книги из ГПНТБ / Ядернофизические методы анализа и контроля технологических процессов [сборник статей]

S =

2

U

, - - C; 4 j

(HI-17)

r = 1

и продифференцировав ее

по d Vj\

t

0 С7

t

г=1

гS7)=1

V

1 * СТ.

t

(

сг

„ ~~

*

(III.18)

v

у

с1 V

-J

1

LJ

)

Г—1

Г=1

получим

при

фиксированном канале

i

(2

i ■< т — число

кана­

лов)

систему

линейных уравнений (если 1< г

— п

1)

отно­

сительно

Фг,

ku , которая для данного

i имеет

единственное

ре­

шение. Повторив подобную процедуру

для

всех

каналов

т — I

раз,

найдем

все

п ( т — 1)

элементы

^.(зам етим ,

что

=

1)

матрицы [ktj) и все значения Ф ..

Д ля

нахождения матричных

элементов

ki}

и Ф.

для

данного

канала

i

взамен

системы

(III. 12)

может

быть решена

система

п -р 1

уравнений

с п + 1

неизвестными

ktj,

Фг;

dS

= 2 2* ( ^ г

А \ ) Л** “ Т ~ =

(1 < k < п, 2 < i < т)

dkik

/•=1

Д1Н.19)

dS

22(л;-'лг) = °, (2 </<от)‘

дФ.

Г=1

Повторяя

подобную процедуру

при

всех

i

(2 < г '< /? г ),

полу­

чаем

все

k..

и Ф..

1}

I

можно

определить

иным

образом.

Элементы

матрицы

Из уравнения

(III.5) для

пробы

„г“

согласно

(111.11)

можно

за­

писать

л:

t

V

CJ

ф ..

( 111.20)

А л '

! = 1

. Д л я фиксированного

канала

i при

1

<. г

— t -j-

1

и замене

уравнений

для непосредственного определения

Ф.. Повторив

подобную

процедуру

для всех

каналов 1 < г < « ,

получим все

матричные

элементы

Тогда

из соотношений

к‘>= - 7 Г - Т

(HI-21).

А; = 2 ^ ( Л - ф ,-)-

( П1.2 2 )

Фн

1

Ф.

V

(III.23)

I

I

■ 2 * , ' „

+

2 a q

( i + 1 ) + Фг >

(III.24)

j = 1

q

С

где р — степень

полинома. Система

уравнений

с п 4- р

1 не­

известными /, .

и ад должна

иметь

т ^ п - \ - р ~

1 число

кана­

концентрацию

по /];. с помощью

(ШЛО),

(Ш.18) и величину

Ф" по (111.23).

Как видно,

при

больших т (1 < / <

т) для определения коэф­

фициентов ktj, a q

необходимо

привлекать

вычислительную ма­

шину.

, До сих пор мы предполагали,

что интенсивность радиационного-

f = _Фо_

Г

к

ехр

(III.25)

J

4-г-'

aj

=

° j + aj’,

(Ш.26)

of — сечение

радиационного

захвата

ядрами

компонента

у;

a,j — сечение,

обусловленное

упругим

и

неупругим

рассея­

нием, ядерным

расщеплением, делением

ядер,

поглощением

нетронов и т. д.

Следовательно, плотность распределения актов радиационного

захвата нейтронов

ядрами компонента k определится

как

(III.27)

где

N k — плотность

распределения

ядер компонента k

(т. е. чис­

ло

этих ядер

в

единице

объема).

Переходя к концентрации

ск

с помощью соотношения

ck = A - 1 N k ,

(П1-28)

лолучаем

dnk

= A H

ck

(III.29)

dv

Из (Ш.28) следует

dnk

п и

d v =

dv

2я

x

= Ла! ck -fe-

о

J sin bdb J exp

- (r - r0) 2

N j a.

dr. (Ш.30)

0

Поскольку во

внутреннем

интеграле r 0 не зависит от

изменения

г, то число актов

захвата нейтронов ядрами

компонента k в за ­

висимости

от ск

равно

A°l ск ф0

Я

Jsin Mb exp

п к

2

о

A°l

Ч фо

j* sin0d0 exp

2

о

_

H ск фо

(III.31)

ЬФ0 Ск

(III.32)

п \ = Ьпк =

ск + ( АЛ ) 1 2

Nj °j

нальны

п \ :

!„ = В*1 = -------------- Ьл^

г Ь -----------•

(ш -33>

С* + ( Л31)

H l NJ

aJ

1

где В,

Ьх — коэффициенты

пропорциональности.

Допустим далее для простоты, что увеличение концентрации

компонента k

происходит

за счет

изменения

концентрации ком­

понента j по

закону

Nj = Nj ~

aj N*>

(ш -34)

3—99

33

График

функции

(III.35) при

всех

положительных

константах

имеет

вид, показанный

на

рис. 5.

Если

учесть поглощение, то зависимость

интенсивности

Jk

от

концентрации

ск

нельзя

представить в элемен­

тарных функциях. Рассмотрим этот

вопрос на примере скважины.

Пусть

в

точке

А

на оси

сква­

Рис. 5. Зависимость

/* от ск-

жины

(см.

рис.

4)

находится

ис­

точник

нейтронов, а в точке Б —де­

тектор -[-квантов.

В точке

С среды

с элементарным объемом d v

происходит

d n k (см.

III.28)

актов захвата нейтронов,

следователь-

но,

возникает dm h

-[-квантов:

d m k =

bdnk

(III.38)

где

b — коэффициент

пропорциональности.

Однако

точки

В до­

стигают не

все эти

-[--кванты.

Плотность

их

потока из объема

d v

(точки С) в точке В равна

*

dmk

d f B =

НГ ехр

-

(

г2 -

г2о) р 2

Ci

Г 2

bdih

( Г2 - Г 20) р*^

т

с

= Т

^

ехР

j

CJ

4

1

А Ф,О к ьк

к

ехр

( Г2

Гм) РV

CJ -

* “

16

(Ш.39)

где ij — массовый

коэффициент

поглощения ^-излучения для

компонента

у;

г,,

г 10,

г2,

г20 — соответственно

расстояния от

А

до С, от А

до

стенки

скважины

в

направлении г,, от В до

С,

от В до стенки скважины

вдоль г 2;

р — плотность анализируемой

среды.

d v

=

гl sin B2d r2dB2d<?2.

(111.40)

Тогда плотность

потока

-^-квантов

от компонента k в

точке В

со всего объема

суть

Л

= J ~

d v =

dv

=

JSinM62j dr2 r2 ' eXP - \ r * ~

П

К

■r 2 0 ) ^

' j

Cj - { r i

- r u ) Ly N j * j

(III.41)

гю = ( & + rlo - 2 R r20cos 02y/e ’

(1П,42)

где R — расстояние между точками

А и В.

Интенсивность от

компонента k

пропорциональна

величине

/* . Таким образом,

просчитав зависимость f kB от ck,

мы сможем

установить закономерность изменения интенсивности,

создавае­

мой компонентом k,

в зависимости

от концентрации.

между интенсивностью и концентрацией в виде

Ilj = aijCj + bijcj ,

(III.43)

где

аг„

Ьц — искомые константы для компонента j

и

канала I.

Суммарная интенсивность в канале i

А ,

=

2

h i + Ф, =

Фг +

2 (

с +

Ь1} с)

)

(III.44)

7=1

7=

1

является

линейной

системой

относительно

неизвестных

Ф .,

a tj,

bi}.

На эталонах

1 < r < t

получим

А \ ; тогда для

фиксированно­

го канала

I имеем систему

уравнений

'а;= 2 К<7,+а</4)+ф<-

<I1L45>

7=1

для

решения которой относительно atj,

Ф(

необходимо

взять

1 < ^ г < £ > 2 « - |- 1

эталонов

(« — число компонентов).

Повторив

подобную

процедуру

для всех

г (1^ г - ^ т ) ,

мы

вычислим

мат­

рицы (#,,)> ( 6у) и все Фг по

измерениям А[

на

эталонах,

пос­

ле

чего можно

анализировать

пробы, решая

систему

A t = 2

( а ц cj + b u c)

) + ф«

1 < 1 <

m

(m-46)

7 =

1 '

относительно Cj. Как видно,

эта система

нелинейна

относитель­

но Cj и

ее

можно решить приближенными методами.

По

аналогии

с (III.22)

и

с

учетом

нелинейности

функции

с. = / ( / у )

запишем

выражение

т

с ,

= 2

[

(А -

Ф,) + Н

(А -

ФА ]

<ш-47>

7=1

и приведем его

к

виду

т

cJ =

a] +

2 [ d j i A l +

ajlA l2 ),

(Ш.48)

где

т

«, =

2

А

К А - * / ,) •

(ш -49>

7-1

dn =

Ьн -

2ап фс.

(III.50)

Для определения концентрации с. необходимо знать

величи­

ны

a.,

djt,

CLjt, которые

можно

найти

из

измерений

эталонов

1

Подставляя

результаты

измерений эталонов

в

(Ш.48),

получаем

систему

т

с',

=

+

2

К А ,

+ ° Х ) ■

(41.51)

7=1 х

Систему (III.51)

можно решить относительно ар djt,

ан

при

условии, что 1

< г < г ? > 2 / г е + 1 .

Если

t = 2 / n + l ,

то

система

(III.51) решается непосредственно. При

£ > 2 / я + 1

систему мож­

но решить методом

наименьших

квадратов, после

чего

подста­

вив

найденные

a.,

aJt в (III.48), вычислить концентрацию

с;.

по

результатам

At

измерения анализируемой пробы.

в интервале

i\ //г — ин­

тенсивность от компонен­

та j

в интервале

I.

Учитывая

постоянство

спектральных коэффици­

ентов k.tj

[8— 10],

можем

записать

k i, =

-Tl

=

hi

(IV.2)

I

ij

hi

/ г ш6

где штрихи указывают на

опытные

значения, полу­ Рис. 6. Моноэлементные спектры Hg, Са. Fe.

ченные

на

моноэлемент-

ном

(/)

спектре.

Все спектральные коэффициенты можно в

оСз

(IV.3)

&22 —

Са’

«1

где 5 гСа — площадь спектра Са' в

интервале

i.

Элемент

/

Спектральные коэффициенты

/ = 2

i = 3

Fe

1

0 ,4 9 8

0 ,3 3 2

Са

2

0,3 2 1

0 ,0 2 0

Hg

3

0 ,0 1 8

0

Из

(2)

и (1) следует

система

3

7! =

2

* / Л .

(iv -4>

j=i

решая

которую

относительно

неизвестных

/ 1;.,

для интенсивности

Hg в первом интервале

получаем

г

( k 2i —

k m ) ( /,f e 3, —

/ 3 )

—

( &31 —

k 3y)

( / ife;i

—

/> )

/ т у t - \

13

(*21 — ^ 22) (&S1 ■— * 33) — (^31 — ^ 32) (£21 — ^ 23)

Подставляя

сюда

найденные

выше

значения

спектральных

коэффициентов, находим выражения для определения

интенсив­

ности

ртутной

компоненты:

Лз = 1,07/, -

3,42/2 +

1,77/3.

(IV.6)

На спектрограммах

ртутного

месторождения,

интенсивность

в

интервале

3 составляет — 20% от интенсивности

в

интервале

2,

следовательно,

уравнение (1V.6)

примет вид

Лз =

1,07/, -

3,С7/2.

(IV.7)

С учетом

фонового

излучения элементов

вмещающей породы

система (IV.4)

запишется в форме

з

Mi =

/, -

i f

=

2 V

y

С < г' <

3).

(IV.8)

j - 1

Решение

уравнения

(IV.8) для /13

дает

выражение

/« = 1.07ДЛ -

3,42Д/2 +

1.77Д/,.

(IV.9)

Зная

для

интервала

3 его

приближенное

значение

Д/3= 0 ,2 Д /2,

получаем

Лз =

1.07ДЛ - 3,07Д/2,

(IV. 10)

Лз =

1,07/, -

3,42/2 +

1,77/з - 1>07ЛФ+

3,42/ 2Ф-

1,77/* =

=

1,07/, -

3,42/2 + 1,77Л + С.

( IV. 11)

Поскольку

/* ,

/* , /3 — постоянные

величины,

то

С = const,

т. е. учет

фона i f

не влияет на форму кривой

/ 13, а лишь

см е­

щает ее на постоянную величину С.

Величина фона

в энергетическом интервале

i

может

быт ь

найдена из выражения

l f

= ~г~— I*

*

(IV.12)

* *

b — a J i

a

где Л — глубина скважины;

b, a — пределы

интервала по глуби­

не скважины.

Так как L = / ( h.}, то

П=-пЪлН,)’

0V-13)

j - 1

Рис. 7. Представление

результатов по скважине

№

178.

(IV. 10)

при i f и

i f ,

найденных из

(IV. 13) в интервале от 20

до

21

м,

в котором

1и

/ 2 изменяются

достаточно плавно. На кривой

Аз

(№

7) против

ртутных пластов

ртути видны аномальные

от­