим алгоритмом существо­ вание критерия сходимости позволяет находить глубину //. Точ­ ность ее определяется точностью исходных данных. Изложенный алгоритм позволяет определять глубину залегания верхних кромок пластовых тел по гравиметрическим и магнитометрическим данным. Для трехмерных тел угловые особенности тела в поле выражены более слабо, поэтому при крупном шаге s и при грубой точности съемки регуляризирующий алгоритм позволяет фиксировать только более сильные особенности (типа полюсов). Последними для трех­ мерных тел являются центры масс.

Кроме того, регуляризирующий алгоритм успешно применялся в сейсморазведке для восстановления поля скоростей рефрагироваиных волн [75] и в задачах электроразведки на постоянном токе.

Г Л А В А V I I I

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ ГРАВИРАЗВЕДКИ

Решение прямой задачи гравиразведкн широко используется как при обработке, так и при интерпретации данных. Можно выделить три крупных направления, в которых решение этой задачи необхо­ димо применять.

К первому направлению, входящему в обработку данных, отно­ сится круг проблем, связанных с учетом посторонних, мешающих гравитационных факторов: расчеты топографических и изостатических редукций, вычисление поправки за дневной и подземный

Ко второму направлению относится использование высокоточных решений прямых задач в разнообразных методических расчетах. Сюда входят опробование численных методов на моделях, выбор параметров вычислительных схем, оценка точности, отладка про­ грамм на различных тестах и т. д. В этой области прямая задача служит необходимым аппаратом исследований.

И, наконец, третьим-крупным направлением, в котором приме­ няются численные методы решения прямой задачи, является широ­ кий и разнообразный круг вопросов, возникающих при геологической интерпретации.

Следовательно, оператор Ад, так же как и ряд других операто­ ров, в зависимости от точности и вида исходных функций и, самое главное, от поставленных целей АСО может быть использован на различных этапах обработки. Это обусловливает построение разнообразных произведений операторов, например типа (1.26) пли (1.27).

82

1.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

И АППРОКСИМАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

В отличие от задач, рассмотренных в предыдущей главе, реше­ ние прямой задачи, как известно, существует во всем пространстве вне области задания объемной или линейной массы, притяжение которой ищется. Итак, задана масса, обладающая известной объем­ ной плотностью a (£, т), £), в частном случае а (£, г|, £) = const. Масса охвачена некоторой поверхностью, которая в общем случае бывает задана в виде координат точек этой поверхности. Надо найти

ностей, охватывающих объем ѵ: 1) поверхности замкнутые, охваты­ вающие тела правильной геометрической формы; 2) поверхности замкнутые, охватывающие тела произольной формы; 3) поверхности

вычисление потенциальных функций от тел правильной геометри­ ческой формы, для которых Ѵг имеет аналитические выражения в виде алгебраических и трасцендентных функций. К таким телам относятся параллелепипед, ступень и несколько других. В данном случае задача состоит лишь в программировании, а при расчетах возникают только ничтожно малые ошибки округления. Как пра­ вило, эти программы требуют весьма малого времени счета, поэтому их можно использовать вместо атласа палеток при решении обрат­ ных задач графическим способом. Таких программ много; они слу­ жат необходимым инструментом для каждого гравиметриста, рабо­ тающего с ЭВМ. Для некоторых тел даже правильной геометриче­ ской формы, например для вертикального кругового цилиндра конеч­ ной длины, функция Ѵг не выражается в конечном виде. В этом случае ЭВМ используются для составления различного вида номо­ грамм и палеток.

Для второго и третьего классов тел разработан аппроксимациониый метод решения задачи (VIII.1), в котором аномальное тело заменяется суммой элементарных тел, имеющих правильную геоме­ трическую форму. Чаще всего в качестве этих элементарных тел

выбирают тонкие горизонтальные пластинки, вертикальные мате­ риальные линии и параллелепипеды.

В методах, разработанных для вычисления поправки за рельеф местности, используется, как правило, аппроксимация вертикаль­ ными материальными линиями [92]. Численный метод [36, 110], при котором тело аппроксимируется суммой параллелепипедов, может обеспечить практически любую, самую высокую точность расчетов. Как показали наши исследования, решение прямой задачи будет наиболее эффективным *, если алгоритм ее будет динамичным, т. е. позволит автоматически аппроксимировать аномальное тело суммой не одного, а нескольких типов элементарных тел.

В зависимости .от формы тела, необходимой точности расчетов и времени счета разработано несколько модификаций аппроксимацпонного метода как для постоянной, так и для переменной плот­ ности: 1) тело замкнутой формы полностью аппроксимируется парал­ лелепипедами: 2) контактная поверхность заменяется в некоторой окрестности расчетной точки параллелепипедами, вне ее — верти­ кальными линиями; 3) глубоко залегающие контактные поверхности

Si П. Ci

* Эффективность любого численного метода определяется: 1) достижением необходимой точности расчетов при заданной точности исходных данных и за­ данных параметрах тела (форма, размер, глубина); 2) минимизацией машинного времени счета при выбранных параметрах аппроксимацнонной и вычислитель­ ной схем (шаг разбиения тела, количество точек счета и т. д.); 3) простотой и легкостью задания исходной информации для минимизации затрат ручного труда.

84

ческий блок программы, в целом алгоритм вычисления потенциаль­ ных функций от тела произвольной формы остается одним и тем же, а именно: тело, от которого ищется функция, аппроксимируется системой элементарных тел в виде вертикальных параллелепипедов. Последние получаются при разбиении плановой проекции тела на горизонтальную плоскость прямоугольной сетью. Верхняя либо нижняя поверхность тела представляет собой непрерывную функцию координат, которая, в частном случае, может быть горизонтальной плоскостью. В результате разбиения эта непрерывная функция заменяется системой дискретных значений, характеризующих высоту или глубину элементарных тел. Такая система аппроксимации позволяет с любой необходимой точностью заменять непрерывную функцию ступенчатой.

Для расширения памяти машины, занятой под исходную инфор­ мацию, и для экономии времени ввода массива в МОЗУ запись высот ступенчатого тела производится с помощью некоторого кода, дешифрируемого в машине по таблице высот.

Алгоритм вычисления функции для ступенчатого тела включает такую последовательность действий: просматриваются последова­ тельные координаты вертикальных параллелепипедов в некоторой

к координатам точки счета и запоминаются в памяти машины. Далее происходит вычисление необходимой функции по одному из ариф­ метических блоков.

Для того чтобы получить значение функции в точке счета, про­ изводится суммирование влияния всех элементарных тел на эту точку. Когда просмотрено все тело и получено значение функции в расчетной точке, происходит перенос условной системы коорди­ нат в следующую точку счета и алгоритм просмотра тела повторяется. Алгоритм заканчивается после вычисления функции во всех за­ данных точках счета, образующих площадь счета.

85

о счете вместо плотности задается отношение величин намагничен­ ности к гравитационной постоянной.

6.Вычисление поправки за рельеф местности в средней и даль­ ней зонах в узлах равномерной сети. Высоты точек счета задаются матрицей чисел.

7.Вычисление поправки за рельеф местности в средней и дальней

зонах в узлах неравномерной сети. Для этого необходимо задать

координаты точек (х, у, z), в которых вычисляется искомая функция; алгоритм позволяет производить вычисление поправки за рельеф местности как для Ѵг, так и для Ѵгг и Za.

2. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ АППРОКСИМАЦИОННОГО МЕТОДА

При замене физического тела суммой брусов (параллелепипедов) возникает ошибка за счет того, что объемы заданного тела и ступенча­ той фигуры, его аппроксимирующей, всегда несколько различаются, причем ясно, что с уменьшением шага аппроксимации эта ошибка будет уменьшаться. Анализ ошибки объема проведен по наиболее плохо поддающейся аппроксимации модели шара, поэтому получен­ ные ошибки будут максимальными. Шар радиусом 5 км заменялся суммой из 4 п параллелепипедов (где п = 1; 2. . .; 6). За высоту г,- параллелепипеда принималась удвоенная длина перпендикуляра, вос­

радиус шара. Ошибки объема, возникающие за счет того, что объем шара и объем аппроксимирующей его ступенчатой фигуры не сов­ падают, приведены в табл. 20.

Из табл. 20 следует, .что объем шара может быть сосколько угодно высокой точностью заменен объемом ступенчатой фигуры,

87

значения Ѵг от тел, имеющих эквивалентную массу и один центр тяжести, в некоторых пределах различаются.

Взаимосвязь ошибки формы и ошибки аппроксимации оценива­ лась вычислением относительной погрешности между Ѵг от шара, заменяемого суммой параллелепипедов, и Ѵг — найденного по ана­ литической формуле для шара. Относительная погрешность рассчи­ тывалась для Х[ на плоскостях с высотами 5,03; 5,5; 6,0; 7,5 и 10 км. Начало координат совмещено с центром шара.

Зависимость между точностью определения объема тела и отно­ сительной погрешностью 6Ѵ2 вычисления Vz при z/r = 0,5 пред­ ставлена в табл. 21.

В эпицентральной части наблюдается резкое уменьшение вели­ чины 8Ѵг от аппроксимируемого тела (эффект формы), хотя масса

89