книги из ГПНТБ / Захарова Е.Д. Физические основы механики курс лекций

Sdv=-c$

откуда

Ma

4

M

U =

^J0 -h С L TL

^ P

(формула Циолковского) (54)

Важное

практическое значение

формулы Циолковского состо­

нанял содержащегося в них топлива

автоматически

отделяется

ОТ ПйиЛвдывіі ступени,

получающей

дополнительную

начальную

CKOpOQTb,

Раеомотрим

пример

увеличения

скорости

1)а

при исполь­

зовании

ммадоотупенчатой

ракеты,

В момент

старта

<У»= О

и

формула

54 запишется

таким

образом:

Современные конструкции ракет и видов топлива не позво­

ляют

сделать отношение

— б о л ь ш е

десяти.

Скорость исте ­

чения

(вылета)

продуктов

ш ст

П и о

гтпптіитяй<г 'X. fi — Я

••

горения

С не

превышает

2,6

- 3

сек

Отсида для максимального

ипаченин

скорости

t ) , | 0

в

отсут

-

ствии внешнего силового воздействия в момент

окончания рабо­

ты двигателя первой

ступени

при использовании

всего

коплива,

получаем:

XÙ dcTb

значительно

меньше

да pu ой

космической

скорости

(7,9

с^д- ) • й с л

и

и

конструкции

первой ступени

(оболочке

maii ракеты

(ободочка в двигателем и

топливо») і to

мы получим

Оінощіниа

^ о ^ «аныаа 10, например-

В. Несмотря

яд это,

Единицы

работы

и

их^наименования

система

СГС -

эрг = дин.см

=

,

сек 6

о

система

СИ -

джоуль

= ньютон,

м =

,

сек^

Sbg

Г. іФ

I

да я

«

ІО 3

сц* g

І

0 7 з р

г

севг

сект

I

кГм » I

км

« 9,81 fi.M = 9,81 дзк = 9,61 г ;

І 0 7 э р г

В том случае,

если

постоянная

сила F , приложенная к

телу,

составляет

угол

оі

с направлением

перемгщания

(рис.16)»

разложим

силу

F

аа две

составляющие:

Fr

-

направленную

вдоль

перемещения

Ï

F„

-

перпендикулярную

к

нему,

работу

совершает

составляющая

fv .

А = FT

S « F $ c o s < * .

На

тело действует

переменная

сила.

Введем

эяеыонт&рнуй

работу

д А

,

совйрценн^ю

на малсы пути

_

AS"

,

A A L - Fe

ô S i

COSoC .

J

^

F

Работа,

совершаемая

переменной

силой

на

конечном пути

S

, вы-

. 4

рая.аотсл

суммой

элементарных

•

"С

работ.

Силы

f~i

,

действующие

на

протяжении

каждого участка

МОЖНО СЧИтаТЬ

ПОСТОЯННЫМИ И ЦОій-

Рис.Іб

но

обозначить

через

F

. Эта

суша

приводится

к

интегралу

А = J F e o s o t d s = J F. d s . ( 5 6 )

На графике работа

о

о

1

А изобразится

площадью уйгуры

чБСд,

огра -

ничейной осями координат, кривой изменения силы и перпенди­

куляром

к оси абсцисс,

проходящий

через

точку,

соответствую-

Д А ~ FCCtfot Д 5 = ff COS*, AS +

F^CoSoL^ùSsaA^aAz.

Рис.17.

Рис.18.

Сила F , действующая на поступательно движущееся тело,

называется консервативной или потенциальной, если

работа

Aj_gf

совершаемая этой

силой при

перемещении тела

из одного

положения Ц ) в другое

(£) не зависит от того, по

какой

тра­

ектории

зто перемещение

произошло.

Примерами консервативных сил могут служить силы всвмир-

його тяготения, силы упругости, силы элѳгтро.сгэтического

взаимодействия

меаду

заряженными

телами.

Из формулы (55) видно, что работа на совершается,

если

сила

F

а 0,

то есть

при равноиерном и прямолинейном

дви

-

ЖЙНИИ. .Но равномерное

и прямолинейное движение моквж проис­

ходить

и

при действии

сил на тало. В этом случае

ревнодвй

-

Потенциальной

энергией

называется

энергия,

определяемая

взаимным расположением взаимодействующих тел и измеряемая

работой, совершающейся при

относительном

изменении

положения

тал

в пространстве

бва изменения их скорости. Под потенциаль­

ной

энергией

системы

тел

понимают "запас"

еще нѳ

совершенной

работы, но которая может быть совершена при изменении взаим­

ного

расположения

тел . Работа производится sa счет

убыли

потенциальной

энергии

ѴѴЛ

системы тел,

то есть

Д А = -й

Wrt. .

(62)

Работа

Л А

,

совершаемая такой

системой

при

измене­

шению к

внешним

телам не зависит от того, каким образом осу­

ществлен

переход

системы из одного положения в другое.

Следовательно, потенциальная энергия обусловлена консерва -

тивными силами. Она зависит только от взаимного расположения

частей системы и

от

их положения по отношению н внешним т е ­

лам.

Обычно определяется лишь изменение потенциальной

энергии.

Численное значение и знак потенциальной энергии зависят от

быть

выбора начала отсчета

, поэтому потенциальная энергия

может

положительной и отрицательной. Потенциальную энергию взаимо­

действия тел принято рассиатраать по отношению к такому по­

ложению взаимодействующих тел, при котором эти тела удалены

друг от друга на бесконечно большое расстояние.

Ори атом, если между телами действуют силы притяжения,

потенциальная энергия оказывается отрицательной: Ори удалв

-

ник тел с некоторого расстояния на бесконечно большое

требу­

ется затрата работы против сил притяжения. Наоборот, потен -

цжальнагі

энергия

отталкивания - величина положительная, так

как при

удалении

тел

на бесконечно большое расстояние

работу

совершают сами силы отталкивания.

а. Рассмотрим потанциальвуи энергию тала,

поднятого

над поверхностью Земли. Условимся не учитынать

в этой задаче

36

различия

между весом тела Р и силой

тяготения

его к

земле

и будем

считать высоту H достаточно

калой дли

того,

чтобы

соверааемой при свободном падении тела на

Землю. Если

и л о

падает

по вертикали,

то

- Д W n

=

W n

-

W f t 0 = PH^mgH, <бз)

где

\ Д п 0 -

потенциальная

энергия

системы

при H =

0.

Если

ке

тале

падает

по

наклонной mioскости

длиной

t

и

с углом

наклона

СІ

к

горизонтали

(рис . 19),

то работа

сил т я ­

готения равна

прежней величине.

А =

Fx

I =

Р scnoL-t = PH = mcjH ,

где H - высота наклонной

плоскости.

Йсли

тело движется

по

произвольной

криволинейной

траектории

(ркс.гО),

то мы

моадц эту кривую разбить на

П.

прямолинейных

участков

Д І -

. Расіѵта

силы

тяготе­

Рис.19.

ния

на

каждом

из

таких

участ­

ков

раыіа;

д А с -

Р л1;,Sin«-* = Рд Н^.

работа

силы тяготения

раана;

1=П

PKc.SO.,

А = Е д А 1 = Е РдН£

= РН=гадН.

§ 4. Потенциальная энергия тяготения

Подсчитаем величину потенциальной энергии взаимодействия

двух частиц с массами ы и тп ,

удаленных

друг от

друга

на

расстояние

Г .

Частицы притягивается

друг к другу

с силой

F

,

кото

-

рая

определяется

законом всемирного

тяготения!

Г

=

1 — s r s r ,

где

Т

-

гравитационная

постоянная,

7

» 6 . 67 . IQ - 1 1 — M L ^ T - :

кг . сек

для вычисления потенциальной энергии системы надо

опре

-

делить работу,

необходимую для удаления

частиц друг

от

друга

на бесконечно

большое

расстояние. Пусть частица

с массой Ы

неподвижна,

а

частица

с массой m

удаляется. Работу удаления

частицы

о массой

Ш

будет

совершать внешняя сила

F,

,

по

величине

равная силе

F

,

но направленная противоположно,

d t

-

элементарное

перемещение частицы

о массой

m

(рис.21). Элементарная работа,

совершаемая

внешней

силой

F|

,

на

пути

Ott

будет равна:

-

d A

-

F, d

l

CQSdL.

Работа

силы

тяготения F

по величине

равна,

а но

зна­

ку

противоположна, работе

внешней силы,

то

есть

d А =

- F

d l

c ö S d l ,

d

l

c o s a .

=

d r

Воаж

Г ж - © С

,а

1 ^ = у * • то

Д

z r -

Y ^ t n

( S 5 )

w

^

-

T

^

.

( 8 6 )

Максимальное

значе­

на*

потенциальной

энергии

системы,

соответствующее

бесконечно большому

р а с ­

стоянии ыѳліду частицами,

равно нулю.

Из

формулы 64г видно,

что

работа в пола

тяго

-

тения нѳ

зависит

от

ціормы

и длины

траектории,

а

з а ­

Р и с . 2 1 .

висит от

начального

и

конечного положения

час­

тицы

с массой і і \

,

формула (66)

справедлива

не только

для

материальных

точек, но для шарообразных тел . Пользуясь этой формулой

мож­

но рассчитать

потенциальную

энергию тяготения планет

и

Солнца.

В поле земного тяготения потенциальная энергия тела выража

-

ется аналогичной

(бб)

формулой.

w

= - Y

а