книги / 949

41

Решение

1. Выписываем из сортамента для заданного профиля – двутавра № 50 – размеры и геометрические характеристики:

2. Определяем отрезки, отсекаемые нейтральной линией на главных центральных осях сечения Ox и Oy . При заданном положении н. л. по оси

Oy она отсекает отрезок, равный половине высоты двутавра, а по оси Ox – отрезок, равный 14 ширины полки b , т. е.

ax = −4,25 см; ay = 25 см.

Определяем координаты точки приложения сжимающей силы F , соответствующие нейтральной линии:

42

Показываем точку приложения силы F на рис. 3.8.

Ответ: при заданном положении нейтральной линии сечения коор-

динаты силовой точки силы составляют: xF = 2,45 см; y F = −15,84 см.

4. ИЗГИБ С КРУЧЕНИЕМ СТЕРЖНЕЙ КРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ

Изгиб с кручением − такой вид сложного сопротивления, когда в сечении действуют изгибающий и крутящий моменты.

Опасным является сечение, в котором результирующий момент

где Мz ≡ Мкр достигает наибольшего значения.

Для выявления опасного сечения строим эпюры изгибающих моментов (в вертикальной Мy и горизонтальной Мx плоскостях, если это необ-

ходимо при решении задачи) и крутящих моментов. Затем, рассматривая одновременное действие внутренних силовых факторов, определяем опасные сечения и для каждого из них рассчитываем результирующий момент.

При изгибе вала с круглым или кольцевым поперечным сечением в каждом сечении возникает изгиб под действием результирующего изги-

бающего момента

Mи = M x2 + M y2 .

Для проверки прочности при изгибе с кручением используем одну из

теорий прочности. По принятой теории определяем приведенный момент в опасном сечении. Расчет элементов конструкций, испытывающих де-

формацию изгиба с кручением, ведем по методу расчетных предельных состояний [2].

1. Гипотеза наибольших касательных напряжений (III теория прочности):

σIIIэкв = σ1 −σ3 ≤[σ],

или

σIIIэкв = σ2 + 4τ2 ≤[σ],

45

Требуется:

•вычертить схему вала в двух проекциях в соответствии с числовыми данными;

•составить расчетные схемы в вертикальной и горизонтальной плоскостях, определив величины горизонтальных и вертикальных нагрузок;

•построить эпюры изгибающих и крутящих моментов в двух взаимно перпендикулярных плоскостях;

•используя энергетическую теорию прочности (IV теория прочности), найти необходимый диаметр вала, если допускаемое напряжение ма-

териала вала [σ]=160 МПа.

Решение

1.Вычерчиваем в масштабе схему вала в двух проекциях (см. рис. 4.1).

2.Рассчитываем крутящие моменты в шкивах:

• на ведущем шкиве

Mк = 7162 Nn = 7162 12020 =1191 Н м =1,191 кНм;

Рис. 4.1

• на каждом из трех ведомых шкивов:

Mк1 = M3к =1,1913 = 0,397 кНм.

46

3. Определяем действующие нагрузки на шкивах.

Натяжение ремней на ведущем шкиве определяется из соотношений:

Mк =(T1 −t1 ) R1=t1 R1 ,

t1 = Mк =1,191 =7,95 кН. R1 0,15

Суммарная вертикальная нагрузка на ведущем шкиве:

F 1в=3t1 = 23,9 кН.

Натяжение ремней на ведомых шкивах определяем из соотношения

Mк1 =(T2 −t2 ) R2 =t2 R2 =t3 R1,

Вертикальная нагрузка на ведомых шкивах:

F в2= F′ cos 45D = 4,77 0,707 =3,37 кН,

F 3в= F′′=7,95 кН;

горизонтальная нагрузка F г2= F′ sin 45D = 4,77 0,707 =3,37 кН.

Изображаем схему нагружения стержня в вертикальной и горизонтальной плоскостях (рис. 4.2, а).

4. Строим эпюры изгибающих моментов (в двух плоскостях) и крутящих моментов.

47

Вертикальная плоскость (рис. 4.2, б)

Определяем опорные реакции:

∑Mв = F 1в (a +b +c + d )−VAв (b +c + d )+ F2в (c + d )+ F в2 d − F 3в a = 0;

VAв = F 1в(a +b +c + d )+ F в2(c + d )+ F в2 d − F 3в a = (b +c + d)

= 23,9 0,6 +3,37 0,35 +3,37 0,1 −7,95 0,1 =30,46 кН; 0,5

∑M A = F 1в a − F в2 b +VBв (b +c + d )− F в2(b +c)− F 3в(a +b +c + d )= 0 ;

VBв = −F 1в a + F в2(b +c)++F в2+b + F 3в(a +b +c + d ) =

(b c d)

= −23,9 0,1 +3,37 0,35 +3,37 0,15 +7,95 0,6 =8,13 кН. 0,5

Проверка: ∑Fiy = −F 1в− F в2− F в2− F 3в+VAв +VBв =

= −23,9 −3,37 −3,37 −7,95 +30,46 +8,13 = 0 .

Изгибающие моменты в характерных сечениях A , Д , E , B :

M Aв = −F1 a = −23,1 0,1 =–2,39 кНм;

M вД = −F1 (a +b)+VАв b = −2,39 0,25 +30,46 0,15 =−1,41 кНм;

M Ев = −F3 a = −7,95 0,1 =–0,795 кНм;

M Bв = −F3 (a + d )+VBв d = −7,95 0,25 +8,13 0,15 =−0,77 кНм.

Строим эпюру моментов в вертикальной плоскости M в (рис. 4.2, в).

48

а

б

в

г

д

е

ж

Рис. 4.2

49

Горизонтальная плоскость (рис. 4.2, г)

Определяем опорные реакции:

∑M B = F2г (c + d )−VAг (b +c + d )+ F2г d = 0 ;

Изгибающие моменты в характерных сечениях Д и E :

M гД = M Ег =VАг b =3,37 0,15 = 0,51 кНм.

Строим эпюру изгибающих моментов в горизонтальной плоскости

M г (рис. 4.2, д).

Геометрически суммируя M в и M г (моменты в вертикальной и горизонтальной плоскостях), строим суммарную эпюру Mи (рис. 4.2, е). Для это-

го определяем изгибающие моменты в характерных сечениях A, Д , E , B :

Ординаты эпюры Mи условно показываем в одной плоскости. Здесь же строим эпюру крутящих моментов Mк (рис. 4.2, ж).

5. Определяем опасное сечение по эпюрам Mи и M к . Опасным является сечение A, так как именно в этом сечении изгибающий и крутящий моменты достигают наибольших значений: Mи= 2,39 кНм; Mк = 1,191 кНм.

50

6. Из условия прочности по IV теории вычисляем требуемый момент сопротивления:

Округляем полученный диаметр до ближайшего нормального диаметра по ГОСТ 6636−60, принимаем d = 40 мм.

Пример 4.2

Для стального ломаного бруса круглого поперечного сечения (рис. 4.3)

требуется:

•построить эпюры внутренних силовых факторов – продольных

ипоперечных сил, изгибающих и крутящих моментов;

•выявить опасное сечение и определить величину расчетного момента по III теории прочности;

•определить несущую способность ломаного стержня из условия прочности в опасном сечении.

Допускаемое напряжение материала стрежня [σ]=160 МПа. Расчетные данные: F = qA; M = qA2 ; q =30 кН/м; A =1 м; d =15 мм.

Расчет

1. Определяем внутренние усилия на каждом участке ломаного стержня и строим эпюры внутренних силовых факторов (рис. 4.4).