книги из ГПНТБ / Сытник, В. С. Основы расчета и анализа точности геодезических измерений в строительстве

Для нахождения параметров корреляционных уравнений применительно к данному случаю составляют нормальные уравнения:

180

Вычисленные в табл. 27 и 28 средние квадратические ошибки дирекционных углов в ряде квадратов позволяют сделать следующие выводы:

в целом средние квадратические ошибки дирекционных углов увеличиваются с увеличением числа квадратов и для последнего квадрата (X) достигают 26—27";

средние квадратические ошибки дирекционных углов продольных и поперечных (связующих) сторон ряда очень близки по абсолютной величине; для вычисления корреля­ ционного уравнения могут быть приняты их средние значе­ ния.

В табл. 31, п. 2 вычислены параметры прямой (рис. 18). Получено, эмпирическое уравнение

может быть выражена уравнением прямой. Вычислено урав­ нение этой прямой (табл. 31, п. 3):

Для десятого квадрата вероятная ошибка ординаты пунк­ та равна 2,8 см, предельная — 5,6 см. Таким образом, про­

дольное смещение ряда квадратов относительно начального

181

пункта невелико (относительная средняя квадратическая

На рис. 20 представлен график эмпирической зависи­ мости для средних квадратических ошибок абсцисс. Эмпири-

Рпс. 19. Зависимость ошибки ординат пунктов сети от числа квадратов

Рис. 20. Зависимость ошибки абсцисс пунктов сети от числа квадратов

ческая линия регрессии представляет кривую, и ее вероят­ нейшее значение может быть выражено параболой второго порядка. В табл. 31, п. 1 вычислены параметры этой пара­ болы. Получена формула

182

В табл. 32, 33 подсчитаны средние квадратические ошибки взаимного положения пунктов по разностям истинных оши­ бок абсцисс и ординат на основе следующих формул:

I Лхг— Ах;-!)2] .

тАх =

(378)

^ / ~ [ ( А щ - А щ - i ) 2]

тдв

Рис. 21. Зависимость ошибки взаимного положения смежных пунктов сети от числа квадратов

Ниже приведен подсчет общей средней квадратической

Средняя квадратическая ошибка взаимного положения пунктов заметно возрастает по абсциссам (до 2,5 см для де­ сятого квадрата) и остается постоянной (около 1 см) для ор­

динат (рис. 21).

Общая средняя квадратическая ошибка взаимного поло­ жения соседних пунктов может быть выражена уравнением прямой

183

Вычисление (в см ) средней квадратической ошибки

взаимного положения пунктов сети по ординатам

27. РАСЧЕТ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ОШИБОК ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИИ

Влияние систематических ошибок на результаты геоде­ зических измерений выражается в том, что они постоянно отклоняют результаты измерений в одну сторону от истин­ ного значения. В результате применяемый способ геодези­ ческих измерений дает неверные результаты. Для оценки применяемого способа измерений необходимо знать вид появляющейся систематической ошибки; это позволяет сде­ лать вывод о причине ее возникновения и в дальнейшем устранить или по крайней мере уменьшить степень влия­ ния этих ошибок.

Наличие систематических ошибок в результатах измере­ ний можно проверить на основе регрессионного анализа [24]. Полученные результаты измерения x t сопоставляются

с безошибочно определяемыми значениями рассматривае­ мой случайной величины х;. При отсутствии случайных и систематических ошибок следовало бы ожидать линейной регрессии с а = 0 и b = 1. Однако из-за случайных ошибок

эти константы в большинстве случаев отклоняются от идеальных значений. Тогда следует проверить, сопостави­ мы ли разности | а — 0 | и | b — 11 со случайной ошибкой

или они вызываются дополнительным влиянием системати­ ческих ошибок.

Математическое решение этого вопроса показывает, что а и b всегда в слабой степени коррелированы отрицательно,

так как они определяются из одной и той же выборки резуль­ татов измерения. Поэтому разности | а — 0 1и | b — 11 сле­

дует рассматривать одновременно при проверке гипотезы о значимости систематических ошибок. Это приводит к дву­ мерному распределению со случайными переменными а и Ь. Тогда можно построить контурный эллипс (основание двумерного распределения) с центром тяжести С (а, Ь). Внут­ ри этого эллипса должны быть все пары значений (а{; 6г)> которые с вероятностью Р принадлежат соответствующему

двумерному распределению. Постоянная систематическая ошибка имеет место тогда, когда прямая а = 0 не пересекает этот эллипс (рис. 22). Это значит, что точка (а = 0; bt) не

принадлежит к рассматриваемому двумерному распределе­ нию. Аналогичная картина наблюдается, если принять b =

= 1, когда в действительности имеет место линейно изме­ няющаяся ошибка. Если нужно исследовать, приводит ли изменение того или иного способа геодезических измерений

186

к появлению систематической ошибки, то в данной системе координат строят соответствующую прямую. Для получен­ ного по измененному способу значения измеряемой величи­ ны уь это будет прямая а = у ь. Изменение способа геодези­

ческих измерений не приводит к появлению систематичес­ кой ошибки, если пря­ мая пересекает контур эллипса.

. Константы а и b и сум­ ма квадратов ml (п — 2)

при сглаживании значе­ ний xi = f (Xt) опреде­

ляются по способу наи­ меньших квадратов.

Для упрощения кон­ турный эллипс заменя­ ют тремя парами парал­ лельных касательных. Для этого в рассматри­ ваемой системе коорди­ нат строят прямоуголь­ ник со сторонами по оси ординат

и по оси абсцисс (см. рис. 22)

Центр тяжести С этого прямоугольника лежит в точке С (X — а, х = Ь). Дисперсии ml и ml подсчитываются соот­

ветственно по формулам:

п— число пар измерений;

уг — измеренное значение переменной Y;

187

Y-t — вычисленное значение переменной У;

масштаб, чтобы стороны 1а и 1Ъ были примерно равны. Для

построения касательных центр тяжести принимают за точку

Обе параллельные прямые, проходящие через точки (С + + d b), (С 4- da), (С — d b) и (С — da), являются касатель­

ными к искомому эллипсу. Они включают доверительный ин­ тервал двумерного распределения при заданной вероятнос­

ти Р - Для проверки систематической ошибки строят пря­ мые а = 0 (при наличии постоянной ошибки) и b = 1 (при

наличии линейно изменяющейся ошибки). Систематическая ошибка существует тогда, когда прямая не пересекает эллипс или шестиугольник касательных.

Проверка гипотезы о присутствии систематических ошибок в результате измерений может быть значительно упрощена, если имеют место только постоянные или изме­ няющиеся ошибки. Соответствующие сведения получают из предварительной графической проверки. Для этого разнос­ ти между значениями результатов измерения наносят на график, упорядочивая их по величине х. Если эти точки рас­

сеяны параллельно по оси абсцисс, то следует ожидать появления только постоянных ошибок. Если получается восходящее или убывающее множество точек, это указывает на линейно изменяющуюся ошибку.

Для проверки постоянной ошибки для каждой пары зна­ чений истинного и измеренного значения получают разности

d = y t — Y t. Отклонение среднего значения разности d = = hdi/n от истинного значения d0 — 0 проверяют по урав­

нению

( 3 8 7 )

188

Определив стандарт

со степенями свободы v = я — 1, получаем схему расчета, представленную в табл. 34.

Т а б л и ц а 34

Схема расчета для определения t

Найденное значение t сравнивают с табличным значе­ нием t (Р , v). Постоянная ошибка имеет место, если t > > t (Р , v).

Для определения линейно изменяющейся ошибки изме­ ренные значения y t сравнивают с истинными значениями Yi. Здесь справедливо соотношение

Отклонение коэффициента регрессии b от истинного зна­ чения b = 1 проверяют по формуле