книги из ГПНТБ / Ядернофизические методы анализа и контроля технологических процессов [сборник статей]

гд е

Z. = Z ( £ . ) ,

Z = A,

В,В',

В".

(1.48)

Введем обозначения:

М =

Apmq

+ В

(1.49)

Piз + А 2 Я

(Ж = М (Е ),

поскольку А = А (Е ), В — В (Е ))

и

(1.50)

Определим

ут для

максимума S q,

S q

по у

из условий

(1.51)

=

0. (1.52)

Вычисление

отсюда ут в значительной мере

зависит от

степени

сложности спектра

источника.

личина постоянная:

4- r 2f =

const,

(1.53)

ф =

где г — радиус; / — плотность потока; т. е.

,

Ф

const

(1.54)

4т.г-

г-

d ^

_4__d_

2

(1.57)

dr- '

г

ar

1 г- ’

который вытекает из двукратного

дифференцирования

(1.53) по

г (функция (1.54) является решением

уравнения K f —0) и отли­

чается от радиальной части оператора Лапласа членом 2г-2.

Оператор L характеризует

процесс

сферического расширения

плотности потока точечного источника.

Иначе говоря,

разность

между скоростью оПр притока

у-квантов от точечного

источника

суть

®ут — ®.1Р = Lf.

(1.58)

При отсутствии внутренних для данного единичного

объема

источников и актов поглощения имеем

L f = 0.

(1.59)

образование

у-квантов внутри единичного объема

со

скоростью

^ обр , т о

V

+ ^логл - ^„р - ^обр -

^погл - ^обр =

0 .

(1.60)

v погл

i v

-

(1.61)

Суммируя по всем компонентам, получаем

^погл

2 ^погл

^2агйГ

(1.62)

Тогда (1.60)

примет вид

I

I

(

-

-1- 2 а' л ‘ К = 0 ’

(1.63)

дг

\

i=l

так как скорость v o6p

в нашем

случае равна нулю.

Представим

плотность /

как

/

1,

<?е

(1.64)

тогда (1.63)

дает

=

_д_

■2

I ®= 0 .

(1.65)

дг

/-1

<* =

-

2

( 1.66)

то (1.65) примет вид

г-1

(1.67)

Этому

уравнению удовлетворяет

функция

const

(1.68)

т

= —

•

Тогда

-2

/ =

const ехр

(1.69)

г 3

Если г

г0 — радиусу

источника,

то

в пределе ( '

г0)

должно

получиться

/ =

Фо

ехр

а, яг

(1.70)

Пренебрегая

малостью

г0 в показателе экспоненты,

получаем

/ =

^ 72- е х р ( - г £ < у * г .

(1.71)

£- 1

Было бы ошибочно

записать

взамен (1.63)

уравнение

I f +

/ 2

зл

= о,

(1.72)

потому что оно не дает закона ослабления в форме

(1.71)

(функ­

ция (1.71) не является

решением

уравнения (1.72), что легко про­

верить

непосредственной подстановкой). Аналогично

функция

(1.54) представляет собой решение уравнения

(1.55)

и не являет­

ся решением

уравнения df/dr = 0.

Вот почему

необходимо

было

искать

более

строгий подход

к

построению

дифференциального

источников.

и

(1.15), из

(1.71)

получаем формулу

Учитывая (1.12)

/

= - ^ т е х р

| — rp

0-73)

справедливую для однородной среды вокруг источника.

Нас

интересует

конкретный

случай

ослабления

пучка

слоем

среды

при наличии жесткой коллимации. Рассмотрим

три

отдель­

L f =

0,

0 < г < г „

(1.74)

^ + 2

=

r i < r < r , t

(1.75)

L f = 0,

(1-76)

Л = - А - .

(I-77)

4ur'i

Д ля второго уравнения имеем решение (см. (1.69))

*

const

(1.78)

/ =

—75- ехР

..

const

,

г

N

lira

— g -

e x p ( -

У <угЛ=

Г-*ГУ 9

4

y

const

^

ч

фп

е х р ( - / - ! 2

3Л-)

=

(1.79)

>t

13

откуда следует

Фп

(1.80)

const

=

4 ^ ех р (г ‘ 2 ' а Л ) ’

тогда (1.78)

примет

вид

£ _ Фр

ехр [— (г - г,)

щ]-

(1.81)

7

4w '

В третьей

области

имеем

const

f

(1.82)

Г2

1•

const

const

Ф п

Г

.

,

I

’

lim ■Ф°

exp [ - ( г

-

hm-

r\

г->г2

Г1

Т 4 к г

2

г-*г2

(1.83)

Отсюда

const =

exp [ -

(г2 - r t) 2

=5 «i] •

(1.84)

Следовательно,

(1.82)

окончательно

преобразуется

к

/

=

^

- e x P [ - ( 0

- 0 ) 2 at«/].

(1.85)

Обозначим

через

х =

г2 — гх толщину

пробы и

запишем плот­

ность потока на

расстоянии г2 для

трех

основных компонентов

(1.12),

(1.15),

(1.23),

(1.24),

(1.30),

(1.32),

(1,33):

/ -

Фо ехр

хр0

ЛрозЯ

в

( 1.86)

4тсг.

Р23 + Р12Ч

1 =

ДФ0

ехр

— хр0

Ар03д

+

В

(1.87)

4*4

Р23 + Pi2 ч

Чувствительность

по

q

суть

dl_

Д роз P i 3 Ро X

у

( 1.88)

dq

(р23 + Р\1 q)2

Представим r z

в

виде

г3 =

х -f- r t +

(г3 — г2) = х + d, где

d = const.

(1.89)

Дифференцируя

(1.88)

по х

(с учетом

r z — x - \ - d )

и прирав­

нивая нулю, находим

( m ”f~d) ‘2xr

xmT

=

0.

(1.90)

(x m+ d)3

(xm+ d)“

Т = Ро

+

5 ).

(1.91)

™[Р23-гРпЯ ^

j

Из (1.90)

следует

Tx2m+ (dT +

l ) x m- d = 0 ,

(1.92)

что дает два

решения

~ ( d T + 1) ± V ( d r + l ) - 2 + 4 d r

х mi,2

2Т

(1.93)

v/n —

- ( d T + 1) 4- Y (d T 4 - 1) + 4 d T

(1.94)

2f --------------------

нице

источник — проба

тогда

равна бесконечности ^при d = 0,

х — 0

получим г — 0 и /

=

= оо).

max (x m) = —

тз- + 1) + V(d?о t3 + ip + 4rfPo.

(1.95)

m

2p0 x3

............... 1Тз

Здесь приняты

во внимание равенства (1.36).

Вычислим ш ах (хт )

и ш ах(ут ) при

d

= 5 см:

ш а х (х т) =

_ - (5 -1,3-0 . 17+ 1) +

У (5 -1, 3 -0 , 17+ 1)2+ 4-5. 1,3 -0.17

c m , (1.96)

2 -1,3.0,17

:

max (уп ) =

р0 (шах х т) =

2,6

г-смГ2 .

(1.97)

Д ля

d — 10 см

получим

шах (хт) = 2,46 см,

(1.98)

max ( y j = 3,2 г-см~2 .

(1.99)

Как

видно, это

значение

существенно

отличается от

результата

ного пучка у-излучения. По

мере увеличения

d

(1.92)

переходит

в (1.40)

(после умножения на р0).

Чувствительность на процент q при а =10

см будет

составлять

4,7% от I.

Для сложного пучка у-излучения источника выражение (1.87)

запишем

в дифференциальной форме

дР_ __

D

<ЭФ0

—W

дЕ ~

4r.rl

дЕ ехр

+

В

(1.100)

^ 7*23 + Р\2 Я

1

d<t>0

плотность

потока

в отсутствие по-

где —

й—тб— спектральная

4пгз

o t-

глотителя, т. е . л: в экспоненциальном множителе

равен

нулю.

Интегральная интенсивность определится по формуле

D

. <7Ф„

( 1. 101)

4пг\ J

d E ~dE е х р ( - хТ),

или

д % (£,)

/" =

D

Ь—а

е х Р ( - ^

/ ) -

( 1. 102)

4nr\

k

7=1

Тогда

чувствительность

по q можно найти

из выражения

ь

дГ_

ЯхРозРюдРо

d E A ^ e ~ xT,

(1.103)

dq

4*г1 (р2з + Рп q f

или

S. =

dl"

Рхрозр^дро

b — a

04)

dq

4nr! ( P2з + W v f

.

7=1

удовлетворяющем

условию

ь

ь

(d + х)

6Е

х j d E A

Те~хТ,

(1.105)

или

а

г'

•

(1.106)

7=1

колебаний

плотности

при ее

Выражение (1.31)

можно записать в виде

/ а г / 0 е х р [ - х ( т 3 Ро+

Р03)] , т 23^ 0 . (1.107)

Найдем чувствительность интенсивности I к изменению плот­

ности

ро в дифференциальной

форме:

S =

d l

■I x [

Й"13<7Р3

(1.108)

<7р<>

Ро

здесь

введено обозначение

а = ( Рз2 + Я Р п У 1

(1.109)

h

Hl

(ИЛ)

h

п2 ’

от концентрации с исследуемого

элемента, причем

один канал

цией с исследуемого элемента,

пренебрегая фоновым

излучением

и излучением многократного рассеяния. Скорость счета

в /-м кана­

ле можно представить в виде

« / -

njs +

V

(И.2)

где i , s - индексы флуоресцентного

излучения

однократного

рассеяния.

Тогда

« 1,

=

G U )

п,.

S4

(Д-5)

где о., ^ — константы,

зависящие от

величин дисперсий

и от вы-

бора каналов.

Тогда

(Н.З) принимает

вид

=

n U

+

ап 2s

\ -j—.с

-

(П.6>

71

?Я ц

+

п 2S

зГ + 1

где

1 =

п и п ъ

(Н.7)

По определению

п и — скорость

счета

импульсов

флуорес­

центного

(I)

излучения

в первом

канале,

n.,s — рассеянного (s)

излучения

во

втором

канале.

Последняя

уменьшается

пропор­

ционально концентрации

с исследуемого

элемента

(поскольку

рассеивается

тем меньше

-[-квантов,

чем

больше

поглощается

исследуемым

элементом):

"L-

(П'.8)

т. е.

t'

(‘1-9)

п и ~~с.

Учитывая высокую эффективность относительных величин,

будем нормировать (я”* — л 2*) и п и на

поскольку она

легко

спериментах удобнее находить не

n%s а отношение

п и

(И. 10)

-'1о = - 4 £ ,.

п )о

с

-1

А — Вс

1 — *

(11.14)

1 -

а 1 — Ьа~ ‘ с

’

где А = а 1 ,

В — Ьа -1* — новые

константы.

При с = 0

следует

/г°г =

0,

« .^ = 0 , поэтому

из (11,3) имеем

а =

=

я?* + <

1S

(IL15)

Л+ <

Г *

Индекс 0 указывает на измерения на пустой породе.

Из (11.14)

следует

функциональная зависимость с от

с =

A ft

(11.16)

1 -

f t + в f t

'

ci ~ ci ГФ + СФ \ В,. ~ A l r k = ?1У „:

.(.ILX7)