книги / 949
.pdf21
|
|
|
|
(z = A)= A A− |
qx |
A2 |
D |
|
2 |
|
|
|
||
|
|
M |
y |
|
|
= |
0,25 qA A−0,5 q sin 30 |
A |
|
= 0 ; |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qx (0,5A)2 |
|
|
|
D |
2 |
||||
M |
y |
(z = 0,5A)= A 0,5A− |
|
|
|
|
= 0,25 qA 0,5A−0,5 q sin 30 |
(0,5A) |
= |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=qA2 (0,125 −0,0625)= 0,0625 qA2 .
3.Из условия прочности в опасном сечении определяем несущую способность обрешётины, т. е. величину расчетной нагрузки qрасч .
|
|
|
|
|
|
|
|
σmax = |
M |
x |
+ |
M y |
≤ R , |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Wx |
Wy |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
σmax |
= |
0,107 qA2 |
+ |
0,625 qA2 |
≤ R . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
bh2 |
6 |
|
|
hb2 6 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Отсюда получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
qрасч ≤ |
|
|
|
|
R |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
10 106 |
|
|
|
=1507,7 Н/м= |
||
6A2 |
0,107 |
+ |
0,0625 |
|
|
6 22 |
|
0,107 |
+ |
0,0625 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
h |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,05 |
0,18 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
bh |
|
|
|
0,18 0,05 |
|
|
|
=1,508 кН/м.
Второй способ решения
4. Строим эпюру изгибающих моментов в силовой плоскости (рис. 2.8).
Рис. 2.8
22
Изгибающие моменты в плоскостях осей x и y сечения обрешётины:
M x = Mu cosα, M y = Mu sin α.
Из условия прочности в опасном сечении рассчитываем несущую способность обрешётины, т. е. определяем величину расчетной нагрузки qрасч :
σmax = |
M |
x + |
M y |
= |
M |
u |
cos α |
+ |
sin α |
≤ R |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Wy |
|
|
1 |
3,6 |
|||||||
|
Wx |
|
Wx |
|
|
|
или
qA2 |
sin α |
≤ R , |
||
|
cos α+ |
3,6 |
|
|
|
||||
8 Wx |
|
|
откуда
qрасч ≤ |
|
|
R 8 W |
x |
|
= |
|
10 106 75 10−6 8 |
|
=1,5 кН/м. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
A |
2 |
|
sin α |
2 |
2 |
|
D |
+ |
sin 30D |
|||||
|
|
cos α+ |
3,6 |
|
|
|
cos30 |
|
3,6 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Определяем полный прогиб в середине пролета. Используем известную зависимость прогиба в середине пролета для заданного нагруже-
ния [9, табл. 27. С. 297]:
f = 5qA4 . 384EJ
Тогда полный прогиб для заданного косого изгиба обрешётины определяется как геометрическая сумма прогибов в плоскостях осей x и y :
|
|
2 |
|
2 |
|
|
5 q cos30D A4 |
2 |
|
5 q sin 30D A4 |
2 |
|
f = |
f |
x |
+ f |
y |
= |
|
|
|
+ |
|
|
= |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
384 EJx |
|
|
384 EJx |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
= |
5qA4 |
(cos30D)2 +(sin 30D)2 = |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
384 EJx |
|
|
|
= |
|
5 1,508 24 12 |
(0,866)2 +(0,5)2 |
= |
||
|
2 105 103 0,18 (0,05)3 |
|||||
384 |
|
|
= 83777,78108 0,999978 =83775,94 10−8 м= 0,84 мм.
Ответ: наибольшая допускаемая величина нагрузки составила qрасч =1,5 кН/м, а полный прогиб обрешётины в середине её пролета –
f = 0,84 мм.
Пример 2.3
Деревянная балка прямоугольного поперечного сечения, шарнирно опертая по концам (шаровые шарниры), нагружена в середине пролета сосредоточенной силой F =8 кН (рис. 2.9, а, 2.10, а). Плоскость действия
нагрузки составляет угол ϕ =12D с вертикальной плоскостью, проходящей через ось балки (рис. 2.9, а). Определить нормальные напряжения в точках A , B , C и D сечения; построить эпюры напряжений по сторонам сечения балки при величине расчетного сопротивления R =10 МПа; A =1,5 м; b =12 см; h = 20 см. Проверить прочность балки.
а |
б |
Рис. 2.9
Решение
1. Определяемосновныегеометрическиехарактеристикисечениябалки:
• осевые моменты инерции:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jx = |
b h3 |
|
|
12 203 |
4 |
J y = |
h b3 |
|
|
20 123 |
4 |
|||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
= 8000 см ; |
|
|
= |
|
|
|
= 2880 см ; |
|||||||
12 |
|
|
|
12 |
|
12 |
|
12 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
• моменты сопротивления: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
W = |
|
J |
x |
|
8000 |
3 |
W |
|
|
|
J y |
|
2880 |
|
3 |
|||||||
|
|
= |
|
|
|
= 80 см ; |
y |
= |
|
|
|
= |
|
|
= |
480 см . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
ymax |
|
|
10 |
|
|
|
|
xmax |
|
6 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Рассчитываем внутренние изгибающие моменты в сечении балки и строим их эпюры в вертикальной (рис. 2.10, б) и горизонтальной (рис. 2.10, в) плоскостях.
Из построенных эпюр очевидно, что опасным сечением является сечение в середине пролета балки. При этом вертикальная проекция приложенной силы Fy растягивает нижние волокна балки, а верхние сжимает.
Горизонтальная проекция силы Fx растягивает правые волокна, а левые – сжимает (рис. 2.9, б).
а
б
в
Рис. 2.10
3. Определяем нормальные напряжения в угловых точках опасного сечения.
Формула нормальных напряжений для любой точки сечения имеет вид
25
|
cos ϕ |
|
sin ϕ |
|
|||
σ = M |
|
|
|
y + |
|
|
x , |
J |
|
J |
|
||||
|
max |
x |
|
y |
|
||
|
|
|
|
|
|
или
|
F A |
cos ϕ |
|
sin ϕ |
|
|
8 1,5 100 |
|
0,9823 |
|
0,1874 |
|
|
|
|
σ = |
|
|
|
y + |
|
x |
= |
|
|
|
y + |
|
x |
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
4 |
|
Jx |
|
J y |
|
|
4 |
8000 |
|
2880 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ±0,0368 y ±0,0195 x .
Первое слагаемое в полученном выражении соответствует изгибающему моменту в вертикальной плоскости M x , второе – моменту в горизонтальной плоскости M y . Знаки слагаемых принимаем в зависимости от
действия соответствующего изгибающего момента на рассматриваемом волокне – растяжение « +», сжатие «–» (рис. 2.9, б, 2.11). Координаты точки x и y принимаем c положительным знаком вне зависимости от поло-
жения рассматриваемой точки относительно осей Ox и Oy .
Рис. 2.11
26
Напряжение в точке A ( xA = −6 см; yA =10 см):
σA = −0,0368 10 +0,0195 6 = −0,251 кН/см2 = −2,51 МПа.
Напряжение в точке B ( xB = 6 см; y B =10 см):
σB = −0,0368 10 −0,0195 6 = −0,485 кН/см2 = −4,85 МПа.
Напряжение в точке C ( xC = 6 см; yC = −10 см):
σC = 0,0368 10 −0,0195 6 = 0,251 кН/см2 = −2,51 МПа.
Напряжение в точке D ( xC = −6 см; yC = −10 см):
σC = 0,0368 10 +0,0195 6 = 0,485 кН/см2 = 4,85 МПа.
Строим эпюру нормальных напряжений σ в точках сечения балки (рис. 2.11) и в аксонометрии (рис. 2.12).
4. Проверяем прочность балки.
В опасной точке поперечного сечения
σmax = σD = 4,85 МПа< R =10 МПа;
так как условие выполняется, прочность балки обеспечена.
Рис. 2.12
27
Из рис. 2.12 видно, что через точки пересечения эпюры напряжений поперечного сечения проходит нейтральная линия (II и IV четверти сечения и центр тяжести).
Ответ. Напряжения в характерных точках сечения составляют:
σA = −2,51 МПа; σB = −4,85 МПа; σC = 4,85 МПа; σD = 2,51 МПа. Проч-
ность балки в опасных точках обеспечена.
3. ВНЕЦЕНТРЕННОЕ РАСТЯЖЕНИЕ (СЖАТИЕ) СТЕРЖНЯ
Этот вид нагружения прямолинейного бруса возникает тогда, когда линия действия внешней силы параллельна оси стержня, а точка ее приложения не совпадает с центром тяжести его сечения.
В общем случае внецентренное растяжение (сжатие) можно рас-
сматривать как комбинацию чистого косого изгиба и центрального растяжения (сжатия). На рис. 3.1, а представлен случай внецентренного растяжения бруса. Точка приложения силы F называется полюсом, расстояние от центра тяжести сечения до полюса − эксцентриситетом ( e ).
а |
б |
Рис. 3.1
28
Из рис. 3.1, а видно, что N = +F ; M x = F yF ; M y = F xF . Внутренние силовые факторы не зависят от z , и их действие распро-
страняется на любое поперечное сечение. Напряжение в точке K, находящейся в I четверти, определяется по формуле
σK = σK (N )+σK (M x )+σK (M y );
σK = |
N |
+ |
M |
x |
yK + |
M y |
xK , |
A |
|
|
J y |
||||
|
|
Jx |
|
где Jx , J y − главные центральные моменты инерции; N, M x , M y − внут-
ренние усилия.
xF , yF и xK , yK − координаты полюса и исследуемой точки K; они
положительны, так как находятся в I четверти (рис. 3.1, б). От каждого внутреннего силового фактора σ будут растягивающими, поэтому все слагаемые входят в формулу σK с положительными знаками. При определе-
нии σK применили принцип независимости действия сил. |
|
||||||||||||||||||
Обозначим |
Jx |
= ix2 |
; |
J y |
= iy2 |
− квадраты радиусов инерции относи- |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
A |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
||
тельно главных центральных осей. Вынесем за скобку |
A |
. |
|||||||||||||||||
Тогда зависимость для напряжений примет вид |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
= ±F |
|
|
x |
F |
x |
K |
|
y |
F |
y |
K |
|
|
|
|
|
|
σ |
K |
1 + |
|
|
+ |
|
|
. |
|
(3.1) |
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iy |
|
|
|
|
ix |
|
|
|
|
Знак «+» или «−» перед формулой зависит от направления силы F и от того, растяжение или сжатие создает эта сила. Координаты полюса и исследуемых точек ставятся с соответствующими знаками в системе координат главных центральных осей.
Положение нейтральной линии определяется из условия, что напря-
жения в её точках равны нулю ( σ |
н. л. |
= 0 ). Так как F |
A |
≠ 0 |
, то нулю в (3.1) |
||||
равно выражение в скобке: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 =1 + |
xF xK |
+ |
yF yK |
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
iy2 |
|
|
ix2 |
|
|
|
29
Из аналитической геометрии известно уравнение прямой линии в отрезках:
y |
+ |
x |
=1, |
|
|
||
ay |
ax |
где
|
i2 |
iy2 |
|
||
ay = − |
x |
; ax = − |
|
. |
(3.2) |
|
|
||||
|
yF |
xF |
|
Выражения (3.2) называются уравнением нейтральной линии в от-
резках. Из него видно, что нейтральная линия при внецентренном растяжении (сжатии) представляет собой прямую, не проходящую через центр тяжести сечения и отсекающую от осей координат отрезки ax и ay со сто-
роны, противоположной полюсу. Нейтральная линия делит плоскость сечения бруса на две зоны: растянутую и сжатую. Для конструкций, выполненных из хрупкого материала, наличие этих двух зон нежелательно, так как материал сопротивляется растяжению хуже, чем сжатию.
Наибольшие напряжения будут в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии сечения. Для этих точек должны выполняться условия прочности:
|
|
|
σmax= ± |
F |
|
|
|
|
y |
F |
|
|
|
|
|
x |
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
|
|
|
y |
c |
+ |
|
x |
|
≤ R |
|
γ |
c |
, |
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
c |
|
A |
|
|
|
|
|
|
c |
c |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ix |
|
|
|
iy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
yF |
|
|
|
|
xF |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
σmax = ± |
|
|
|
|
y |
|
|
x |
≤ R |
|
|
|
|
, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
+ |
|
|
+ |
|
|
γ |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
t |
|
A |
|
|
i2 |
|
t |
|
|
t |
|
t |
|
|
c |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где y , x ; y |
, x |
t |
− координаты опасных точек в сжатой и растянутой зонах |
|||||||||||||||||||||||||
c c t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соответственно.
Если полюс силы лежит на одной из главных осей инерции сечения, то перед нами плоский случай внецентренного растяжения (сжатия).
Из условий прочности (3.3) можно выполнить любой расчет на прочность: проверочный, проектировочный, и вычислить несущую способность.
30
На основе формул (3.2) можно определить форму и размеры ядра сечения. Ядром сечения называется область вокруг центра тяжести, обладаю-
щая таким свойством: если приложенная нагрузка расположена в области ядра, то нормальные напряжения во всех точках сечения имеют один знак, а нейтральная линия либо касается поперечного сечения, либо выходит за его пределы. И тогда напряжения будут одного знака, образуя только одну зону − растяжения или сжатия, в зависимости от приложенной нагрузки.
Положение ядра сечения важно знать для конструкций, выполненных из хрупкого материала, который сопротивляется растяжению и сжатию неодинаково.
Примеры расчета
Пример 3.1
Для чугунного короткого стержня заданного поперечного сечения, сжимаемого продольной силой F , приложенной параллельно оси стержня в точке K (рис. 3.2), требуется:
• установить положение главных центральных осей инерции сечения (положение центра тяжести т. C ) и вычислить главные моменты ( Jx , J y ) и главные радиусы инерции сечения (ix , iy );
•определить положение нейтральной линии и показать ее на чертеже поперечного сечения стержня;
•определить по чертежу координаты точек сечения, наиболее удаленных от нейтральной линии (опасные точки);
•вычислить наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения, выразив их через силу F и параметры сечения;
•исходя из условия прочности, найти величину нагрузки F , если
расчетные сопротивления материала растяжению и сжатию R t =55 МПа, R c =160 МПа; коэффициент условий работы γc =1;
• построить эпюру нормальных напряжений от полученной нагрузки Fн , коэффициент надёжности по нагрузке γf =1,1;
• определить размеры ядра сечения и изобразить его на чертеже поперечного сечения.
Исходные данные: b =20 см; xF = b =20 см.