Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Ливенцев В.В. Кибернетика горных предприятий (основные положения) учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Из равенства уравнений (1.18)	и (1.19)	вытекает
2 М , + dl=2b2x2	+ d2.	(1.21)
Отсюда
2b,x, - f d. — d9		„

Подставим последнее выражение в уравнение (1.16)-

Корень данного уравнения

*,• =	iV—h vLhl	. (I24)
	2{b, + bt)

Подставляя значение Xi в выражение (1.22), получаем

2(b, + b2)

Как видим, полученные оптимальные значения перемен ных, соответствующие общему (глобальному) оптимуму систе мы, не совпадают с ранее найденными частными оптимумами.

Рассмотрим числовой пример.

Пример	4. Пусть	исходные зависимости							по лавам	имеют	конкретный
вид
	28000								рубіт;
	С, =		+ 0,00006*!+0,9,						рубіт;		(1.26)
	25400								руб/т.
	С 2 =		+	0,0001x3 + 1,2,					руб/т.		(1.27)
Графически данные зависимости показаны на рис. 12.
Частные	оптимумы	по ранее найденным						формулам		определятся:
для 1-й лавы
			лГ	28000		=	2	\|	6 0 \| )
		1	У	0,00006
для 2-й лавы
	х°	=	і / "	25300	^	1 5	9	0	0
	3		К	0,0001
Соответствующие		минимальные			значения				себесгоимостей		добычи 1 т
угля по лавам:

с,

Ю	12	/4	16	IB		&	22	M Х.тоК.Т
			Рис. 12. График		к примеру I
для 1-й лавы
	C,min =2/28000-0,00006				+	0,9 = 3,50		руб/m;
для 2-й лавы
	С з т і п = 2		/25300• 0,0001 +			1,2 = 4,38		руб/m.

С точки зрения затрат на добычу по любой отдельно взятой лаве от клонение добычи в любую сторону от оптимума вызовет увеличение себе стоимости 1 т угля.

Если же лавы составляют систему, то этого может не произойти. Будем рассматривать обе лавы как систему и отыскивать глобальный оп

тимум при условии, чтобы добыча из обеих лав в точности равнялась сумме их оптимальных нагрузок, т. е. 21600+15900=37500 т.

Модель задачи получает следующий вид:

28000 \ г. +0,00006.^ + 0,9 ) хх 4-

С =

25300

+0,0301дг2

4-1,2 л'з

> min;

(1.28)

X l +лг2

37500.

(1.29)

имеем

После преобразований

С=

(28000 + 0 , 0 0 0 0 6 « + 0 , 9дг, 4 25303 4 0, ОО01 xf 4 1, 2*,)-» mi л ;

(1.30)

хг 4-д:з—375С0 ^ 0

(1.31)

В соответствии с формулами (1.24) и (1.25) получаем

2-0,0001-37500-0,941,2

хх"

^24400

(1.32)

2(0,00006+0,0001)

2-0,00006-37500 4 0,9—1,2

2(о,ооооб40.оЩ

= 1 3 1 0 0 т -

( L 3 3 )

Как видим, глобальный оптимум не совпадает с частными

оптимумами

(см. рис. 12).

Воспользовавшись формулами (1.26) и (1.27), найдем величины себе-

стоимостей 1 т угля по каждой лаве

при найденных

выше нагрузках.

Себестоимость

1 т угля:

по 1-й лаве

28000

':'

руб/m;

d =

24400 40,00006-244004-0,9=3,51

( І З і )

по 2-й лаве

25300

î =

Ï3ÏOO" + 0 ' 0 0 Ш ' 1 3 1 0 0 + 1 , 2 = 4 ' 4 4

/У^Л»-

(1-35)

Вычислим

общую

(участковую)

себестоимость

1 т угля

яри двух

ва

риантах распределения нагрузок на лавы:

21600 m;

.*:,= 15900 m;

ху4*3=37500

?) ж, =24400

от;

х 3

= 13100

X l +х2

=37500

т .

Первый вариант соответствует работе лав на локальных

оптимумах,

второй вариант — на глобальном оптимуме.

Произведем соответствующие вычисления.

Себестоимость

1 т угля при работе

лав по первому

варианту

(локаль

ные оптимумы)

„

3,50-21600 +4,38-15900

145242

р^бт.

С =

21600415900

37500

=» 3,87

Себестоимость

1 г угля при работе

лав по второму

варианту

(глобаль

ный оптимум)

3,51-24400 4 4,44-13100

143700

„ р а

„

С— —

24400+13100

37500-3.S4

рубт.

Как

видим,

несмотря

на то, что при переходе от локальных оптимумов

к глобальному

оптимуму

себестоимость

1 г угля по каждой лаве

возросла,

в целом, однако, при той же нагрузке на участок себестоимость 1 т угля снизилась. Здесь наглядно проявилась эмерджентность системы.

Месячная экономия от снижения себестоимости по участку составила 145242—143700=1542 руб.

На свойстве эмерджентности систем основан весьма рас пространенный в кибернетике принцип системного анализа при изучении объектов и процессов.

Принцип системного анализа заключается в следующем: при отыскании оптимальных значений параметров подсистем не следует брать в качестве критерия оптимальности показа тель эффективности функционирования данной подсистемы, а следует взять в качестве критерия оптимальности соответ ствующий показатель эффективности той системы, куда входит изучаемая подсистема как элемент.

Обычно принцип системного анализа дает тем больший эффект, чем больше и сложнее исследуемая система.

ГЛАВА 11

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ § 1. Измерение информации в дискретных системах

Любая информация всегда представляет собой совокуп ность сведений о какой-то системе. Например, на пульт гор ного диспетчера угольной шахты подаются сообщения о ра боте очистных забоев, содержании метана в горных выработ ках, режиме работы главной вентиляционной установки, функ


ционировании			обогатительной фабрики		и т. д. Каждое из та
ких	сообщений описывает			состояние	шахты	как системы.
Если бы состояние системы				было бы	известно заранее, то
не имело		бы	никакого смысла передавать сообщение: оно
не	несло	бы	никакой информации. Сообщение			приобретает

смысл, когда состояние системы заранее неизвестно, обладает какой-то степенью неопределенности.

Но что же такое неопределенность системы и как ее изме рить?

Сравним между собой две дискретные системы, каждой из которых присуща неопределенность. В качестве первой систе мы (обозначим ее через А) возьмем монету, которая подбра сывается и может случайным образом выпасть той или другой стороной, т. е. оказаться в одном из двух состояний: А\ — герб вверху; А2 — цифра вверху.

В качестве второй системы (обозначим ее через В) возь мем игральную кость (кубик), которая тоже подбрасывается и может оказаться в одном из шести состояний: В\ — выпала единица; В2 — выпала двойка; ...; Bs — выпала шестерка.

3 в, в, Ливендев

Из этих систем большей неопределенностью обладает си стема В, так как она отличается большим разнообразием воз можных состояний.

Однако степень неопределенности системы зависит не только от числа возможных состояний, но и от их вероятно стей.

Рассмотрим третью дискретную систему (обозначим ее через С), у которой, как и у системы А, два возможных со стояния. Пусть системой С будет техническое устройство, на пример, шахтный магнитный пускатель, который имеет два возможных состояния: С[ •— пускатель исправен; С2 — пуска тель неисправен. Если вероятности этих двух состояний оди

наковы (по	0,5), то степень неопределенности системы С	та
кая же, как	системы А (монета). На самом деле состояния	С\

и С2 не равновероятны: например, вероятность первого состоя ния (пускатель исправен) составляет 0,9, а вероятность вто рого состояния (пускатель неисправен)—0,1. Очевидно, сте пень неопределенности такой системы будет гораздо меньше, чем в первом случае: ведь мы почти уверены в том, что маг нитный пускатель будет исправен. А если состояние Ci будет абсолютно достоверно (т. е. будет иметь вероятность 1), то, очевидно, система С вообще никакой неопределенностью об ладать не будет.

В теории информации в качестве меры неопределенности состояния системы принята энтропия. Так как дискретная система может находиться в том или ином состоянии, то энтропия всей системы будет складываться из неопределенно стей (энтропии) отдельных состояний.

Неопределенность некоторого г'-того случайного состояния дискретной системы W, как мы видели, зависит от вероятно сти Рі этого состояния, т. е. следует считать, что величина энтропии H (W{) является функцией р;:

		tf(W,)=/fo).					(II.	1)
При этом	энтропия		должна		возрастать с уменьшением			pt
и равняться	нулю	при	/?,-=!І	(если		событие	осуществляется
наверняка, то оно		не	несет	с	собой	никакой	информации).

Данные соображения логического характера приводят к сле дующим формулам:

/(/>,) = о	при	(II. 2)
	если	(II. 2)
	если

Эти соображения убеждают принять, что энтропия H (Wt) некоторого случайного состояния Wt измеряется логарифмом

величины — :

Рі

H(Wt) = log^-

= - l o S P l .

(11.3)

График этой функции показан на рис. 13. На нем видно,

Рис. 13. График функции H(W) —- —log р

что энтропия события с меньшей вероятностью больше энтро пии события с большей вероятностью.

Естественно, что для полной характеристики системы важ

ны не отдельные энтропии H(WX),H(W2),			.... H{W•),...,	H(WK),
а средняя энтропия:
H { W ) _	n1H(Wi)-rn2H(W2)	+ ...+nKH(WK)		( П 4 )
где я ь п2,	«к — количество попаданий		системы W в состоя
	ния Wu W2,	WK;

N — общее число переходов системы из одних состояний в другие.

Замечая, что

-Рг.

N - P » ~ -

=рк

и H(Wt)=-\ogPl,

H(W2)=-logp2,...,

H(WK)=-\ogpK,

получаем

окончательно

H(W) =—Pl\ogp1~p2

\ogp2

- ... -

PK\ogpK

(115)

или

H(W)=-

%Pi\ogp,

( В Д

( = 1

Данное выражение носит

название

формулы

Шеннона

количественно характеризует

энтропию

дискретной

системы.

Естественно,

что

обязательным

дополнением

формуле

является

равенство

Р2+

Р,=

( I I J )

...+/>«= 2

і = 1

Поскольку в формуле Шеннона \ogPi

являются

энтропия-

ми отдельных возможных состояний системы W, то с матема

тической

стороны

энтропия

системы

W есть

математиче

ское ожидание энтропии ее случайного

состояния, так

как

формула

(П.6) представляет собой сумму произведений энтро

пии

отдельных состояний

на

их

вероятности, т. е. является

формулой математического ожидания.

Логарифмы в формуле Шеннона могут быть взяты при лю бом основании, большем единицы. Переход от одного основа ния к другому достигается умножением логарифма числа на соответствующий модуль перехода. Так, если необходимо от логарифмов по основанию а перейти к логарифмам по осно

ванию Ь, то надо умножить		все прежние логарифмы	на одну
и ту же величину log^a	(модуль перехода) :
I < W	=	(logaP)(log&a).	(Н.8)

Выводится данная формула следующим образом. Обозначим через х логарифм вероятности р некоторого

состояния системы при основании а:

x = \ogap.

(И.9)

Данное выражение может быть представлено также в ином виде:

а* = р,

(НЛО)

Для перехода к логарифму с основанием Ь прологарифми руем обе части выражения (11.10) :

X \ogba	= \ogbp.	(H-11)
Отсюда
		(11.12)
Подставляя значение х	из данной формулы	в форму
лу (II.9), получаем
- ^ - - Ю в л		(Н.13)
logé a
откуда
logbir? = (loga p)(logb a),		(11.14)

что и требовалось доказать.

Переходя к выражению полной энтропии системы, можем

записать
mW)=HAW)logba.	(11.15)

Обычно в формуле Шеннона логарифм берется при осно вании 2; тогда говорят, что энтропия измерена в двоичных единицах, или в «битах». Слово «бит» происходит от сокра щения английских слов «binary digit» — двоичная единица.

Один	бит — это энтропия				простейшей			системы,		которая
может принимать			только	два	равновероятных				состояния.
Действительно,			пусть	система А		обладает			двумя		состоя
ниями А\	и Л 2	с вероятностями рі=р2=					—•		Согласно		форму
ле Шеннона энтропия такой системы равна:
ЩЛ) = -		- 1	i o g 2 - 1 -		- 1 i o g 2	-L	= -	i o g 2 - 1		=
		=	— (loga l — log 2 2)= 1				бит.
В приложении			(табл.	1) даны двоичные логарифмы							целых
чисел от 1 до 100.
Рассмотрим		систему,		которая		имеет			равновероятные
состояния, т. е.
	Pi = / > 2		= - =	/>/ =	. . . = Л =		4 г «				( І І Л 6 )
							к

где k — число состояний системы.

Формула Шеннона приобретает в этом случае вид

w w = _ 2 ] - i i o g 4 - = - * . A . w		j - =
— — log _ L — — jog i _\|_ i 0 g # — i 0 g k.
k
В окончательном виде имеем
H(W)=\ogk,		(11.17)
т. е. энтропия системы	с равновероятными	состояниями
равна логарифму числа состояний.		1
Выражение (П.17) носит название формулы		Хартли и яв
ляется частным случаем формулы Шеннона.
Формулой Хартли следует пользоваться всякий раз, когда
известно число состояний	системы, но неизвестны вероятности

этих состояний. Как мы видим, в формуле Хартли эти вероят ности априори принимаются равными друг другу. Важным свойством формулы является то, что постериорные значения вероятностей только уменьшают энтропию системы.

Таким образом, формула Хартли дает выражение для мак симума энтропии системы с конечным множеством состояний.

Докажем это свойство.	Пусть система		W имеет k состоя
ний с вероятностями р\, р2,	/?/,••>	/ V	Найдем	максимум
функции H(W):
	k
H{W)^^^pl\ogpi^mux				(11.18)
при условии	( = 1
при условии
k
2 Pi = 1.				(11.19)
В математическом отношении задача свелась к нахожде
нию максимума (точнее, экстремума)		функции k		переменных

с добавочным условием. Для отыскания оптимальных значе

ний переменных р\, р2,	Pi,...,	рк	воспользуемся	методом
неопределенных множителей Лагранжа.
Как известно, этот метод сводится в данном случае к оты
сканию экстремума функции
	k		k
L = -	2 Pl\ogPl	+ k	2 Pi-	(11-20)
	1 = 1		t = l

Дифференцируя (11.20) по ри р2, Р к и приравни вая частные производные к нулю, получим систему уравнений

dL	=	— log pt	— loge + 1 =	0;
дрх	=	— log pt	— loge + 1 =	0;
дрх
dL	=	— log/>2	— log e + X. = 0;		(П. 21)
др2	=	— log/>2	— log e + X. = 0;
др2
dL		log Pi — loge + X = 0 ;
dpi		log Pi — loge + X = 0 ;
dpi
dL		— log/?« — loge + X =		0,
dpK		— log/?« — loge + X =		0,
dpK
или
		log/?! =	X —loge;
		log р2 = Ь — loge;
					(11.22)
		log pi =	к — loge;

log/7K = X - log e;

откуда видно, что максимум функции H(W) достигается при

l o g p j ^ l o g ^ , ^			-AogpK.	(11.23)
Это означает, что
	-Pi		Р к = — ,	(11.24)
a максимальная энтропия системы равна
Hmn(W)	=	\ogk,		(11.25)

т. е. мы получили формулу Хартли.

Довольно часто мы встречаемся с системами, возможные состояния которых не являются равновероятными. К та ким системам, например, относятся горные машины, механиз мы и их комплексы: состояние работоспособности этих систем является более вероятным, чем неисправность, (ибо в против ном случае или в случае равенства вероятностей этих состоя-

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ