книги из ГПНТБ / Захарова Е.Д. Физические основы механики курс лекций

5

При движении

материальной

точки

радиус-вектор Г можві

о

течением

времени изменяться •

но величине и но направлеввю.

Гѳометричѳокое

меото

концов векто­

ра

?

определяет

траекторию

движущей­

ся

точки.

Рассмотрим

дви­

жение

материальной

точки

вдоль

проиэ

-

зольной

криволиней­

ной траектории

(рис.2).

Участок

траектории M h)

точка

прошла аа

время

£

t .

Положение

ма­

териальной

точки в

начале

промежутка

времени

и в

кон­

це

его

определяется

РИС,

2

радиуоами-вѳкторами

0 M = 7f

и

0Н=~гг .

M~N =

Тг~~гі

—

Er.

•Длина части траектории

M N

, пройденной точкой ва вре­

мя û t

называется длиной пути Д £

. При прямолинейном дішжв-

вии абсолютная величина

вектора

перемещения

равна

пути

.

в)

Скорость.

Физическая величина, определяющая быотроту и направив -

ниѳ движения материальной точки

в каждый момент времени,"на­

зывается

скоростью. Скорость

-

вектор.

Отношение вектора

перемещения

Л Г

материальной точка

к соответствующему промежутку

времени

A t

называется век­

тором средней окорости_., Уср_за

время

û t

.

6

Направлен

век*ор

Ѵср так

же, как и

вектор

,

то

чаѵь при криволинейном движении

вдоль хорды

МЫ в

сторону

движения точки,

а при

прямолинейном движении

- вдоль

самой

«раѳктории,,

Численное значение соѳднѳй

скорооти:

Если в

?»

—

UV]

Сер

—

— з ~

выражении

3

перейти

к пределу,

устремляя

ДЬ

«

изводной от радиуса-вектора точки по времени.

При уменьшении времени û t

точка

N

неограниченно

приближается

к точке

M а хорда

МЫ в пределе совпадает по на -

правлению о касательной к траектории в точке Ш.

Поэтому

вектор

и скорость V

двикущейоя точки

ваправ-аевы по касательной к траектории в сторону движения

(рие . 2) .

Элементарный Путь Д>£>_при криволинѳйвон движении отличен

во величина

от модуля

ІД7*І

(рис . 2) .

Равенство |-дг*| = л«8

выполняется лишь в пределе для бесконечно малого промежутка

времени u"t

. На этом ооновапии ыозво

налиоать:

\ітЦр==

lim

#

A t - O

A t

it> o

A t .

Ив Bïoro соотношения и уравнения (4) для чиолѳнвого вна~

чвиия мгновенной онорости получается следующее выражение:

Численное ввачѳвиѳ скорости материальной точки равно

первой производной от длины ее пути по -ремени.

Интегрируя йр времени

в

пределах

от t- до-

t + A t ,

най­

дем длину пути

Д £

, пройденного

материальной

точкой

за

время

û t

t j * t

д £

=

j

V

d t .

(6)

у)

Уокоревив.

*

a -

Ilm

*v

-

(s)

a t - о

û t

d t

•

Так кав

7)

— ^Ѵ.

,

то

°

-

d t

_

a

~

d t

-

d t * .

( 9 )

'Гошу M соединим

о

точкой

С и

отложим на прямой MC от -

реаок MB, равный УЛ. Тогда согласно

рис . 3

tkV

=

+

&%

.

( і о )

Вектор уекоревик

Cl

может

бить представлен в

виде векторной

° a ^ l i m ^ f

=

(im

= І і т # + |ітФои

I .

Составляющая

вектора

_Л

, раввай

l i m

,

назы­

вается

вормалъньнсуикоревиѳм

& r t .

A t * *°

ï i =

(im f f

a

( i 2 )

dt-*0

л

t

Проведем на рис . 3 вектор перемещенья

Л Г

,

соединяю­

щие

точки І І н

N

,

При

вычислении

численного значения

Ctn

будем считать движение плоским, промежуток

времени

д ѣ

на

-

столько малым, что часть траектории

M Ы =

A S

может

быть

заменена хордой

И

N =

à V

,

Восстановим нормали к кривой в

точках

Li и

N

до их

пере­

сечения в точка 0. Дугу UN приближенно можно считать дугой

окружности с центром в топке О и радиусом

R » О M s* ON.

К

называется радиусом кривизны траектории в точке U. Два равно­

бедренных треугольника QU M и MAB подобны

друг

другу.

Из

про­

порциональности сходственных

сторон

можно

получить, что|лСЛі| =

5= £)(LÄ1ÜJ

Отсвда можво

получить

численное значении

некто-

Р в

а \

J и , ,

Ш =

{

і т

ѣ.

!g! = |f. иГ1|. >pi ,

f,