Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Автоматизированная система обработки и интерпретации результатов гравиметрических измерений

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

15.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 368 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Формула вычисления вертикальных производных по дискретной матрице значений U (і, /, 0) также будет иметь вид (VII.6), отли чаясь лишь новым дополнительным сомножителем

W(TBTÏ	+ (T^)Î.	СѴП.7)
где и — степень производной.
Для вычисления двойной	тригонометрической	суммы использо

вался следующий алгоритм, предложенный А. А. Корнейчуком. По

скольку целые положительные	величины і и к заданы	в	одном и 1
том же диапазоне (0 ^ і, к	— 1), значения cos	для	любого
аргумента легко извлекаются	из таблицы. Пусть а„, а к	— началь

ный и конечный адреса таблицы косинусов в МОЗУ, тогда адрес а

значения cos ^тгі определяются			как
	[ а„ ~к~гі,	если	(а„ -~ к - j - і)		а„,
~\	ѵ-и + к + і — 2(^ — 1) ,			если	(аи + к +	/ ) > а к ;
здесь і и к	являются	значениями		регистров адреса		внутреннего
и внешнего	циклов. Аналогичным			образом извлекаются cos jj^-ç- •

Блок гармонического анализа используется для вычисления как коэффициентов Фурье, так и производных от них функций. В первом случае матрица Вц представляет собой матрицу исходных значений поля U ((', у, 0), а во втором — матрицу гармоник Ак,,. В соответ ствии с общими принципами построения вычислительных схем, входящих в систему, погрешность метода тщательно исследовалась В. Р. Мелиховым на аналитически заданных функциях от моделей

различного

класса:

шаров, кубов, ограниченных

параллелепипедов,

вертикальных и горизонтальных

пластов.

Матрицы

исходных

значений потенциального

поля

(х,

у) и

матрицы

значений

(х,

у, z) на

глубинах

z < / /

от

моделей

пра

вильной

геометрической

формы

вычислялись

на

ЭВМ

[1101

с точностью

до единиц

девятой

значащей

цифры

мантиссы.

По

модельному

исходному

полю

по

формуле

(VII.6)

рассчиты

вались

на уровнях

H и z

H значения U (х,

у,

z),

и затем

вычислялась погрешность продолжения относительно точных значе ний поля на этих уровнях. Получаемая таким образом погрешность характеризует собственную погрешность метода, свободную от по


грешностей исходных						данных. Точность метода есть		функция ô =
~	,	/ z	L	D	L	\	параметров: z — глубин ы		'	пересчета,
		\Л '	7'	~7 '	7/ Р я д а
s — шага			задания		функции;		H — глубины 'залегания	аномального
тела,		а — горизонтальных размеров тела. Численные оценки ô пока

зали, что подобранные определенным образом параметры вычисли

тельной	схемы — интервал	L	и шаг	аппроксимации s — могут	вы
ступать	в роли некоторого		регуляризатора, позволяющего		для
т о ч н о	з а д а н н ы х	функций		получать решение, но слабая

регуляризация оптимальными параметрами L , s позволяет лишь несколько улучшить решение максимум до глубин 0,5—0,6 II. В целом же решение продолжает оставаться неустойчивым.

1. РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИЙ АЛГОРИТМ	ЗАДАЧИ
О ПРОДОЛЖЕНИИ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ	ФУНКЦИЙ

Метод регуляризации, как общий метод решения некорректных задач, позволяет получить устойчивое приближенное решение. При этом, поскольку неустойчивое (пилообразное) решение не имеет непрерывной кривизны, его можно исключить, если решение искать

вклассе функций, обладающих второй производной.

Вобщем случае, в методе регуляризации, из условия минимума меры гладкости и при условии определенной близости исходной функции t/fi с погрешностями и точной U, строится приближенное решение У<*. Чтобы его иайти, нужно решить задачу на условный

экстремум, в которой ищется минимум функционала Ма,							завися
щего	от параметра а:
		Ма[Ѵ,	05}~рЦА[Ѵ],		Ut)	+ aQ[V],	(VII.8)
				vec,
где А	[V]	— непрерывный		оператор;	р 2	— метрика L 2 ;	Q [У] =
== \\V\\ 2 , а		> 0 — числовой		параметр.
А. Н. Тихонов [98,			99,	100] доказал, что если классом			допусти

мых решений У является некоторый компактный_класса, предста вляющий множество корректности, то для всего U и а > 0 суще


ствует	единственная		непрерывная		дифференцируемая			функ
ция У а Ç Z,		реализующая		минимум	сглаживающего			функцио
нала М а	[У, U}. Если норма уклонения				функции	U	от функции U
меньше	б,	т. е. \\ÜÖ —	U\\	< б , то Va	(а) = а	(б, е) — реализую
щая min Ма,		принадлежит е — окрестности функции					У, т. е. \|\| У? —

- У | | < е .

Алгоритм, построенный таким образом, т. е. позволяющий по за данной Us выбирать приближенное решение, удовлетворяющее основ

ному требованию	сходимости приближенного решения к точному,
называется р е г у л я р и з и р у ю щ и м		а л г о р и т м о м .
Применительно	к рассматриваемой задаче	о продолжении потен

циальных функций, когда используется аппарат рядов Фурье, най дем решение, для которого мерой приближения С/0 к U служит функционал

J J [Ü(x, y)-Üt{x, y)]*dxdy^8\ (VII.9)

где б — известное среднеквадратичное уклонение, и будем считать, что

Условие (VII.10) для рядов Фурье означает, что значения коэф фициентов Акн удовлетворяют условию

	со со
	2 2 (А^-АыУ^Ѵ;			(VII.11)
здесь Ак,і и Ak,t — точное		и	приближенное значения	коэффици
ентов.
Используя	меру гладкости		(VII.10) и выполняя условие (VII.9),
получаем регулярнзирующин сомножитель в виде
» . . - { І + - [ ( Т £ Г ) ' + К І £ Г ) , ] > <
	* ^ Ш і £ т ) ' + ( т £ г ) Т -			< V I U 2 )
(При расчетах	принято р =	1.)

Тогда приближенное решение задачи (VII.6) в виде двухмерного тригонометрического ряда Фурье с коэффициентами, допускающими его устойчивое суммирование, записывается так:

							(VII.13)
где 7f t 1 ,		дается		выражением (VII.12).
В. Б. Гласко				[77] показал, что при z < #
			\|É7(л:,		у, z) — Ü{x, у, г)\| ^ а С і + ^		с2 ;
здесь	с j и с 2		— некоторые			постоянные, не зависящие от а.
Как следует				из. этого,		для любого Ô > 0 существует такое ос =
= а	(о),	что	при ô		0 уклонение f7 (х, і/, z) от		С7 (х, у, z)	будет
сколь угодно			малым.		Это значит, что приближенное решение Ü (х,
г/, z)	есть	устойчивое			решение.
В	регуляризирующем					алгоритме содержание	расчета	состоит
в вычислении			на каждом			уровне z последовательности Ua (х, у, z)
регуляризированных					приближений на множестве { as ), когда			варьи

руется значение параметра а. При--этом критерием выбора [при

соблюдении условия гладкости		( V I I . 10)] является			минимум вели
чины е:
; т а х		dU	= min,	-	(VII.14)
; т а х	а	da	= min,	-	(VII.14)
	а	- J —

где G — область определения функции.

Искомым приближением к аномалии U (х, у, z) при данном z является та функция Ua из указанной последовательности, для

"которой при as —>- 0 достигает наименьшего значения величина е (VII.14).

Если as изменять в геометрической прогрессии, где с = const, s = 0; 1; 2, . . ., то е, по минимуму которой выбирается приближе ние, выражается с точностью до постоянного множителя формулой

		du		Uas		jjas-i	1	m a x \| / J ^ _ f / « S - i l = e '.»-i.
max	a s	1—	л* max	as	—	as -i	1 - C	m a x \| / J ^ _ f / « S - i l = e '.»-i.
max		s da	л* max	as	—	as -i	1 - C		Q
G			G							(VII.15)
										(VII.15)
В. P. Мелихов показал,						что параметр			as можно	варьировать
и в арифметической прогрессии. Пусть as =									s As, тогда
				8 S ,s-i =	s	m a x \| f 7 a s _ c / a s _ 1			\| _	( V I I . 16)
						G

Обе сетки вариации as равноправны, и если min e? >s _ 1 суще ствует для некоторых z, то значения а, отвечающие этому минимуму как для (VII.15), так и для (VII.16), совпадают с точностью до шага сеток.

В модельных задачах, где заранее известны и точное реше ние U (х, у, z) и глубина Н, вместо (VII.16) используется норма е:

			e> = m&x\Ua'-Ü\.					(VII.17)
				G
В табл. 14 дай один из примеров					работы	алгоритма для модель
ной задачи,		где исходное		поле U	трехмерной модели (L = D =
= 12Я, s =		0,5Я)	было осложнено погрешностью ô = S %. Из этой
таблицы видно, что минимум е 6 ' 5 - 1 для всех z <С H совпадает с								mine'
Учитывая	результаты многочисленных модельных						расчетов,	можно
							Т а б л п ц а 14
			г =	0,5Я	2=0,7Н		2 = 0 , 9 Н
			es	eS.s-1		e		Es, S-l
			es	eS.s-1		s, s-i
0,2	0,82		4,2367	0.6Т45	6,9928	1,0531	11,9418	L6610
0,2	0,83		3,7854	0,6261	6,4678	0,9826	11,0935	'1,5185
0,2	0,8*		3,5377	0,5799	6,0317	0,9406	10,3622	1,4119
0,2 •0,85			3,5101	0,5354	5,6794	0,9018	9,7443	1,3860
0,2	0,86		3.2189	0,4929	5,4062	0,8649	9,2350	1,3668
0,2 •0,8'			3,4144	0,5634	5.2082	0,8282	8,8291	1,3529
0,2	0,88		3,6763	0,6427	5,2702	0,9073	8,5215	1,3422
0,2 •0,89			4,1765	0,7384	5,7293	1,0701	8,3090	1,3314
0.2	0,81°		4,9397	' 0,8405	6,5145	1,2426	8,5618	1,5919
0,2	0,8"		5,7582	0,9478	7,9356	1,4211	9,6069	1,9209
0,2 • 0,81 2			6,7603	1,0721			11,4649	2,2844

сделать вывод, полностью отвечающий теории метода регуляризации;

последовательность регулярнзпрованиых приближений					Uf сходится
к решению при всех s < / / ;				наличие min е 5 ' 5 - 1 определяет устойчивое
нахождение	Uf,	близкого	it	U в нормах es.
Так же	как	для всех	остальных задач, входящих в		автоматизи

рованную систему обработки, необходимо было оценить точность метода и влияние на нее параметров вычислительной схемы. К ним, помимо указанных в настоящей главе, относится и точность задания

исходной функции Ѵг

(х,

у). В. Р.

Мелихов

провел серию

многочис

ленных

модельных

расчетов,

по

зволивших

получить

численные

зависимости

точности

восстано

вления функции в области z

> 0 .

Для исследования влияния

раз

меров

области

задания

исходной

функции были

проведены

расчеты

на моделях,результаты которых об

общены

на рис. 13.

Как

видно из

рис. 13, погрешности продолже-

ния при

-15 относител ь-

но

мало

изменяются

даже

при

значительном

изменении

от

ношения

L/H.

Кроме

того,

из

графика,

представленного

на

РІІС. 13.

График

зависимости точ-

рис.

13,

следует,

что

точность

ностп Д т а х

= max

(в%)

Д т а х

регулярпзпрующего алгорит-

ма (при

10)

не

превосходит

max у

продолжения функции Ѵг (х,

z) | г = 0 , 9 Н

величины

случайных

погрешно

от погрешностей

исходных

данных и

отношения L/H

при

использовании

стей

исходной

функции.

регулярпзпрующего

алгоритма.

Регулярнзирующий

алгоритм

(VII.13)

имеет

то

неоспоримое

преимущество,

что

позволяет

находить

устойчивое

приближение

практически при любом шаге s. Существует лишь ограничение на очень большие s, когда функция аппроксимирована явно недоста

точно. Точность же восстановления	функции на плоскостях 0 ^
^ z =s H тем выше, чем меньше шаг	s, т. е. чем детальнее предста

влена функция. Расчеты показали, что областью оптимального шага задания функции можно считать интервал 0 < s =g 0,511. При иссле довании влияния погрешностей исходных данных оказалось, что чем больше величина погрешности в них, тем эффективнее работает метод регуляризации; это видно, в частности, на рис. 13. В целом же относительная погрешность исходных данных практически перено сится на уровень продолжения без существенного увеличения.

Очень яркий пример устойчивости работы регулярпзпрующего алгоритма дан в [42]. Если две Vz (0) и Ѵг (0), совпадающие в пре-

делах графической точности, продолжить в нижнее полупростран ство формальным способом без регуляризации, то получаются два резко осциллирующих решения, не имеющих ничего общего с исход ными кривыми. При тех же параметрах вычислительной схемы на основе регуляризирующего алгоритма получены две кривые на уровне г = я / 3 , которые также совпадают между собой в пределах графической точности [68].

Из приведенного анализа и результатов расчетов можно сделать вывод, что оптимальными будут следующие параметры вычислитель-

L	с	L
ной схемы (VII.13):	За 10 и -g 5г 10;	— ^ За; s ==с 0,5Я (погреш

ности Ѵг (z) убывают при s ->- 0). Эти параметры дают возмож ность получить решение задачи о продолжении функции на уровне 0,8—0,9Я практически с той же относительной погрешностью, что и погрешность исходных данных. Именно в этом смысле они названы оптимальными. Регуляризирующий алгоритм дает устойчивое реше ние и в том случае, если параметры будут отличаться от приведен ных выше.

2.ВЫЧИСЛЕНИЕ ВТОРЫХ ВЕРТИКАЛЬНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

ПОТЕНЦИАЛА И ИХ УСТОЙЧИВОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ

ВНИЖНЕЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИМ

АЛГОРИТМОМ

Прп интерпретации аномальных потенциальных' полей, получен ных в результате полевых гравимагнитных съемок, часто необхо димо провести локализацию и усиление полезных аномалий, для чего, собственно, и вычисляют вертикальную производную исходной функции. Эта же проблема может быть решена еще более эффективно,

если находить Ѵгг	(z) при	z >	0, т. е.	восстанавливать в области
нижнего полупространства		не функцию		Vz (z), а ее вертикальную
производную Ѵгг	(z). Указанная		задача	о продолжении потенциаль

ной функции в сторону возмущающих масс некорректна, н ее реше ние обладает неустойчивостью к погрешности исходной функции.


Известно, что			при вычислении вертикальной	производной	функции
с ростом		величин случайных погрешностей е исходной функции
растут и		ô	погрешности результативной	функции: ô =	-	f (Cs),
где	s — шаг		задания исходной функции, / (Cs) — некоторая			функ
ция,	зависящая от коэффициентов квадратурной формулы.

Если исходная функция измерена с малыми погрешностями по густой сетке (например, при детальной съемке), то ô -»-оо П р и s —>- 0. ЕСЛИ же брать шаг s большим, то не исключена опасность пропуска полезных особенностей исходной функции и, следовательно, возра стания погрешности результата.

Выбор оптимального шага s в данном случае играет роль фильтра, сглаживающего некоторую высокочастотную часть помехи, но кри терии оптимальности являются сугубо эмпирическими, так как so n зависит не только от свойств помехи, но и от вида трансформиру емой функции. Если же вертикальные производные вычисляются

с помощью широко распространенных интегральных схем [92], то появляются дополнительные погрешности за счет вычисления несобственного интеграла на уровне z = 0.

Вычислительная схема для получения вертикальной производ ной в области нижнего полупространства является модификацией основной схемы о продолжении функции (VII.6) и отличается от нее лишь сомножителем (VII.7). Поскольку высшие производные имеют более высокий коэффициент влияния случайных погрешностей и,

следовательно, более резкую неустойчивость задачи,	регуляриза-
тор у'к,і по сравнению с ( V I I . 12) изменяется и имеет вид
А . - {і + [. ( А ) ' + К т & - Щ т & У + С ^ г ) ' ] X
х Ч і / ( ^ г ) ' + С т £ г ) , ] Г -	< m , 8 )

Рпс.	14.	График	зави
симости		погрешности
Д т а х	от величины z/H			при
трансформации			Ѵг	(0)
в vz2 (г )		регулярпзиру-
ющпм		алгоритмом.

0,3 z/H

При этом алгоритм построения последовательности регуляризпрованных приближений и нахождения решения по минимуму нормы gS,s-i сохраняется.

Для характеристики точности расчетов функции Ѵгг в области нижнего полупространства 0 =s z <СН сделаны [54] оценки этих погрешностей, выполненные на модельных полях вертикальных пла стов. Исходные функции Ѵг задавались с различной величиной случайных погрешностей. Результаты этих оценок для уровней z =

=0; 0,5Н; 0,9/7 даны на рис. 14. С ростом погрешностей исходных

данных погрешность Ѵгг на всех уровнях 0 z < # все-таки растет, хотя и приблизительно по одному закону, на что указывает параллельное расположение кривых.

3.СГЛАЖИВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИСХОДНОЙ ФУНКЦИИ

РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИМ АЛГОРИТМОМ

Известно, что полевые геофизические наблюдения отягощены случайными погрешностями. В связи с этим задача об их сглажи вании — одна из важнейших, как при первичной обработке данных,

так и в задачах интерпретации. Этой проблеме посвящено большое количество исследований.

Независимо от математического аппарата, которым пользуются исследователи (аппроксимацией исходной функции рядом Фурье, интегралом Фурье, алгебраическими многочленами), в предложен ных методах либо совсем отсутствует критерий, характеризующий степень сглаживания, либо он априори задается. Вопрос же о том, насколько близка сглаженная функция к точной, остается открытым.

Рассматриваемый в настоящей главе регуляризирующий алго ритм ( V I I . 12) по своей физической природе является фильтром высокочастотной составляющей функции, т. е. погрешностей, рас пределенных по случайному закону. Поэтому сглаживание случай ных погрешностей е исходной функции U на основе регуляризирующего алгоритма производится следующими процедурами:

1. Исходная функция по схеме (VII.-12) — ( V I I . 13) продолжается иа глубину z = s, равную шагу задания функции, и на этой глубине находится последовательность регуляризованных приближений Ü (z) в номере &s <s ~i .

2.	Приближение Ü™(z), отвечающее			mme s ' s - 1 пересчитывается
затем	обратно	на поверхность	наблюдений. Для этого			пересчета
используется		вычислительная	формула	(VII.13),	но при ук,г		— 1
и z =	—s.
Естественно, что на глубине			z > 0 случайные		погрешности		воз
растают и одновременно подавляются регуляризатором.						Возвраще

ние же на исходный уровень, т. е. трансформация на z < 0 , является устойчивой операцией и не вносит дополнительных случайных погрешностей.

Следует подчеркнуть, что если исходная функция задана точно, без высокочастотной составляющей, то рассмотренный алгоритм сглаживания фиксирует отсутствие таких погрешностей и min ex -s _ 1 отмечается при а = 0. Если исходная функция содержит случайные погрешности е > 0 , то нормы es и es -s _ 1 имеют минимумы только при as =f= 0 (табл. 15).

Зависимость погрешностей результативных функций (после сгла

живания) от величин случайных				погрешностей исходных		данных
исследована на модельных			функциях с известными		точными	значе
ниями и приведена в табл. 16, в которой
		д^іх = шах		u-u		( V I I . 19)
				max U		( V I I . 19)
				max U
			G
		Атах '= max		Ü - Ü c r n	(VII.20)
			G	max U
		Amlx — max		Ü-Ücri	(VII.21)
			G	max U
			G
где	U — точное	значение исходной		функции; U — значения		исход
ной	функции,	в которые	внесены погрешности,		распределенные

				Т а б л и ц а 15
	8 = 4 %	e = 8%	e = 12%	e=24%
0	0,5665	1,1330	1,6994	3,3989
0,1	0,5317	1,062 t	1,5925	3,1839'
0,2	0,4593	0,9104	1,3623	2,7189
0,3	0,3980	0.7667	1,1330	2,2603
0,4	0,3753	0,6688	0,9742	1,9046
0.5	0,3960	0,6227	0,8720	1,6519
0,6	0,4540	0,6244	0,8249	1,4813
0,7	0,5382	0,6655	0,8243	1,3746
0,8	0,6396	0,7359	0,6608	1.3130
0,9	—	0,8253	0,9253	0,3046
1,0	.—	0,9313	1,0010	1,3233
1,1	*		1,1085	1,3680

по случайному закону; Ücrjl

— сгл;іженное значение исходной

фуик-

цпи, т. е. значение Ü%n (з =

0); G — область

задания

функции.

ВеЛИЧИНЫ

Д'шах и

Д'п'ах в

Т а б л и ц а

табл. 16 приблизительно равны.

Это

указывает на то, что регу-

лярпзирующпн

алгоритм

сгла

ДЙах-

ДЙАх- °'°

Л п ? а Х '

живает

функцию

(как и

сле

дует

из

теории)

пределах

0,9

величин

погрешностей

исход

0,4

ных

данных.

1,6

3,9

Изложенный метод применим

3,3

8,1

для

любых гладких

функции,

5,3

12,5

6,5

16,8

которые

могут

быть

аппрокси

мированы рядами

Фурье [22].

ВОЗМОЖНОСТИ

МЕТОДА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

НЕКОТОРЫХ

ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ

Как показано в разделе

1 данной главы,

теория

метода

регуля

ризации

строится

таким образом,

что для глубин продолжения z,

равных 0

< z sc

Н, при конечной

величине

погрешностей

норма

es 's _ 1

имеет

минимум

при

некотором

а о п . Это

обстоятельство

служит критерием нахождения H — глубины до особой точки

тела.

В табл. 17 и

18 приведены

результаты

расчетов,

произведенных

В. Р. Мелиховым по (VII.12),

(VII.13) на модели пласта,

практи

чески

бесконечного по осям

у и z (4 X 400 х 400 усл. ед. н L =

= 250 усл. ед.) для исследования

поведения

es 's _ 1 в окрестности

особых

точек. Глубина z ^ H отсчитывалась от поверхности

пласта

и была кратной шагу

задания

функции.

	РІз табл. 17 и 18 видно, что при s = 1 глубина	залегания пласта
по	отсутствию min es '5 _ 1 находится ниже глубин	поверхности H
на	2 усл. ед. С уменьшением шага до 0,3 усл. ед. (табл. 18) эта глу

бина определяется с точностью до 0,75 ед. масштаба, т. е. трехкрат ному увеличению шага соответствует трехкратное повышение точ ности определения Н. Как следует из этих данных и пз данных,

приведенных в разделе 1 настоящей			главы, если s -н» 0 и е -=>- 0,
то и погрешность в определении глубины H будет стремиться к нулю.
Еще	один пример, иллюстрирующий		существование критерия в за-
			Т а б л и ц а 17
			Пересчет ниже	поверх
			ности пласта при
		Пересчет на по	s = 1 усл. ед.
	as	Пересчет на по
	as	верхность пласта
		г= 1 усл. ед. z=2 усл. ед.
	0	70,7264	1426,1
	0,03>	70,7264	1426,1	4,6582
	0,06	1,6707	2,5299	4,6582
	0,09	1,0341	1,9221	3,6247
	0,12	0,8412	1.7020	3.1261
	0.15	0,7790	1,5700	2,9514
	0,18	0,7387	1,5011	2,9289
	0,21	0,7242	1,5571	2,9063
	0,24	0,7520	1,6010	2,8863
	0,27	0,7888	1,6367	2,8698
	0,30	0,8293	1,6667	2,8565
				Т а б л и ц а	18
		Пересчет ниже поверхности" пласта
		при s = 0,3 усл. ед.
	as	г="0,2 5 уел ед.	z = 0,50 усл. ед.	2=0 75 усл. ед.
		г="0,2 5 уел ед.	z = 0,50 усл. ед.	2=0 75 усл. ед.
	0,4 •0,80	0,0552
'	0,4 •0,8і	0,0552	0,1095	0,1824
	0,4 •0,82	0,0503	0,1074	0,1874
	0,4 •0,83	0,0509	0,1066	0,1917
	0,4 •0,8*	0,0519	0,1066	0,1973
	0,4 •0,8»	0,0530	0,1065	0,2058
	0,4 •0,8G	0,0541	0,1144	0.2140	;
	0,4 •0,8'	0,0551	0,1231	0,2218
	0.4 •0,88	0.0560	0,1327	0,2289
	0,4 •0,89	0,0567	0,1433	0,2521

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 368 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ