рующий, поисковый, лабораторный, производственный и др.). Какой тип эксперимента осуществляется?

19. Форма представления результатов (статья, отчет, программа и др.). В какой форме будут описаны результаты?

6. Методы математического планирования эксперимента

Цель: используя методы планирования эксперимента получить математическую модель изучаемого процесса в аналитическом виде при отсутствии сведений о механизме процесса

Задачи:

−определение класса и структуры математических моделей исследуемого явления;

−освоение методики составления матрицы планирования полного и дробного факторного эксперимента;

−научиться обоснованно выбирать уровни и интервалы варьирования факторов;

−уметь рассчитывать коэффициенты уравнения регрессии в безразмерном и натуральном масштабе, давать оценку влияния факторов;

−научиться определять является ли полученное уравнение адекватным эксперименту.

Рекомендуемая литература

Адлер, Ю. П. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий / Ю. П. Адлер, Е. В. Маркова, Ю. В.Грановский. – М. : Наука, 1976.

– С. 47–133.

Ахназарова, С. Л. Методы оптимизации эксперимента в химии и химической технологии / С. Л. Ахназарова, В. В. Кафаров. – М. : Высш. шк., 1985.

– С. 159–174.

Винарский, М. С. Планирование эксперимента в технологических исследованиях / М. С. Винарский, М. В. Лурье. – Киев : Техника, 1975. – С. 4– 22.

Казаков, Ю. Б. Методы планирования эксперимента: Конспект лекций по предмету [Электронный ресурс] / Ю. Б. Казаков. – Режим доступа : http:// elib.ispu.ru / library / lessons / Kazakov.

Кравцова, Е. Д. Статистическая обработка и планирование инженерных экспериментов в вопросах и задачах / Е. Д. Кравцова, Э. М. Никифорова. –

Красноярск, 2007. – С. 21–102.

Ходасевич, Г. Б. Планирование эксперимента [Электронный ресурс] /

Г. Б. Ходасевич. – Режим доступа : http://pds.sut.ru/electronic_manuals/pe.

Вопросы по теме 6

6.1. Что значит модель исследования? 20

6.2.Каковы критерии выбора модели исследования?

6.3.Что представляют из себя полиномы разных степеней? Как узнать, сколько коэффициентов будет в полиноминальной модели?

6.4.Что такое граница области определения фактора?

6.5.Что такое фактор? Какими свойствами обладают факторы?

6.6.Какие факторы могут быть включены в активный эксперимент?

6.7.Каковы требования к совокупности фактов?

6.8.С чего начать эксперимент, если факторов, влияющих на объект исследования много? Как выделить наиболее существенные факторы?

6.9.Что такое полный факторный эксперимент?

6.10.Как рассчитать число опытов, необходимых для реализации полного факторного эксперимента (ПФЭ)?

6.11.Что такое план эксперимента, матрица планирования?

6.12.Как составить план-матрицу полного факторного эксперимента?

6.13.Как вводится буквенное обозначение строк?

6.14.Как составить план полного факторного эксперимента для двух и трех факторов?

6.15.Какими свойствами обладает ПФЭ? Что такое ортогональный план? Какие планы отвечают условию ротатабельности?

6.16.Как выбрать основной уровень фактора? Как выбрать интервал варьирования?

6.17.Как определить уровни у качественных факторов?

6.18.Для чего и как производится кодирование факторов?

6.19.Какой вид имеет полином второй степени для трех факторов?

6.20.Приведите нижеследующее эмпирическое выражение к полиному

(A, C и D – константы): ω = λА (1/τ)C exp(−Dτ2).Чему равна степень полученного полинома? Сколько факторов в данном полиноме?

6.21.Сколько коэффициентов будет в полиноме второй степени для пяти факторов? В полиноме третьей степени для трех факторов?

6.22.Рассчитайте количество опытов для полного факторного эксперимента с k факторами на p уровнях: p =2, k = 3; p =3, k = 2; p =3, k = 3.

6.23.Изучается влияние четырех факторов. На какое количество экспериментов измениться план полного факторного эксперимента при переходе с двухуровнего плана на трехуровневый?

6.24.Чему равно расстояние на координатной оси между основным и верхним (или основным и нижним) уровнем фактора?

6.25.Основной уровень фактора = +8, интервал варьирования = +4. Рассчитайте верхний (+1) и нижний (−1).уровень фактора.

6.26.Основной уровень фактора = +10, интервал варьирования = +4.Чему будет равно натуральное значение фактора на уровне +2?.

6.27.Основной уровень фактора = +8, интервал варьирования = +1, Найдите уровень фактора, соответствующий натуральному значению

фактора +6.

6.28. От чего зависит количество опытов в полном факторном экспе21

рименте: а) числа уровней факторов, б) стоимости исследований, в) количества факторов, г) длительности эксперимента, д) имеющихся ресурсов.

6.29.Каковы основные этапы проведения и обработки результатов полного факторного эксперимента?

6.30.Для чего опыты необходимо повторять несколько раз? Где планируются параллельные опыты?

6.31.Для чего необходимо знать дисперсию опытов? Как оценить однородность дисперсий в разных строчках плана?

6.32.Как рассчитать дисперсию всего эксперимента и дисперсии коэффициентов?

6.33.Как рассчитать коэффициенты, если опыты дублируются и откликов в каждой сточке несколько?

6.34.В каком случае рассчитанный коэффициент считается статистически значимым?

6.35.Что такое остаточная дисперсия?

6.36.Как проверить адекватность уравнения эксперименту?

Практическое задание 1 по теме 6

Для трех перечисленных ниже процессов оцените максимальное и минимальное значение температуры (верхний и нижний уровни), при которых с вашей точки зрения целесообразно проводить эксперимент. А) влияние температуры воды на скорость растворения в ней кристаллов соли; Б) влияние температуры кровезаменителя на скорость размножения

микроорганизмов; В) влияние температуры в печи на скорость сушки глиняных изделий.

С какой точностью вы бы предложили поддерживать температуру в этих процессах? Во сколько раз в предложенных Вами вариантах выбора уровней температуры интервал варьирования превосходит погрешность измерения?

Многовариантное практическое задание 2 по теме 6

По нижеследующим данным выберите значения:

−нулевого уровня (z10 ) и шага ( z1) первого фактора;

−нулевого уровня (z20 ) и шага ( z2) второго фактора;

−значения отклика для четырех опытов, проведенных в соответствии

сосновным планом эксперимента (ab, b, a, –1), и для нескольких результатов параллельных опытов, поставленных в центре плана

22

По буквенным обозначениям строк восстановите вектор-столбцы матрицы планирования эксперимента и рассчитайте вектор-столбец двойного взаимодействия.

Рассчитайте коэффициенты регрессионной модели.

Проверьте статистическую значимость коэффициентов уравнения регрессии, воспользовавшись результатами опытов в центре плана.

Проверьте адекватность модели.

Представьте графическую зависимость отклика от первого и второго фактора.

Воспользовавшись соответствующими значениями z0 и z, переведите полученное уравнение регрессии из безразмерного масштаба в натуральный.

Проанализируйте полученное уравнение, напишите выводы и рекомендации.

Многовариантное практическое задание 3 по теме 6

По номеру вашего варианта выберите соответствующие данные

Примечание. Дублирование неравномерное: часть откликов может отсутствовать;

−рекомендуемый уровень значимости – 0,02;

−центр плана и интервал варьирования для первого фактора –0,5 ±

0,3;

−центр плана и интервал варьирования для второго фактора 1,0 ± 0,8;

−полученные после реализации эксперимента отклики.

По буквенным обозначениям строк восстановите вектор-столбцы матрицы планирования эксперимента и рассчитайте вектор-столбец двойного взаимодействия.

Рассчитайте в каждой строке матрицы планирования дисперсию и проверьте однородность дисперсий.

Проверьте, есть ли грубые измерения и отбросьте их.

По средним значениям откликов, оставшихся после отброса грубых измерений, рассчитайте коэффициенты регрессионной модели.

Проверьте статистическую значимость коэффициентов полученного уравнения регрессии.

Проверьте адекватность модели.

23

Представьте графическую зависимость отклика от первого и второго фактора.

Воспользовавшись соответствующими значениями z0 и z, переведите полученное уравнение регрессии из безразмерного масштаба в натуральный.

Напишите выводы и рекомендации.

7. Статистический анализ и обработка результатов эксперимен-

та

Цель: определить методы и объемы статистического анализа обработки результатов эксперимента

Задачи

−определение состава и объема дополнительных измерений, анализ, выбраковка аномальных и восстановление пропущенных измерений;

−выбор методов статистической обработки и проверка законов распределения экспериментальных данных, оценка параметров и числовых характеристик наблюдаемых случайных величин или процессов;

−выявление статистических связей и взаимовлияния различных измеряемых факторов и результирующих переменных, последовательных измерений одних и тех же величин, обработка методами регрессионного анализа;

−выдвижение гипотез о структуре взаимосвязи переменных, структуре модели объекта исследований.

Рекомендуемая литература

Бессонов, А. А. Введение в лабораторный практикум по физике [Электронный ресурс] / А. А. Бессонов. – Режим доступа : http://teachmen.csu.ru/methods.

Зайдель, А. Н. Элементарные оценки ошибок измерения / А. Н. Зай-

дель. – Л. : Наука, 1967. – С. 3–23, 42–63.

Кравцова, Е. Д. Статистическая обработка и планирование инженерных экспериментов в вопросах и задачах / Е. Д. Кравцова, Э. М. Никифорова. –

Красноярск, 2007. – С. 25–44.

Монтгомери, Д. К. Планирование эксперимента и анализ данных : пер. с англ. / Д. К. Монтгомери. – Л. : Судостроение, 1980. – С. 15–34.

Ходасевич, Г. Б. Планирование эксперимента [Электронный ресурс] /

Г. Б. Ходасевич. – Режим доступа : http://pds.sut.ru/electronic_manuals/pe.

Шабалин, С. А. Прикладная метрология в вопросах и ответах / С. А. Шабалин. – М. : Изд-во стандартов, 1990. – С. 41–119.

Вопросы по теме 7

7.1. Какие факторы влияют на возникновение погрешностей? Как

24

можно классифицировать погрешности измерений?

7.2.Что такое грубое измерение?

7.3.Что называется систематической погрешностью?

7.4.Что называют случайной погрешностью? Как ее снизить?

7.5.Как рассчитываются абсолютная и относительная погрешность?

7.6.Совпадают ли понятия точности и правильности измерений?

7.7.Что такое нормальный закон распределения случайной величины?

7.8.Как рассчитываются средняя квадратичная и средняя арифметическая погрешность?

7.9.Что такое надежность измерения и доверительный интервал? Как правильно выбрать степень надежности?

7.10.Где и как применяется коэффициент Стъюдента?

7.11.Каков порядок обработки результатов прямых измерений?

7.12.Как сравнить случайные погрешности и погрешности приборов? Как учитывается приборная погрешность?

7.13.Чем косвенные измерения отличаются от прямых?

7.14.Каков порядок обработки однократных косвенных измерений и определения их погрешностей?

7.15.Как рассчитать случайную погрешность косвенных измерений?

7.16.Как правильно записать окончательный результат косвенных из-

мерений?

7.17.Как обнаружить и исключить грубые ошибки (промахи)?

7.18.Что такое критерий «трех сигм»?

7.19.1. Какие виды зависимостей имеют место для случайных вели-

чин?

7.20.2. В каких случаях можно констатировать наличие корреляционной взаимосвязи двух случайных величин?

7.21.3. Как построить поле корреляции? Какие выводы можно сделать, изучив поле корреляции?

7.22.4. Как количественно оценить тесноту связи между двумя случайными величинами?

7.23.5. Какие связи между случайными величинами характеризует коэффициент частной корреляции?

Практические задания по теме 7

7.1. Подтвердите, что 10 является грубым измерением среди

4; 6; 6; 4; 10.

7.2.Проверьте, есть ли грубые среди следующих измерений: 50, 53, 58, 49, 46, 75, 52.

7.3.Какие измерения с вероятностью 99 %, 95 % и 90 % можно отне-

сти к промахам − 22, 24, 28, 30?

7.4. По данным параллельных наблюдений − 28,51; 29,62; 28,83 рассчитайте среднюю абсолютную ошибку, среднюю относительную ошибку; среднюю квадратичную ошибку при доверительной вероятности 0,80 и 0,95.

25

Многовариантное практическое задание 1 по теме 7

Константа скорости химической реакции от температуры меняется по экспоненциальному закону, установленному Аррениусом:

k = z0 exp(−Eакт / RT ),

где z0 – предэкспоненциальный множитель, Еа – энергия активации, R – универсальная газовая постоянная (8,31 103 Дж/кмоль град), Т – абсолютная температура, К.

Логарифмирование этого уравнения дает следующую зависимость:

ln k = − ERакт T1 + z0 ,

в координатах ln k от 1/Т выражающуюся прямой линией, по которой можно рассчитать как энергию активации реакции так и множитель z0.

По данным нескольких измерений температуры и соответствующей ей константе скорости реакции необходимо подобрать коэффициенты уравнения Аррениуса рассчитать среднюю энергию активации.

Индивидуальное задание включает:

−температуру, К, при которой производились измерения константы скорости реакции;

−полученные усредненные значения константы скорости химической реакции;

По номеру вашего варианта выберите соответствующие данные:

Рекомендуется следующая последовательность расчетов:

1)Перейдите от значений температуры к обратной величине – 1/Т.

2)Перейдите от константы скорости к логарифму этой величины.

3)Постройте поле корреляции ln k – 1/T. Качественно оцените наличие или отсутствие связи между константой скорости и температурой.

4)По методу наименьших квадратов найдите количественные оценки взаимосвязи ln k и 1/T.

5)Оцените силу связи, рассчитав коэффициент корреляции.

6)Рассчитайте энергию активации реакции и предэкспоненциальный

26