книги / 949

УДК 539.3/6(078) ББК 30.121я73

К60

Рецензенты:

Р. А. Сабиров, кандидат технических наук, доцент кафедры технической механики СибГАУ; В. Н. Щербань, кандидат технических наук, доцент кафедры ТМ ИГУРЭ

Колесников, А. В.

К60 Сопротивление материалов. Расчет бруса на сложное сопротивление : практикум/ А. В. Колесников, Н. В. Новикова. − Красноярск: ИПКСФУ, 2009. – 84 с.

Приведены краткие сведения по теории сложного сопротивления бруса, условия задач, расчетные схемы, таблицы данных, а также примеры расчета и контрольные вопросы.

Предназначен для студентов специальностей 270102.65 «Промышленное и гражданское строительство»; 270105.65 «Городское строительство и хозяйство»; 270109.65 «Теплогазоснабжение и вентиляция», 270112.65 «Водоснабжение и водоотведение»; 270114.65 «Проектирование зданий»; 270115.65 «Экспертиза и управление недвижимостью» укрупненной группы 270000 «Архитектураистроительство».

УДК 539.3/6(078) ББК 30.121я73

Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

Учебное издание

Колесников Александр Васильевич Новикова Наталья Владимировна

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

РАСЧЕТ БРУСА НА СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

Практикум

Редактор Л. И. Злобина Компьютерная верстка: А. Б. Филимонова

Подписано в печать 20.12.2009. Печать плоская. Формат 60×84/16 Бумага офсетная. Усл. печ. л. 4,65. Тираж 50 экз. Заказ № 1295/09

Издательско-полиграфический комплекс Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 82а

© Сибирский федеральный университет, 2009

© Колесников А. В., Новикова Н. В., 2009

© Оформление, оригинал-макет. ИПК СФУ, 2009

3

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ

В настоящей работе приведены задачи для расчетно-проектиро- вочного задания № 4 по дисциплине «Сопротивление материалов». Выполнению указанных задач должно предшествовать усвоение теоретического материала.

Рассмотрены темы: «Сложное сопротивление бруса», «Внецентренное растяжение (сжатие) стержня», «Изгиб с кручением стержней круглого сечения».

Вариант для конкретного студента преподаватель определяет в соответствии со списочным номером студента и номером группы.

1. СОДЕРЖАНИЕ РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНОГО ЗАДАНИЯ

Задача 1. Косой изгиб балки

Для заданной балки (прил. 1) требуется:

•построить эпюры внутренних силовых факторов в вертикальной

игоризонтальной плоскостях;

•выявить опасное сечение на основании величины внутреннего изгибающего момента;

•из условия прочности подобрать необходимые размеры поперечного сечения, если расчетное сопротивление материала изгибу R =210 МПа, коэффициент условий работы балки γc =1;

•вычислить напряжения в угловых точках сечения балки, построить по этим данным эпюру и вычертить нейтральную линию сечения.

За постоянную нагрузку следует принять сосредоточенные нагрузки, за временную – распределенную нагрузку, при этом коэффициенты надеж-

4

Задача 2. Расчет на прочность при внецентренном растяжении (сжатии)

Чугунный короткий стержень заданного поперечного сечения (прил. 2) сжимается продольной силой F , направленной параллельно оси стержня и приложенной в точке А, как показано на рис. 1.1.

Рис. 1.1

Требуется:

•установить положение главных центральных осей инерции сечения (положение центра тяжести C ) и вычислить главные центральные моменты инерции ( Jx , J y ) и главные радиусы инерции сечения ( ix , iy );

•определить положение нейтральной линии (н. л.) и показать ее на чертеже поперечного сечения стержня;

•определить по чертежу координаты точек сечения, наиболее удаленных от нейтральной линии (опасные точки);

•вычислить наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения, выразив их через силу F и параметры сечения;

•исходя из условия прочности, найти величину нагрузки F , если расчетное сопротивление материала растяжению R t =55 МПа; расчетное

сопротивление материала сжатию R c =160 МПа; γc =1;

•построить эпюру нормальных напряжений от полученной расчетной нагрузки F ;

•рассчитать параметры ядра сечения и изобразить его на чертеже поперечного сечения.

5

Числовые данные к расчетным схемам приведены в табл. 1.2, расчетные схемы – в прил. 2.

Таблица 1.2

Задача 3. Изгиб с кручением круглого вала

На стальном валу закреплен ведущий шкив A . С помощью ременных передач на шкив A передается мощность от двигателя, затем через вал − на ведомые шкивы в равных долях, а далее − к рабочим механизмам.

Угол наклона ветвей ременных передач α показан на рис. 1.2. При расчете собственный вес вала не учитывается.

Рис. 1.2

Требуется:

•вычертить заданную схему вала в аксонометрии, показав все силы, действующие на неё;

•составить расчетные схемы в вертикальной и горизонтальной плоскостях, определив величины поперечных нагрузок;

•построить эпюры изгибающих и крутящих моментов;

•используя четвертую теорию прочности, найти величину диаметра вала, если допускаемое напряжение материала вала [σ]=160 МПа.

6

Числовые данные к расчетным схемам приведены в табл. 1.3, расчетные схемы – в прил. 3.

Задача 4. Расчет пространственного бруса на прочность

Для стального ломаного стержня круглого поперечного сечения

(прил. 4) требуется:

•построить эпюры внутренних силовых факторов – продольных

ипоперечных сил, изгибающих и крутящих моментов;

•выявить опасное сечение и определить величину расчетного момента по третьей теории прочности;

7

2. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ БРУСА

Сложным сопротивлением бруса называют такой вид нагружения, при котором в поперечном сечении возникают два (и более) внутренних силовых фактора, т. е. имеет место сочетание нескольких простых видов деформаций: растяжение и изгиб; кручение, изгиб, сжатие; изгиб в двух плоскостях и сжатие (растяжение).

Расчет брусьев при сложном сопротивлении ведется по принципу независимости действия сил (ПНДС): результат действия на тело нескольких силовых факторов равен сумме результатов от действия каждого фактора

вотдельности. Этот принцип распространяется как на напряжения, так

ина перемещения.

На рис. 2.1 представлен частный случай нагружения бруса внешними силами.

Рис. 2.1

Брус испытывает осевое растяжение от продольной силы N и изгиб в двух плоскостях от моментов M x и M y .

На основании ПНДС нормальные напряжения в произвольной точке K определяем как алгебраическую сумму напряжений от каждого внутреннего фактора:

8

σK = σK (N )+σK (M x )+σK (M y ),

где σK − напряжение в точке K ; σK (N ) − напряжение в точке от про-

дольной силы N; σK (M x ) и σK (M y ) − напряжения в точке соответствен-

но от изгибающего момента относительно оси Ох и от изгибающего момента относительно оси Оу.

При решении задач в случае сложного сопротивления необходимо построить эпюры внутренних силовых факторов в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Рассматривая одновременное действие внутренних усилий и исследуя несколько вероятно опасных сечений по величине результирующего изгибающего момента, выбираем наиболее опасное сечение. Определяем положение главных центральных осей инерции, затем − координаты наиболее опасной точки сечения. Вычисляем максимальные нормальные напряжения σ в этой точке сечения и производим расчет на прочность.

Познакомимся более подробно с некоторыми сложными видами нагружения.

Нагружение стержня, при котором плоскость действия изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции в поперечном сечении стержня, называется косым изгибом. Он может быть чистым (в случае возникновения в поперечном сечении только изгибающих моментов M x , M y ) и поперечным (при возникновении еще

и поперечных сил − Qy , Qx ).

Различают плоский и пространственный косой изгиб. Если вся нагрузка лежит в одной плоскости, которая называется силовой и составляет определенный угол с главной плоскостью инерции стержня, то это плоский косой изгиб (упругая линия при этом представлена плоской кривой). Пересечение силовой плоскости с плоскостью поперечного сечения обра-

зует силовую линию.

Если нагрузки лежат в разных продольных плоскостях, то это пространственный изгиб. Упругая линия стержня в каждой её точке является пространственной кривой.

На рис. 2.2, а изображена консольная балка прямоугольного сечения, загруженная силой F , приложенной под углом ϕ к плоскости, которая проходит через центр тяжести и совпадает с главной центральной осью Оу.

9

таким образом, плоскость S − плоскость действия внешних сил (изгибающего момента) − не совпадает ни с одной из главных осей инерции.

Рис. 2.1

Силу F раскладываем на составляющие по координатным осям:

Fx = F sin ϕ;

Fy = F cosϕ,

которые в произвольном сечении на расстоянии z от свободного конца создают изгибающие моменты относительно осей Ox и Oy :

Нормальные напряжения в точке K определяются по формуле

Точка K находитсявзонерастяжения, которуюсоздаютсилы Fx и Fy . Нейтральная линия (н. л.) проходит через центр тяжести сечения

10

и делит поперечное сечение на две зоны: растяжения и сжатия, но при этом она не перпендикулярна плоскости действия изгибающего момента. При косом изгибе действием касательных напряжений τ пренебрегаем.

Положение нейтральной линии определяем следующим образом:

где α − угол наклона нейтральной линии к оси Ох. Откладываем α от главной оси Ох в том же направлении, что и угол ϕ, − от оси Оy .

Максимальные (расчетные) напряжения в опасном сечении будут в точках, наиболее удаленных от н. л., – точках А и В (рис. 2.2, б). Для них составляем условия прочности и выполняем расчет на прочность. Условия прочности для опасных точек в зонах растяжения и сжатия соответственно:

опасных точек в зонах растяжения и сжатия (см. рис. 2.2, б).

Для сечений с двумя осями симметрии и выступающими углами определение положения опасных точек производится визуально. Это те угловые точки, в которых напряжения от изгибающих моментов M x и M y

имеют один и тот же знак. Координаты этих точек имеют наибольшие значения − xmax и ymax . Осевые моменты сопротивления вычисляем по формулам:

Максимальные напряжения в опасных точках