книги из ГПНТБ / Сытник, В. С. Основы расчета и анализа точности геодезических измерений в строительстве

ся в пределах установленных границ допуска при наиболее неблагоприятных сочетаниях погрешностей размеров или положения соответствующих элементов цепи.

Способ наихудшего случая иногда называют «способом максимума-минимума» [3]. Такое название он получил потому, что при расчете точности размера или положения замыкающего звена выполняется арифметическое сумми­ рование частных погрешностей размеров или положения составляющих звеньев, т. е.

их максимальные или минимальные значения, выведенные

этот способ не дает количественной оценки попадания размера замыкающего элемента в границы установленного допуска;

не позволяет оценивать возможные случаи появления предельных и средних значений размера замыкающего эле­ мента;

не позволяет определить причину выхода размера за границы установленного допуска, если на него влияют несколько факторов;

арифметическое суммирование частных погрешностей размеров или положения составляющих элементов прин­ ципиально и практически необоснованно.

Этот способ не нашел применения, так как он может быть использован только для расчета точности при малом числе составляющих размеров, полученных с низкой точностью. Кроме того, при возведении здания заранее предполагается сочетание конструкций или узлов сопряжения лишь с их максимальными ошибками, что приводит обычно к значи­ тельному увеличению предельной ошибки в замыкающем размере.

В действительности размеры конструкций и узлов соп­ ряжения, имеющих максимальные ошибки, сочетаются крайне редко. Поэтому необходимо применять способ, который давал бы возможность уменьшить величину пре­ дельной ошибки замыкающего размера без значительной потери точности составляющих размеров. Таким способом является расчет точности на основе законов теории вероят-

60

костей — способ моментов. При расчете по этому способу

предполагается, что погрешности размеров и положения составляющих элементов (хг) и размера замыкадошего элемента (X) подчиняются закону нормального распреде­

ления. Исходными являются количественные характе­ ристики закона распределения размеров и положения составляющих элементов.

Учитывая, что зависимость (106) в общем случае может быть достаточно сложной, разложим выражение для замы­

где 0 — остаточный член.

Математическое ожидание и дисперсия случайной ве­

Эти формулы дают точное выражение для р (У) и D (X),

если рассматриваемая функция линейна.

Переходя к средним квадратическим отклонениям и пре­ небрегая членами более высокого порядка малости по срав­ нению со средним квадратическим отклонением, получим:

( 111)

61

Формула (111) получена для размеров л:t составляю­

щих элементов при условии, что они являются независи­ мыми случайными величинами.

Если значения размеров х-ъ являются зависимыми слу­ чайными величинами, то из (1 1 1 ) имеем:

где K Bj — корреляционный момент величин х и х}\

Знак v < / в формуле (112) обозначает, что суммиро­

вание распространяется на все возможные попарные соче­ тания случайных величин {хъ х2, х 3, ..., х п).

При расчете элементов, соединяемых под углом, необ­ ходимо уравнение погрешностей составить по проекции размерной цепи на некоторые оси, связанные с замыкаю­ щим размером определенной тригонометрической зависи­ мостью.

Из формул (111) и (112) следует, что размер замыкаю­ щего элемента изменяется в результате суммарного влия­ ния погрешностей всех размеров составляющих элементов. При этом влияние размера определяется величиной част­ ной производной, дисперсией и корреляционным моментом.

Расчет по методу моментов сводится к определению среднего значения (математического ожидания), определя­ ющего размеры замыкающего элемента

р. (X) = ф (хь х2, х 3, х п) (113)

и его среднего квадратического отклонения ах-

Метод моментов дает абсолютно точные результаты только для линейных систем при соответствии априорного нормального распределения апостериорному.

Для нелинейных систем, даже при нормальном законе распределения размеров составляющих элементов, закон распределения величины замыкающего элемента отличается от нормального, а математическое ожидание величины замыкающего размера не равно его проектному значению. Поэтому при анализе нелинейных систем методом моментов возникают значительные ошибки.

62

14.РАСЧЕТ ТОЧНОСТИ ПО РАЗМЕРНЫМ ЦЕПЯМ

Впрактике проектирования и строительства из сборных

конструкций при расчетах точности возведения зданий или сооружений возникают две задачи:

прямая — по известным допускам на размеры и поло­ жение строительных конструкций, разбивочных осей или горизонтов необходимо определить допуск на размер за­ мыкающего звена;

обратная — по известному допуску на размер замыкаю­ щего звена необходимо определить допуск на размеры, положение отдельных конструкций и разбивочных осей или горизонтов размерной цепи.

Общее условие этих задач — обеспечение полной со­ бираемости сборных конструкций без каких-либо подго­ нок элементов по месту.

На основе вероятностно-статистического метода слу­ чайные ошибки составляющих звеньев размерной цепи ха­ рактеризуются стандартом а (х). Тогда стандарт замыкаю­

щего звена для линейной цепи в соответствии с (106) бу­

В случае равенства составляющих в формулах (114) и (115) предельная ошибка (допуск) замыкающего звена

По формуле (116) решается прямая задача, когда из­ вестны ошибки составляющих звеньев а (х;), g (х;) и надо

определить ошибку замыкающего звена.

Исходным параметром для решения обратной задачи является допуск на замыкающее звено А (X). Решение об­

ратной задачи не является однозначным и зависит от до­

63

Отсюда формула (116) принимает следующий вид:

Для заданного значения А (X) из формулы (118) можно

найти стандарт для составляющего звена:

и с увеличением числа звеньев предельное значение ее достигает следующей величины:

Ошибка замыкающего размера цепи включает в себя ошибки размеров составляющих конструкций, установки конструкций, геодезических построений и ошибки, вызы­ ваемые деформационными воздействиями (неравномерность осадки фундаментов, температура) на положение состав­ ляющих конструкций [2 2 ].

Пусть случайные и систематические ошибки геодези­ ческих построений, изготовления сборных конструкций, монтажных работ и деформационных воздействий соответ­

При решении прямой задачи теоретически или экспери­ ментально определяются все составляющие из (123) и (124), по которым находятся а (X) и £ (X); по формуле (1 2 0 )

находится допуск на составляющее звено размерной цепи,

64

Очевидно следующее:

Формула (131) является основной при решении прямых и обратных задач по расчету точности замыкающего звена размерной цепи или ее составляющих звеньев.

В коррелированной размерной цепи случайные ошибки составляющих звеньев находятся в корреляционной связи, Тогда стандарт замыкающего звена будет равен:

Приведенный в этой формуле коэффициент корреляции г (Xi, Xj) определяют статистическими исследованиями или

на основании теоретических соображений. В последнем случае предполагается, что случайные ошибки двух звень­ ев Xi и Xj включают в себя ряд общих элементарных оши­

бок, например:

Если роль каждой элементарной ошибки примерно оди­ накова, то

Например, если k = 1, l — 1 н g — 1 , to r (xit x3) = 0,5.

Случайные ошибки звеньев могут быть коррелированы с точки зрения выполнения всех операций, связанных с возведением здания или сооружения. Тогда формула (131) приобретает следующий вид:

66

Следовательно, учет корреляционной связи имеет су­ щественное значение при расчете размерной цепи. Конеч­ но, рассмотренная математическая модель Коррелирован­ ной размерной цепи имеет примерный характер и может быть использована только для приближенного расчета.

тем математической обработки результатов эксперименталь­ ных или производственных измерений либо на основе ло­ гического сопоставления определяемых величин.

При £ = в формулы (129) преобразуются следующим

Выбирается следующий допуск зазора между горизон­ тальными и вертикальными конструкциями с учетом по­ грешностей Дг, Дп, Ам, Лд:

Подставляя значения допусков на составляющие из (138) в (139), после некоторых преобразований получим:

При заданном значении А0 получим:

(141)

(Н -1) V l + k l + k l + k f

Используя значение стандарта а, по формулам (138) определим:

В зависимости от принятой вероятности Р коэффициент t принимается по табл. 2 [2]. Например, для наиболее распространенного случая (t = 2 при Р = 0,95) форму­

лы (142) принимают следующий вид:

ния ошибок часто нарушается в силу изменения техноло­ гии производственных процессов, методики выполнения работ, деформации оборудования и приспособлений, влия­ ния внешних условий и т. д. Например, анализ резуль­ татов измерения вертикальности осей колонн, устанавли­ ваемых в проектное положение, показывает, что их наиболь­

что при возведении первых этажей отрабатывается техно­ логия монтажа; при возведении'средней части здания, когда технология отработана и учтены недостатки, допущенные в нижних ярусах, точность повышается. Снижение точ­ ности при возведении верхних этажей объясняется труд­ ностями работы на большой высоте.

68

Многочисленные исследования, проведенные в ЦНИИЭП жилища, ЦНИИЭП учебных заведений, ЦНИИОМТП и ряде других институтов, показывают, что величина ошибки изготовления строительных конструкций зависит от числа оборотов я формующего оборудования и периода

Однако в настоящее время нет конкретного математи­ ческого выражения этой зависимости.

Крупные здания и сооружения возводятся в течение длительного срока. Поэтому нет оснований считать, что конструкции, поступившие на монтаж, например, деся­ того этажа, будут иметь ошибки того же порядка, что

иконструкции для первого этажа, т. е. tnh° ф ml.

Величина ошибок геодезического построения разби-

вочных осей /яг.п на исходном горизонте, передачи осей на последующие ярусы также непостоянна в отдельных частях здания и изменяется в различных пределах.

Изменения условий окружающей среды (резкие перепа­ ды температуры воздуха, неравномерность ветровых нагру­ зок) и гидрологических условий грунтов в разных частях здания или сооружения оказывают неравномерное воз­ действие на изменения положения конструкций. Об этом свидетельствуют результаты анализа, приведенные в раз­ деле 24 главы VIII.

Таким образом, неравномерность влияния составляю­ щих производственных и внешних факторов затрудняет предрасчет точности геодезических измерений классиче­ скими методами.

В связи с этим для установления оптимального соотно­ шения ошибок геодезического построения т г п, дефор­ мационных воздействий /пд.в, строительно-монтажных работ т с.м в системе размерных цепей целесообразно использовать вероятностный метод, суть которого заклю­

* Сюда входя.т ошибки изготовления н монтажа конструкций.

69