книги из ГПНТБ / Захарова Е.Д. Физические основы механики курс лекций

N

d t »

d ( I со).

(84)

Вектор M d t

называется импульсом момента

силы, вектор ІСО

называется моментом количества движения вращающегося

тела.

Теперь можно дать

другую формулировку

основного

закона

движения вращающегося

тела

относительно

неподвижной

оси аа

время

dt-

равно

импульсу

момента

внишних

сил, вращающих

тело относительно той же оси вращен^д.

Момент количества движения точки определяется произве -

дением

ТП^У^и; . Подотавив в

зто выражение

значение

линей­

ной скорости

t),* = СО Х*І

,

получим:

т ^ Г ^ а ) в

Ii

СО

где

11

-

момент

инерции

матарьльноя

точки.

Цемент

количества

движения

тела

І с О

равен

векторной

сумме

моментов количества

движения

всех

точек

тела.

I

w = 2

I I w .

(es)

Направление

вектора

Г_СО

совпадает

с

направлением

вектора

угловой скорости

СО

,

которое

одинаково

для

всех

точек.

Единицы момента

количества

движения.

В системе

СИ

а

а '

В системе

СГС

- г

сак

.

§

6. Работа

сил, вызывающих вращательное

движение

абсолютно

твердого

тела.

Еусть

к

твердому

телу, способному

вращаться

вокруг

пе-

подви;«а(ОЙ оси 00 (рис.^9) приложена сила

F

,

момент

ко -

торой

относительно

оси вращения

равен

M = F'T" .

При поворачиваний тела на угол

точка

прилолвния

силы в переместится на длину

дуга

ciS

. Работа,

соверша­

емая силой

F

,будет:

(ІА

— F

ctS

,

но

d S = r d < f

,

откуда d A s F r c l ' f

или.

51

так как

Р г =

Ii -

есть

момент

силы

,

то,

сладо

-

ватальцо,

et А »

ГЛ d*f ,

(86)

Вели момент силы

не изменяется

(М «= c o n s t ) ,

то

при пово­

роте тела

на конечный

угол

*¥

совершается

работа,

определяв

-

мая выражением:

f

А .

M

У

. г д е

f

~ l&f

.

§

?.

Кинетическая

энергия

вращающегося

тела

Если тело вращается вокруг неподвижной оси, линейная

скорость

I

-ой

материальной

точки

может быть

представлена

в виде:

.

я

,„

о) .

Vi

r L

ои матѳральнои

Следовательно,

кинетическая

энергия

t

точки равна

.

.

.

Суммы

S

и Ѵ і - Х ь

- м о ­

мент инерции1" тела относительно

оси

вращения.

Таким образом, киаетичѳс-

кая

энергия

тела,

вращающегося

вокруг неподвижной

оси

выража­

ется

формулой:

Рис . 29 .

к —

2

.

187)

w K

где

'V

-

линейная

скорость

центра масс,

СО

-

угловая

скорость

тала

,

§ 8. ?£"оа охранения

момента

количества

движения

Из основного з"\кона динамики вращательного движения,

записанного

п

виде

и

dt

=

d ,

( 1

СО )

(см.формулу 84),

следует,

что

при отсутствии рвэулАтирующѳго момента (М = 0)

изменение момента количества двиг.ения.. тела равно нулю, то

есть

<±(l<Jû)

= Q

, а

I

СО = С О П S t

(m)

Гак как для абсолютно твердого тела момент инерции тела

относительно

оси вращения не

изменяется при вращении (ï*con$t),

то остается

неизменном

и угловая скорость,

'А'ело

вращается с

вращательного

движении, записанный в форме fa* справедлив для

іаких

тел или

системы тел,

у которых под действием внутрен

-

нлх сил момент инерции цс<«т изменяться.

Назовем систему тел, вращающихся вокруг неподвижной оси,

изолированной,

«ели сумма

момчнтоа внешних сил

относительно

этой

оси раваа

нулю.

ется

Закон сохранения момента количества движения формулиру­

так; в. изолированной

системе тел векторная

сумма момѳн

-

h ÖÜС= C O n S t .

(89)

Продемонстрируем действие закона сохранения момента ко ­

личества движения на некоторых примерах.

тых

а). Человек стоит на скамье іѵуковского

а дврхит в вытяну­

в стороны руках гири. Система человек-скамья вращается с

некоторой угловой

скоростью

СО

около

оси

0 ( р и с . 3 0 ) .

Принимая во

внимание,

что

моменты

сил

тяжести всех час -

ійиеааншг аолоѵ.ения рук через

(л),

,

массу

гири через m

,

расстояние от

оси до

гири

до

и после

изменения их положения

соответственно

чсрэ.і

Г

и Г1, получим:

откуда: СО, ~

-

Ь -

^ т

^

СО

( г», <

г )

(so)

Угловая

скорость

системы

унвлачится во

столько

р а з ,

во

А =

A W ^ W ^ W K - M 1

^ ^ "

~~

of.

Подставим значение

І 0

2ШГ из

соотношения 90 в урав-

ѵе-і-хе ?tt

преобразовав

получим:

г : &,,.((*),-со).,

, ѵ к =

Ь ^ п і

isк

как

О), > OJ . те

дѴѴк >0.

6).

Человек

стоит

на

неподвижной

скамье Чуковского и держит вертикаль­

но ось колеса с большим

моментом инер­

ции. Ось колеса расположена вдоль оси

вращения скамьи ( р и с . З І ) .

Если колесо

приводится человеком

во

враіфтельноё

движение,

то скамья

с

человеком Начм

a a a ï вращаться в

противоположном

направлении. До того как колесо на -

чадо вращаться момент

количества

движения системы равен нулю. Веди

система

изолированная,

то и ори вра ­

щении колеса и скамьи с человеком

полный момент количества

движения

остается

равным

кулю:

I ( ü ) , + I a Ö ) 2 = 0

(98)

в) Человек стоит на неподвижной

скамье

Чуковского и дарздт вертикально ось ко­

леса,

вращающегося с угловой

скоростью Cd.

Центр тяжести человека смещен относитель­

но оси

вращения

скамьи

на

расстояние

К

, 1

а ось колеса совпадает с

осью

скамьи.

!

ЕСЛИ человек повернет ось колеса

в

вертикальной плоскости

на

180°,

то

скамья

с человеком придет во вращательное

дви­

жение (рис.Зіі).

В исходном

состоянии

момент

коли­

чества движения системы относительно оси

вращения скамьи равен моменту количества

движения

колеса:

то есть

Г00

=

т Г г с о * ,

где

I

-момент инерции

колеса,

Ш. -

масса колеса,

Т*

-

радиус

ко

-

леса.

Рис . 31 .

Если

система

изолированная,

то ^тот момент

количества

движения сохраняется и после поворотаоси колеса на 180°.

Момент количества движения системы посла указанного

поворота равен

- m T ^ L û

( ï 0

+ M H*) Cd, ,

где

I о

-

момент

инерции

скамьи,

РЛ

-

масса

человека,

СО, - угловая скорость скамьи с человеком.

Знак минус

при

m

r*?"U>

возник вследствии

изменения

направления

СО

на

противоположное.

Уравнение

закона

сохранения

момента количества движения

оистемы:

mr'o)

= - m ra co +

( I „

•+•

M ha ) со,

или

2 т Г 4

С 0

— ( і 0 + м К jCt), ,

откуда

определяется GO,

Ci),

=

2 m Г*

I „

+ « h l СО

(93)

Таким образом, скамья с человеком начинает вращаться в направ

-

левии вращения колеса в исходной состоянии системы.

Затраченная человеком работа А при повороте колеса числен­

но

равна

изменению

кинетической энергии

системы

Д . І П Г Ѵ

,

(Io-H^h')co,' _

rnr*cda _ (Го-»-M h') cd?

A -

g

•

~ 2

2

g

.

учитывая

соотношение

93

получим

А

«

m г

со со, Ф. О

( 9 4)

58

ГРАНИЦЫ ПРИМЕиШОСШ KJiACOMECKCti ИИХАНЪКИ.

Законы классической механики справедливы

для

макроскопи­

ческих тел,

тс есть для тел, состоящих из большого

числа

ато ­

мов и движущихся со скоростями малыш но сравнению

со

скоро -

стью света.

Так как

скорость света в вакууме равна 300 .ООС-^д,

то

классическая

механика применима ко всем обычным

телам,

даи-

зсущкмсл с практически достижимыми скоростями.

Границы

классической механики, связанные

со

скоростью

ная физическая теория пространства и времени.

Она

исходит:

а) из постоянства скорости света

в вакууме для всех инерцяаль-

ных

систем (принцип постоянства

скорости с в е т а ) ;

б)

из принципа

относительности,

состоящего в

том,

что

все з а ­

коны физики действуют одинаково

{инварианты)

во всех

иыерци -

альных системах

отсчета,

рости объекта

по

закону:

Т П

-

-

Т

°

-

7

(9S)

1

-

З.ІСг см/сек,

где

С

-

скорость

света

в вакууме,

равная

l)

~

скорость

объекта,

ГГі0 - масса покоя.

Пока

скорость

і)

значительно меньше

С масса

объекта

практически из отличается от массы покоя и может считаться

постоянной.

При

возрастании

скорости

Ü

масса

возрастает

сначала медленно, при скоростях, близких

к

скорости света,

растет

очень

быстро

и

при

X)

=

С должна

стать

бесконечно

большой.

Зтс

означает,

что

щ>& скоростях

тела,

удовлетворяющих

условил

і) «

С

законы

классической

механики

выполняются с

большой

точность»;

соотношение

"О «

С « S W O T C Ä

критерием

пр ѵѵ. s ни пост а

клас ехческс-2

ы. е х а кл к я.

W = m C 2

или

W =

(S 6 )

V

1 — с*

Соотношение 96 количественно

выражает

формулировку зако ­

на взаимосвязи

(пропорциональности) массы

и энергии, имеющего

в в и * е г ,

W

= m.c* +

^

или

W = W0 + W ,

(97)

где:

W„

- энергия

покоя,

W« - кинетическая энергия.

Таким

образом, формула полной энергии

отличается от фор­

WK = W - W0 = m с г - m0cl= т„с* (

-

I ). ( 3 8 у

Нетрудно убедиться, что при условии

V << С

формула

ѲВ переходит в "классическое" выражение для кинетической

энергии:

а

WK - —g

При рассмотрении явлений микромира некоторые обычные в

классической

механике понятия теряют смысл. Опыт

показывает,

ствами,

присущими волновым

процессам.

Но волны локализованы

во всем пространстве,

где они

распространяются,

и поэтому

для них понятие траектории,

ана­

логичное

понятию

траектории

тела, лишено смысла.

Опытной

об -

той и

скоростью. В

квантовой

механике устанавливается, что

координата частицы

X и составляющая скорости ее

"Ох

могут

иметь

одновременно

значения с

неопределенность»

в коордикать