книги из ГПНТБ / Автоматизированная система обработки и интерпретации результатов гравиметрических измерений

дартных листов каталога гавнметрическпх пунктов. Задачи вычисле­ ния нормальных значений силы тяжести и перевычисления координат (географических в прямоугольные и наоборот) могут иметь и само­ стоятельное и прикладное значение в различных отраслях гео­ физики.

Г Л А В А IV

РЕДУЦИРОВАНИЕ ГРАВИМЕТРИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИИ СО СЛОЖНОГО РЕЛЬЕФА

НА ПЛОСКОСТЬ ОТНОСИМОСТИ

Проблема редуцирования значений силы тяжести, измеренных на физической поверхности Земли, на некоторую поверхность отно­ симости представляет собой по своему физическому смыслу и по математическому выражению наиболее сложную задачу обработки данных гравпразведки.

В. А. Магницкий [64, 65] показал, что введение поправки Буге приводит к образованию фиктивных аномалий. Из оценок, сделан­ ных П. И. Лукавченко [60], следует, что если даже колебания рельефа не превышают 10—20% от глубины залегания возмущающего тела, то ошибка в определении их глубин будет превышать 10—20% при расчетах по картам в редукции Буге. Как известно, в горных областях редукция Буге практически неприемлема. В последние годы в связи с повышением точности съемок до 10~2 мгл проблема редуцирования стала наиболее актуальной, особенно при поисках близко залегающих аномальных масс.

Известна другая постановка задачи перевода значений силы тяжести с физической поверхности на поверхность относимости. При этом за поверхность относимости принимается плоскость, проходящая выше физической поверхности, а относительно пове­ дения масс ниже физической поверхности не делается никаких предложений. В настоящей главе будем рассматривать задачу ре­ дуцирования именно в этом смысле.

Строгая математическая формулировка задачи редуцирования - в виде интегрального уравнения Фредгельма второго рода была

30

дана M. С. Молоденскнм в 1948 году [72], а в 1956 году она была применена В. А. Кз'знвановым [40] к задачам разведочной грави­ метрии. Б. А. Андреев [3] предложил для задачи редуцирования использовать интегральное уравнение первого рода, при некоторых предположениях. Оригинальный метод решения задачи редуци­ рования рассмотрен М. А. Алексндзе [2], который свел внешнюю задачу Дирихле к внутренней.

Численное решение задачи редуцирования было реализовано лишь в последние несколько лет с применением ЭВМ и в связи с пос­ ледними достижениями вычислительной математики [5, 96, 106, 107].

1.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

ИЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ

Пусть аномальное значение вертикальной производительной гра­ витационного потенциала получены в результате измерений на

кой горизонтальной поверхности относнмости, проходящей выше

в исследуемой точке относительно горизонтальной плоскостп; г|) — поверхностная плотность простого слоя, расположенного на поверх­ ности 5 (рис. 1).

Поверхностную плотность і|; можно заменить некоторой новой функцией ф = ф/cos а, имеющей физический смысл поверхностной

131

пл относги, распределенной на горизонтальной плоскости. Введя

Решение интегрального уравнения (IV.3) (типа уравнения Фредгольма второго рода) заключается в определении некоторой функ­ ции ф, эквивалентной объемной плотности пород, расположенных ниже физической поверхности Земли. По найденным значениям ф восстанавливаются по (IV.2) искомые значения на плоскости отно­

Тогда решение уравнения (IV.3) рационально искать в этих же пунктах методом последовательных приближений [88], при котором

(ГѴ.4) сходится равномерно к точному решению [88]. В конкретных условиях к определяется видом функции z (х, у), т. е. в основном величиной угла наклона а . Расчеты на аналитически заданных моделях показали, что с увеличением а резко возрастает погреш-

32

ность ô (в %) искомой функции. Так, при изменении а — 2; 6; 12;

дой точке профиля осциллируют okqjio нулевой прямой. На каждом

заканчивается, когда max ф,- <cô, где ô — заданная точность вычис­ ления. Если необходимо вычислить ф с точностью 0,1%, то берется

б= 0,001.

оЗаказ 76

33

!

Воснове построения последовательных приближений (IV.4)

лежит многократное вычисление интеграла вида *

Разобьем всю область S задания функции Ѵг на элементарные области интегрирования Ask. Будем вычислять (IV.7) как

где m — число Ask, а интеграл (IV.9)

(IV.9) при х = у = 0 в окрестности точки счета; 2) вычисление в каж­ дой текущей точке счета угла наклона а поверхности z (х, у); 3) инте­ грирование по неравномерным элементарным областям с требуемой точностью во всех точках счета при минимизации времени счета. Рассмотрим эти задачи последовательно.

В точке счета ядро интеграла (IV. 10) имеет особенность. Если окрестность точки счета разбить на восемь секторов, радиус р кото­ рых меняется от г = 0 до Л, и предположить, что внутри сектора функции Az = ap2 и Дер = ßp2 меняются по параболическому закону, то для вычислений интеграла (IV.9) в центральной зоне будет получено [84]

•Ik 7— 2 [^7+«! + ^ | ^ ( 1 - | - 0 , 9 а 2 Д 2 ) ] , ( I V . l l ) i=i

* Вычислять интеграл (IV.7) по всей площадп по стандартным програм­ мам [25] затруднительно, так как они требуют аналитического задания подын­ тегральной функции.

34

Исследовался вопрос о выборе оптимального радиуса централь­ ной зоны для вычисления интеграла с требуемой точностью. Р е ­ зультаты расчетов сведены в табл. 2, где приведены величины среднеквадратпческих абсолютных погрешностей (в мгл) по профилю для модели 2 при а т а х — 4° (модель 2 описана ниже).

В табл. 3 приведены величины среднеквадратическнх абсолют­ ных погрешностей по профилю (в мгл) при s = 0,2 км для модифи­ каций модели 2 (при переменном a max)-

Как следует из расчетов, при изменении шага задания функции разреза центральной области интегрирования R, при которой псГгреитности минимальны, сохраняются и приблизительно равны шагу задания исходной функции. Сокращение R ведет сначала к незначи­ тельному повышению точности (но при этом увеличивается время счета), а затем к резкому повышению погрешности и резкому уве­ личению времени счета. Рост погрешности обусловлен тем, что неточности в аппроксимации подынтегральных функций вносят погрешности обратно пропорционально кубу расстояния.

Следующий этап при разработке численного метода состоял в создании возможности вычисления и анализа в каждой точке

где Q'x и Q'y — производные по х и у полинома, аппроксимирующего

(Z — Zj).

Наконец, третья задача, возникающая при вычислении интег­ рала (IV.7), ввиду того, что она имеет более общее значение, будет изложена в разделе 3 настоящей главы.

где z — некоторая поверхность; при г = г0 = 5 км это будет плос­ кость относимости, при z = z (x) — поверхность рельефа.

В табл. 4 приведены результаты расчетов ряда авторов, полу­ ченные на наиболее часто используемой модели В. А. Кузиванова.

В табл. 4 г — расстояние от эпицентра аномалии, Ѵг (х, 5) — значение силы тяжести на плоскости z0 = 5 км, Ѵг (х, 5) — реду­ цирование значения Ѵг (х, 5) на плоскость z0 — 5 км, I — по методу

36

Б . А. Андреева [11], I I — по методу М. С. Молоденского — В. А. К у- зпванова [40], I I I по методу В. И. Аронова [5], IV — по раз­ работанному авторами [58] численному методу М. С. Молоденского. Сравнение рассматриваемого метода с другими на аналитической модели изолированной аномалии показывает, что его точность лежит в пределах точности других существующих методов (о < 1 % ). Результативная функция вычислялась в тех узлах, где получены значения Ѵг (х, z) каждым из сравниваемых методов.

Рис. 2. Обобщенная модель В. А. Кузиванова.

В обобщенной модели [84] В. А. Кузиванова (рис. 2) поверхность

где X изменяется от —35 до 35 км; а — половина амплитуды рельефа. Исходное поле задается в центральной части в интервале от —15 до 15 км на высоте 0,001 км над поверхностью рельефа. Обобщенная

рельефа, можно установить зависимости между точностью реду­

37

Результаты расчетов по моделям1 табл. 5 приведены в табл. 6. Они показали, что при углах наклона местности от нуля до 15° и амплитуде рельефа до 1 км точность метода сохраняется в пределах 1 — 1,5 96. При большой амплитуде (до 2 км) и углах наклона до 30°

Численные параметры одной из таких моделей даны в работе [58]. Подчеркнем две важные особенности рассматриваемой модели третьего класса. Во-первых, исходные функции ведут себя в иссле­ дуемых ограниченных пределах приблизительно так же, как и на всей бесконечной плоскости. Во-вторых, потенциальное поле соз­ дается не отдельными источниками, а массами с объемной плот­ ностью, распределенными во всем пространстве ниже поверхности Земли. При внесении в модели дополнительных аномалий масс постоянной либо переменной плотности общность модели не нару­ шается, так как решение ищется в виде поверхностной плотности, эквивалентной любым аномальным массам, распределенным ниже поверхности рельефа.

Для более полной оценки точности метода вычислялись среднеквадратическпе и максимальные абсолютные и относительные по­ грешности:

38

величина погрешности растет, а амплитуда абсолютной погреш­ ности также возрастает, но на меньшую величину. Такая законо­ мерность поведения погрешности особенно благоприятна для условий разведочной гравиметрии, при которых не играет существен­ ной роли уменьшение или увеличение уровня поля. Следует отме­ тить, что при максимальном угле наклона 36° максимальная по­ грешность рассматриваемого метода не превышает 5%.

Характер поведения погрешности вдоль профилей показывает, что в краевых частях области задания функции наблюдается рез­ кий рост абсолютной погрешности, что обусловлено ограниченностью области задания исходной информации. При увеличении ампли­ туды рельефа и амплитуды гравитационного поля размеры области со значениями погрешности, намного превышающими среднюю погрешность, увеличиваются, но имеют четко выраженные конеч-. ные границы. При изменении а т а х °г 4 до 36° размеры области с погрешностями, обусловленными конечностью интегрирования, увеличивается от 5s до 15s, где s — шаг задания функции. Тем самым показано, что вычисление интеграла возможно в ограниченных

39